A method for solving the Z-fractional differential equation With fuzzy confidence

Subject Areas : Statistics

Parisa Keshavarz ¹ (Department of Mathematics Hamedan Branch, Islamic Azad University Hamedan, Iran)
Farajollah Yaghoobi ² (Department of Mathematics Assistant Professor of Mathematics Hamedan Branch, Islamic Azad University Hamedan, Iran)
Ali Barahmand ³ (Department of Mathematics Hamedan Branch, Islamic Azad University Hamedan, Iran)

Received: 2021-11-13 Accepted : 2022-12-10 Published : 2024-01-18

Keywords: معادلات دیفرانسیل کسری با مقدار اولیه مبتنی بر Z-اعداد, تابع توزیع نمایی, Z-اعداد,

Abstract :

In this paper, at first, we introduce Z-numbers and some basic concepts such as fuzzy numbers and fractional differential equations with Z-valuation. Then we propose a numerical method to estimate the solution of the fractional differential equation with the initial value based on Z-numbers with fuzzy confidence. This problem has two parts; The first part is the limitation with fuzzy valuation and the second part is the confidence of the first part (limitation) with fuzzy valuation. The proposed method is a hybrid method based on the corrected fractional Euler’s method and the probability distribution function. The main feature of this approach is that the probability function is used to represent the reliability of the problem limitation part. The algorithm is presented and the convergence of the algorithm is proved. A numerical example is given as an application of the main results and so the proposed method can arbitrarily approximate the fractional differential equations with Z-valuation.

References:



[1] A. Arara, M. Benchohra, N. Hamidi, J. J. Nieto, Fractional order differential equations on an unbounded domain, Nonlinear Anal, 72 (2010) 580-586.

[2] R. L. Bagley, On the fractional order initial value problem and its engineering applications, in: Fractional Calculus and Its Applications (Ed. K. Nishimoto), Tokyo, College of Engineering, Nihon University, (1990) 12-20.

[3] H. Beyer, S. Kempfle, Definition of physically consistent damping laws with fractional derivatives, ZAMM, 75(1995) 623-635.

[4] K. Diethelm, N. J. Ford, Analysis of fractional differential equations, J. Math. Anal. Appl, 265 (2002) 229-248.

[5] L. A. Zadeh, A Note on Z-numbers, Information Sciences 181 (2011) 2923–2932.

[6] R. A. Alive, A. V. Alizadeh, O. H. Huseynov, The arithmetic of discrete Z-numbers, Inform. Sciences., 290 (2015) 134-155.

[7] R. A. Alive, O. H. Huseynov, R. R. Alive, A. V. Alizadeh, The arithmetic of Z-numbers. Theory and Applications, World Scientific, Singapore, (2015).

[8] R. A. Alive, O. H. Huseynov, and R. Serdaroglu, Ranking of Z-numbers and its Application in Decision Making. Int. J.

[9] R. A. Alie, Oleg H. Huseynov, R. R Aliyev, A. A. Alizadeh, The Arithmetic of Z-numbers, (2015) by World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd

[10] S. Ezadi, T. Allahviranloo, New multi-layer method for Z-number ranking using Hyperbolic Tangent function and convex combination, Intelligent Automation Soft Computing., (2017), 1-7.

[11] S. Ezadi, T. Allahviranloo., Two new methods for ranking of Z-numbers basedon sigmoid function and sign method, International Journal of Intelligent Systems., (2018), 1-12.

[12] S. Ezadi and T. Allahviranloo, Numerical solution of linear regression based on Z-numbers by improved neural network, IntellIgentAutomAtIonand Soft ComputIng, (2017) 1-11.

[13] B. Kang, D. WEI, Y. LI and Y. DENG, Decision Making Using Z-numbers under Uncertain Environment, Journal of Computational Information Systems, 7 (2012) 2807–2814.

[14] B. Kang, D. Wei, Y. Li, Y. Deng, A method of converting Z-number to classical fuzzy number, Journal of Information and Computational Scienc., 3 (2012), 703-709.

[15] D. Mohamad, S. A. Shaharani, and N. H. Kamis, A Z-number based decision making procedure with ranking fuzzy numbers method, AIP Conference Proceedings., 1635 (2014) 160–166.

[16] S. Pirmuhammadi, T. Allahviranloo, M. Keshavarz, The parametric form of Z-number and its application in Z-number initial value Problem, (2017).

[17] R. R. Yager, On Z-Valuations Using Zadeh’s Z-Numbers, International journal of intelligent systems, 27 (2012) 259–278

[18] L. Qalehe, M. Afshar Kermani, T. Allahviranloo, Solving First-Order

Differential Equations of Z-numbers initial value using Radial Basic Function, International Journal of Differential Equations, (2020) 1-11.

[19] P. Keshavarz, T. Allahviranloo, F. M. Yaghoobi, A. Barahmand, New method for numerical solution of Z-fractional differential equations.

[20] L. A. Zadeh, Fuzzy sets, Inf. Control 8 (1965) 338–353

Full-Text:



 

 

 

 

 

 

 

 

 

یک روش جهت حل معادله دیفرانسیل کسری-Z با اطمینان فازی

 

 

 

 

 

چکیده

در این مقاله، در ابتدا Z-اعداد و برخی از مفاهیم اساسی مانند اعداد فازی و معادله دیفرانسیل کسری با ارزشگذاری- Z را معرفی می­کنیم. سپس ما یک روش عددی جهت برآورد جواب معادله دیفرانسیل کسری با مقدار اولیه مبتنی برZ -اعداد با اطمینان فازی پیشنهاد می­کنیم. مسئله شامل دو قسمت است؛ قسمت اول، محدودیت با ارزشگذاری فازی است و قسمت دوم اطمینان از قسمت اول (محدودیت) که با ارزشگذاری فازی است. روش پیشنهادی یک روش ترکیبی است که مبتنی بر روش اویلر کسری تصحیح یافته و تابع احتمال مبتنی بر تابع توزیع نمایی می­باشد. ویژگی اصلی این رویکرد این است که تابع احتمال برای نشان دادن میزان اطمینان از بخش محدودیت مسئله بکار برده شده است. الگوريتم ارائه شده و همگرایی الگوريتم اثبات شده است. به عنوان کاربردهای نتايج اصلي، یک مثال عددی آورده شده است و بنابراین روش پیشنهادی می­تواند به طور دلخواه معادلات دیفرانسیل کسری با ارزش گذاری Z -را تقریب بزند.

 

واژه­های کلیدی: Z-اعداد، معادلات دیفرانسیل کسری با مقدار اولیه مبتنی بر Z-اعداد، تابع توزیع نمایی.

 

 

 

 

 

 

 

*. عهده ­دار مکاتبات:

 

 

 

 

1- مقدمه

در سال­های اخیر شمار زیادی از مسائل علمی و مهندسی مستلزم محاسبات کسری فازی بوده­اند. زیرا آن­ها قادر به مدل­سازی­های دقیق­تر از سیستم­های مدنظر هستند. کاربرد­ها و محاسبات کسری فازی به وسیله نویسندگان بسیاری نشان داده شده است [۱-۴]. به عنوان مثال، محاسبات کسری فازی برای مدل­سازی نوسانات غیرخطی در زمین ­لرزه­ها، مکانیک جامدات، اقتصاد، پردازش سیگنال، تئوری کنترل و غیره به کار رفته است. فرمول­های ریاضی بسیاری از پدیده­های ذکر شده حاوی معادلات دیفرانسیل - انتگرال غیر خطی با درجه کسری و یا کسری فازی است. تئوری مجموعه­های فازی روش قدرتمندی برای مدل کردن نامعینی­ها و پردازش ابهام و اطلاعات وابسته به مدل­های ریاضی است؛ اما برای اینکه این اطلاعات مفید باشند باید قابل اعتماد باشند. زاده موضوعی را به نام Z-عدد پیشنهاد کرد که قادر است این قابلیت اطمینان را فرمول­بندی ریاضی کند [۵]. یک Z-عدد یا  دارای دو قسمت است. اولین قسمت،A ، یک محدودیت برای مقادیری است که متغیر نامشخص  که دارای ارزش یا مقدار حقیقی است می­تواند داشته باشد. دومین جزء یعنی مقیاسی از قابلیت اطمینان مربوط به اولین جزء است. معمولا Aو B با زبان طبیعی توصیف می­شوند. در مورد Z-اعداد تحقیقات متعدی صورت گرفته است ] ۲-۱۷[. که به برخی از آنها اشاره می­کنیم: پیرمحمدی و همکارانش در سال 2017 یک جواب تقریبی از معادلات دیفرانسیل مبتنی بر Z-اعداد بدست آوردند. قلعه­ای و همکارانش در سال 2020 یک روش جهت حل معادلات دیفرانسیل مرتبه اول با مقدار اولیه مبتنی بر Z-اعداد ارائه کردند [۱۸]. اما در خصوص برآورد جواب معادلات دیفرانسیل کسری با مقدار اولیه مبتنی بر Z- اعداد تنها یک تحقیق صورت گرفته است [۱۹]. در این مقاله که توسط خود ما انجام شد یک روش جهت تقریب معادلات دیفرانسیل کسری مبتنی بر اعداد- Zارائه گردید. در کار قبلی ما، در مقدار اولیه معادله دیفرانسیل کسری که مبتنی بر Z-اعداد بود، قسمت اطمینان حقیقی در نظر گرفته شده بود اما در دنیای واقعی ممکن است این قسمت هم به صورت فازی فرمول­بندی شود که این خود چالش برانگیز است. لذا در این مقاله، سعی شد که فرمول محاسبه قسمت اطمینان طوری طراحی شود که این چالش را پوشش دهد. نتایج عددی به دست آمده حکایت از آن داشته که روش پیشنهادی برای حل این نوع از معادلات مؤثر است.

در ادامه در بخش دو، مفاهیم پایه­ای و قضایای اساسی ارائه می­شود. در بخش سوم، یک روش ترکیبی جهت تقریب معادلات دیفرانسیل کسری مبتنی بر Z-اعداد بیان می­شود. در بخش چهارم نتایج عددی بیان می­شود. در بخش پنجم نتیجه­گیری گفته می­شود و در نهایت مراجع علمی آورده می­شود.

 

2- مفاهیم پایه و اساسی

در این بخش تعاریف پایه و اساسی مورد نیاز در مقاله ارائه شده است.

 

تعریف ۲-۱: عدد فازي  توصیفی از یک مجموعه فازی در R با تابع عضویت  است که به صورت زیر شرح داده شده است

(1)  پیوسته از R به فاصله زمانی  است؛

(2) ، برای هر ؛

(3)  در اکیدا افزایشی است؛

(4) برای هر ،  که در آن ثابت است؛

(5)  در اکیدا کاهشی است؛

جاییکه ، ،  و  عدد واقعی با  و است. بنابراین تابع عضویت  می­تواند به صورت زیر باشد:

 

جاییکه  پیوسته و اکیداً افزایشی و  پیوسته و اکیداً کاهشی است. مجموعه­ای از اعداد فازی به صورت مشخص می­شود. برای راحتی، اعداد فازی درتعریف ۲-۱ را می­توان با  و قرینه آن را با  نشان داد [۲۰].

 

تعریف 2-2:. تعریف Z-اعداد

 زاده ایده Z-اعداد همراه با یک متغیر نامعلوم X معرفی کرد. یک Z-عدد یک زوج از اعداد فازی  است [۵]. در اینجا  یک زیرمجموعه فازی از محدودیت­هایی است که مقادیر می­تواند داشته باشد و  یک زیرمجموعه فازی از مقیاس اطمینان مولفه  است. زادهرا به عنوان یک ارزشگذاری-Z معرفی کرد و نشان داد این مقدار معادل با این است که x برابر است با . در اینجا Z اطلاعات راجع به مقدار متغیر  را فراهم می­آورد. مثال­هایی از این ارزشگذاریZ به صورت زیر است [۱۷].

مثال: (حدود 45 دقیقه، خیلی مطمئن است)، (حدود 30 دقیقه، مطمئن است). این ارزشگذاری برایZ  طبق پیشنهاد زاده به عنوان یک محدودیت در  مشاهده و به صورت زیر تفسیر گردید.

 

در واقع بدان معنی است که

 

که  تابع عضویت مجموعه فازی A و  مقداری از  است.  تابع چگالی احتمال  و  تابع احتمال  است. درجایی که توزیع احتمال پایه را نمی­دانیم از این اطلاعات واضح است که توزیع احتمال خود عدد فازی است.

 

3. یک روش جهت تقریب جواب معادلات دیفرانسیل کسری- مبتنی بر Z-اعداد

مسئله مقدار اولیه  Z- کسری زیر مفروض است [۱۹]:

 

که در آن  مجموعه­ Z-اعداد است و  مقدار اطمینان فازی است که برای راحتی کار یک عدد فازی مثلثاتی در نظر گرفته شده است.

با توجه به تعریف Z-اعداد رابطه (۱) را می­توان به صورت زیر نوشت:

 

بطوریکه

 

 

و یا

 

بطوریکه یک معادله دیفرانسیل کسری فازی است که مقدار دقیقی ندارد و مقدار حدودی آن با معادله دیفرانسیل فازی مشخص شده است. هم­چنین بیان کننده قسمت اطمینان از بخش محدودیت است و مقدار آن در اینجا با ارزشگذاری فازی است.

آنچه که مهم است این است که بتوان تابع توزیع احتمالی را در نظر گرفت که هم شرط اولیه در آن برقرار باشد و هم تقریب درستی از میزان اطمینان مقدار مسئله را مشخص کند.

بدین منظور تابع چگالی احتمال نمایی با  به فرم زیر را در نظر می­گیریم

 

از آنجایی که توزیع نمایی تنها توزیع پیوسته‌ای ‌است که خاصیت بی‌حافظگی دارد و از این رو بیشتر در حل مسائل احتمال و تئوری صف به کار گرفته می‌شود. هم‌چنین از این توزیع برای مدلسازی کردن و آسان ساختن شیوه حل مسائل واقعی استفاده می­کنند. لذا برای پیدا کردن تابع توزیع متغیر تصادفی نمایی،‌ کافی است که از تابع چگالی احتمال انتگرال بگیریم. این کار باعث محاسبه سطح زیر منحنی تابع چگالی می‌شود. از آنجایی که این تابع در نشان دادن مقیاس اطمینان کاربرد دارد، لذا می­تواند گزینه مناسبی جهت محاسبه رابطه (۲) باشد بنابراین با توجه به این موضوع که هر چه به قله (قله بخش محدودیت) نزدیک می­شویم میزان اطمینان ما بیشتر می­شود و همچنین با در نظر گرفتن شرط اولیه مسئله، تابع اطمینان را با توجه به رابطه (۲) به صورت زیر تعریف می­کنیم:

 

که در این مقاله  و  به صورت زیر در نظر گرفته شده است

  

که در آن یک نقطه دلخواه از بازه  است. همچنین و  نیز به صورت زیر در نظر گرفته شده است

 

که در آن  تابعی است از راست پیوسته افزایشی و  تابعی از چپ پیوسته کاهشی است و

 

فرم پارامتری سیستم (۵) توسط:

 

بیان می­شود.

بنابراین برای یک سیستم دلخواه ، رابطه) ۶( را می­توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

 

حال رابطه (۱) به صورت زیر قابل باز نویسی است

 

با توجه به رابطه (۶) داریم

 

که در آن A1، B1، A0 و B0 به صورت زیر می­باشند:

 

با توجه به اینکه جواب تقریبی باید با بیشترین اطمینان حاصل شود لذا  در نظر گرفته می­شود. با توجه به شرط اولیه مسئله تابع توزیع احتمال رابطه (۹) به صورت زیر بازنویسی می­شود

 

بنابراین رابطه (۱) به صورت زیر قابل بازنویسی است

 

که در آن

 

فرض کنیم  یک تابع قطعه­ای پیوسته باشد و - مرتبه مشتق­پذیر نسبت به متغیر مستقل x روی بازه مشتق­پذیر  باشد. هم­چنین فرض می­کنیم بازه  به N زیر بازه  با طول گام  و گره ­های ، تقسیم شده است .از طرفی با استفاده از انتگرال کسری ریمن ـ لوویل و با بکار گیری قاعده ذوزنقه­ای تصحیح یافته به صورت  که در آن

 

 

است که در آن  و

 .

حال مساله مقدار اولیه کسری (۱) برای  می­تواند با معادلات انتگرال زیر معادل باشد:

 

 

 

 

 

با جانشین کردن  در  و تقریب ،  بوسیله قاعده ذوزنقه­ای تصحیح یافته با  داریم:

 

 

که در آن  به صورت  نشان داده می­شود حال می­خواهیم  را با استفاده از روش اویلر کسری تقریب بزنیم. مسئله مقدار اولیه (۱۱) را ملاحظه می­کنیم و فرض می­کنیم . از فرمول تیلور تعمیم­ یافته برای بسط  در نقطه  استفاده می­کنیم و از جمله مرتبه دوم (جمله  ) چشم پوشی می­کنیم. فرمول روش اویلر کسری به صورت زیر است.

 

با تخمین زدن  با استفاده از رابطه  و جاگذاری در  و  داریم

 

 

 

در نهایت روش اویلر کسری و تصحیح یافته برای  و  و  به صورت زیر خواهد بود:

 

(۱۷)

که در آن   و همچنین

 

ضمنا مقدار  (پارامتر نرخ) باعث می­شود که میزان اطمینان دلخواهی را داشته باشیم.

 

4. نتایج عددی

در این بخش یک مثال عددی ارائه می­شود.

مثال۴-۱. مسئله مقدار اولیه با ارزشگذاری-Z کسری مفروض است

 

طبق و با استفاده از روش اويلر تصحيح يافته و با توجه به تابع توزیع احتمال پیشنهادی، تقريب جواب مسئله با اطمینان  در جداول ۴-۱ و ۴-۲ و میزان اطمینان از جواب تقریبی مربوط به قسمت محدودیت در جدول ۴-۳ قابل مشاهده است.

با توجه به اینکه در مقدار اولیه میزان اطمینان  می­باشد، داریم

 

 

برای بدست آوردن های مناسب با استفاده از رابطه (۱۸) و رابطه (۸) خواهیم داشت:

 

 

که در این صورت ،  و . با بدست آمدن ها میزان اطمینان از جواب تقریبی مسئله فوق در جدول شماره ۴-۳ قابل مشاهده است.

 

 

جدول۴-۱. تقریب .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

جدول ۴-۲. تقریب .

	0	0.2	0.5	0.7	0.9	1
0	0.5	0.6	0.75	0.85	0.95	1
0.2	3.142199	3.465749	3.929197	4.22704	4.517832	4.660941
0.4	7.685986	8.253773	9.059611	9.57343	10.07235	10.31697
0.6	14.258	15.11457	16.32581	17.09559	17.84128	18.20629
0.8	23.42855	24.6462	26.36426	27.45396	28.50803	29.02346
1	35.94701	37.62281	39.98363	41.47886	42.92371	43.6297

 

 

 

 

 

 

 

 

 

جدول ۴-۳. محاسبه میزان اطمینان از جواب تقریبی

	0	0.2	0.5	0.7	0.9	1
0	1.5	1.4	1.25	1.15	1.05	1
0.2	6.02996	5.76359	5.357768	5.08244	4.802682	4.660941
0.4	12.63113	12.18416	11.50031	11.03421	10.55869	10.31697
0.6	21.64172	20.98048	19.96676	19.27434	18.56659	18.20629
0.8	33.85905	32.93037	31.50482	30.52975	29.53191	29.02346
1	50.23774	48.9707	47.02392	45.69101	44.32581	43.6297

      

 

 

 

 

 

 

 

 

 

شکل۴-۱. نمودار جواب تقریبی بخش محدودیت.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

حال می­­توان تقریب جواب  را در جدول ۴-۴ به ازای  مشاهده کرد.

جدول ۴-۴. تقریب  به ازای .

x
	0	0.5	1
0	(0.7,0.8,0.9)	(0.8,0.9,0.9)	(1,1,1)
0.2	(0.7,0.7,0.8)	(0.8,0.8,0.9)	(1,1,1)
0.4	(0.8,0.8.0.9)	(0.9,0.9,0.9)	(1,1,1)
0.6	(0.8,0.9.0.9)	(0.9,0.9,0.9)	(1,1,1)
0.8	(0.9,0.9,0.9)	(0.9,0.9,0.9)	(1,1,1)
1	(0.9,0.9,0.9)	(0.9,0.9,0.9)	(1,1,1)

 

 

 

نتیجه ­گیری

مدلسازی ریاضی بسیاری از پدیده­های طبیعی فیزیکی و علوم مهندسی و علوم پایه منجر به معادلات دیفرانسیل کسری در محیطی مبهم و محاوره­ای می­شوند. لذا برای توصیف و شبیه سازی این پدیده­ها نیاز به محاسبه جواب­های این دسته از مسائل می­­باشد و از آنجا که محاسبه جواب دقیق برای اغلب مسائل از جمله مسائل با شرایط پیچیده امکانپذیر نیست، سعی شد با استفاده از روش ترکیبی مبتنی بر اویلر کسری تصحیح یافته و توزیع احتمال نمایی تقریب جواب معادلات دیفرانسیل با مقدار اولیه –Z از مرتبه کسری تحت مشتق کاپوتو کسری فازی بدست آید. توزیع نمایی تنها توزیع پیوسته‌ای ‌است که خاصیت بی‌حافظگی دارد و از این رو بیشتر در حل مسائل احتمال به کار گرفته می‌شود. این توزیع برای مدلسازی کردن و آسان ساختن شیوه حل مسائل واقعی کاربرد دارد. روش پیشنهادی روشی مناسب جهت تقریب مسائل مبتی بر Z-اعداد  با میزان اطمینان دلخواه می­باشد.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                   

فهرست منابع

[1] A. Arara, M. Benchohra, N. Hamidi, J. J. Nieto, Fractional order differential equations on an unbounded domain, Nonlinear Anal, 72 (2010) 580-586.

[2] R. L. Bagley, On the fractional order initial value problem and its engineering applications, in: Fractional Calculus and Its Applications (Ed. K. Nishimoto), Tokyo, College of Engineering, Nihon University, (1990) 12-20.

[3] H. Beyer, S. Kempfle, Definition of physically consistent damping laws with fractional derivatives, ZAMM, 75(1995) 623-635.

[4] K. Diethelm, N. J. Ford, Analysis of fractional differential equations, J. Math. Anal. Appl, 265 (2002) 229-248.

[5] L. A. Zadeh, A Note on Z-numbers, Information Sciences 181 (2011) 2923–2932.

 [6] R. A. Alive, A. V. Alizadeh, O.H. Huseynov., The arithmetic of discrete Z-numbers, Inform. Sciences., 290 (2015) 134-155.

[7] R. A. Alive, O. H. Huseynov, R. R. Alive, A. V. Alizadeh, The arithmetic of Z-numbers. Theory and Applications, World Scientific, Singapore, (2015).

[8] R. A. Alive, O. H. Huseynov, and R. Serdaroglu, Ranking of Z-numbers, and its Application in Decision Making. Int. J.

[9] R. A. Alie, Oleg H. Huseynov, R. R Aliyev, A. A. Alizadeh, The Arithmetic of Z-numbers, (2015) by World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd

 [10] S. Ezadi, T. Allahviranloo, New multi-layer method for Z-number ranking using Hyperbolic Tangent function and convex combination, Intelligent Automation Soft Computing., (2017), 1-7.

[11] S. Ezadi, T. Allahviranloo., Two new methods for ranking of Z-numbers basedon sigmoid function and sign method, International Journal of Intelligent Systems., (2018), 1-12.

[12] S. Ezadi and T. Allahviranloo, Numerical solution of linear regression based on Z-numbers by improved neural network, IntellIgentAutomAtIonand Soft ComputIng, (2017) 1-11.

 [13] B. Kang, D. WEI, Y. LI and Y. DENG, Decision Making Using Z-numbers under Uncertain Environment, Journal of Computational Information Systems, 7 (2012) 2807–2814.

[14] B. Kang, D. Wei, Y. Li, Y. Deng, A method of converting Z-number to classical fuzzy number, Journal of Information and Computational Scienc., 3 ( 2012), 703-709.

 [15] D. Mohamad, S. A. Shaharani, and N. H. Kamis, A Z-number based decision making procedure with ranking fuzzy numbers method, AIP Conference Proceedings., 1635 (2014) 160–166.

[16] S. Pirmuhammadi, T. Allahviranloo, M. Keshavarz, The parametric form of Z-number and its application in Z-number initial value Problem, (2017).

 [17] R. R. Yager, On Z-Valuations Using Zadeh’s Z-Numbers, International journal of intelligent systems, 27 (2012) 259–278

[18] L. Qalehe, M. Afshar Kermani, T. Allahviranloo, Solving First-Order Differential Equations of Z-numbers initial value using Radial Basic Function, International Journal of Differential Equations, (2020) 1-11.

 [19] P. Keshavarz, T. Allahviranloo, F. M. Yaghoobi, A. Barahmand, New method for numerical solution of Z-fractional differential equations.

[20] L. A. Zadeh, Fuzzy sets, Inf. Control 8 (1965) 338–353

 

0
	0	0.5	1
0	((0.5,1.5),(0.7,0.8,0.9))	((0.75,1.25),(0.8,0.9,0.9))	((1,1),(1,1,1,))
0.2	((3.142199,6.02996),(0.7,0.7,0.8))	((3.929197,5.357768),(0.8,0.8,0.9))	((4.660941,4.660941),(1,1,1))
0.4	((7.685986,12.63113),(0.8,0.8.0.9))	((9.059611,11.50031),(0.9,0.9,0.9))	((10.31697,10.31697),(1,1,1))
0.6	((14.258,21.64172),(0.8,0.9.0.9))	((16.32581,19.96676),(0.9,0.9,0.9))	((18.20629,18.20629),(1,1,1))
0.8	((23.42855,33.85905),(0.9,0.9,0.9))	((26.36426,31.50482),(0.9,0.9,0.9))	((29.02346,29.02346),(1,1,1))
1	((35.94701,50.23774),(0.9,0.9,0.9))	((39.98363,47.02392),(0.9,0.9,0.9))	((43.6297,43.6297),(1,1,1))

---