• Home
  • An Algorithm for Aggregating the Opinions of Experts in the Group Analysis Hierarchical Process using a Voting Model

Share To

Article Url


Manuscript ID : JNRM-2205-2272 (R3) Visit : 128 Page: 0 - 0

10.30495/jnrm.2022.67500.2272

Article Type: Original Research

An Algorithm for Aggregating the Opinions of Experts in the Group Analysis Hierarchical Process using a Voting Model

Subject Areas : تحقیق در عملیات

Zaher Sepehrian 1 , Sahar Khoshfetrat 2 , Said Ebadi Sharafabad 3

1 -
2 - گروه ریاضی، واحد تبریز، دانشگاه آزاد اسلامی، تبریز ، ایران
3 - گروه ریاضی، واحد اردبیل، دانشگاه آزاد اسلامی، اردبیل، ایران

Received: 2022-05-16 Accepted : 2022-10-02 Published : 2024-08-13

Keywords: مدل رأی‌گیری, تحلیل پوششی داده‌ها, فرآیند تحلیل سلسله‌مراتبی, تصمیم‌گیری چند شاخصی, ارزیابی متقابل,

Abstract :

How to obtain a priority vector from a pairwise comparison matrix has been an important issue in the analysis hierarchical process. Group decision making is an important part of multi-criteria decision making in the sis analysis hierarchical process. In group decision-making in which all the experts work as a unit, analysis hierarchical process usually follows one of the traditional approaches of aggregating individual judgments and aggregating individual priorities. In this paper, an algorithm for aggregating the opinions of experts using the voting model is presented. In the voting model, using the votes of individuals regarding the position of the criteria, they rank the criteria without using a pairwise comparison matrix. The voting model is proposed in cases where the number of experts is very large. In cases where the number of experts is limited, the local weights can be determined using the SBM model based on the pairwise comparison matrix of each expert, using which the rank of each criterion is determined .The rank obtained from the SBM model can be considered as the vote of experts, which prevents the mental bias of experts in voting. Therefore, it is possible to aggregate the opinions of experts using the voting model. The following is a numerical example to illustrate the potential of this algorithm. The results show that the ratings obtained from this algorithm in the mode of benevolent cross-evaluation correspond to the ranking using the eigenvector method.

References:

[1] Saaty, T.L. The Analytic Hierarchy Process; 2nd impression 1990, RSW Pub. Pittsburgh; Mc Graw-Hill: New York, NY, USA, 1980.

[2] Ahmad, F., Saman, M.Y.M., Mohamad, F.S., Mohamad, Z., & Awang, W.S.W.(2014). Group decision support system based on enhanced AHP for tender evaluation. International Journal of Digital Information and Wireless Communications. (IJDIWC), 4(2), 248–257.

[3] De Brucker, K., Macharis, C., & Verbeke, A. (2013). Multi-criteria analysis and the resolution of sustainable development dilemmas: A stakeholder management approach. European Journal of Operational Research, 224(1), 122–131.

[4] Kuzman, M. K., Grošelj, P., Ayrilmis, N., & Zbasnik-Senegacnik, M. (2013). Comparison of passive house construction types using analytic hierarchy process. Energy and Buildings, 64, 258–263.

[5] Ren, J., Fedele, A., Mason, M., Manzardo, A., & Scipioni, A. (2013). Fuzzy multi-actor multi- criteria decision making for sustainability assessment of biomass-based technologies for hydrogen production. International Journal of Hydrogen Energy 38(22), 9111–9120.

[6] Skorupski, J. (2014). Multi-criteria group decision making under uncertainty with application to air traffic safety Expert Systems with Applications, 41(16), 7406–7414.

[7] Wang, J. Q., Peng, L., Zhang, H. Y., & Chen, X. H. (2014). Method of multi-criteria group decision-making based on cloud aggregation operators with linguistic information. Information Sciences, 274, 177–191.

[8] Dede, G., Kamalakis, T., & Sphicopoulos, T. (2016). Theoretical estimation of the probability of weight rank reversal in pairwise comparisons. European Journal of Operational Research, 252(2), 587–600.

[9] Peniwati, K. (2007). Criteria for evaluating group decision-making methods. Mathematical and Computer Modelling, 46, 935–947.

[10] Dyer, R. F., & Forman, E. H. (1992). Group decision support with the analytic hierarchy process. Decision Support Systems, 8, 99–124.

[11] Ishizaka, A., & Labib, A. (2011b). Review of the main developments in the analytic hierarchy process. Expert Systems with Applications, 38(11), 14336–14345.

[12] Lai, V. S., Wong, B. K., & Cheung, W. (2002). Group decision making in a multiple criteria environment: A case using the AHP in software selection. European Journal of Operational Research, 137, 134–144.

[13] Taylor, A. D., & Pacelli, A. M. (2008). Mathematics and politics: Strategy, voting, power and proof (2nd ed.). New York: Springer Verlag.

[14] Srdjevic, B. (2007). Linking analytic hierarchy process and social choice methods to support group decision-making in water management. Decision Support Systems, 42, 2261–2273

[15] Forman, E., & Peniwati, K. (1998). Aggregating individual judgments and priorities with the analytic hierarchy process. European Journal of Operational Research 108, 165–169.

[16] Berttolini, M., &Maurizio, B. (2006). A combined goal programming – AHP approach to maintenance selection problem . Reliability Engineering &System Safety 91, 7 :839-848.

[17] Hosseinian, S.S., Navidi, H., Hajfathaliha, A. (2012). A New Linear Programming Method for Weights Generation and Group Decision Making in the Analytic Hierarchy Process. Group Decision and Negotiation, 21(3), 233-254.

[18] Huang, Y. S., Liao, J. T., & Lin, Z. L. (2009). A study on aggregation of group decisions. Systems Research and Behavioral Science, 26, 445–454

[19] Altuzarra, A.; Moreno-Jiménez, J.M.; Salvador, M.(2007). A Bayesian priorization procedure for AHP-group decision making. Eur. J. Oper. Res, 182, 367–382.

[20] Moreno-Jiménez, J.M.; Aguarón, J.; Escobar, M.T. (2002). Decisional Tools for Consensus Building in AHP-Group Decision Making. In Proceedings of the 12th Mini Euro Conference, Brussels, Belgium, 2–5

[21] Moreno-Jiménez, J.M.; Aguarón, J.; Escobar, M.T. (2008).The core of consistency in AHP-group decision making. Group Decis. Negotiat. 17, 249–265.

[22] Escobar, M.T.; Aguarón, J.; Moreno-Jiménez, J.M.(2015). Some extensions of the Precise Consistency Consensus Matrix. Decis. Support Syst. 74, 67–77.

[23] Sharafi, H., Hosseinzadeh Lotfi, F., Jahanshahloo, G., Rostamy-malkhalifeh, M., Soltanifar, M., & Razipour-GhalehJough, S. (2019). Ranking of petrochemical companies using preferential voting at unequal levels of voting power through data envelopment analysis. Mathematical Sciences, 13(3), 287-297.

[24] Charnes, A., Cooper, W.W. and Rhodes, E. (1978), “Measuring the efficiency of decision making units”, European Journal of Operational Research, Vol. 2 No. 6, pp. 429-444.

[25] Tone, K. (2001), “A slacks-based measure of efficiency in data envelopment analysis”, European Journal of Operational Research, Vol. 130 No. 3, pp. 498-509.

[26] Ho, W. (2008). Integrated analytic hierarchy process and its applications –A litera- ture review. European Journal of Operational Research, 186(1), 211–228.

[27] Khoshfetrat,S.;Hosseinzadeh Lotfi,F. ; Rostamy-Malkhlalifeh,M.(2014).Analytic Hierarchy Process: Obtaining weight vector with generalized weighted least square method by using Genetic Algorithm and simplex method. Journal of Applied Science and Agriculture. 9(1),211-217.

[28] Khoshfetrat, S.; Hosseinzadeh Lotfi, F,.(2014). Introducing a nonlinear programmig model and using genetic algorithm to rank the alternatives in analytic hierarchy process. Journal of Applied Research on Industrial Engineering. 1(1)12-18.

[29] Khoshfetrat,S., Hosseinzadeh Lotfi, F,. (2014). Deriving Priorities the Alternatives in an Analytic Hierarchy Process. International Journal of Research in Industrial Engineering. 3(4)13-20.

[30] Barzilai, J.; Golany, B. (1994).AHP rank reversal, normalization and aggregation rules. INFOR, 32, 57–63.

[31] Escobar, M.T.; Aguarón, J.; Moreno-Jiménez, J.M.(2004). A Note on AHP Group Consistency for the Row Geometric Mean Priorization Procedure. Eur. J. Oper. Res. 153, 318–322

[32] Cook, M. Kress, A.(1990). A data envelopment model for aggregating preference rankings, Manage. Sci. 36, 1302–1310.

33. سلطانی فر،مهدی؛شرفی، حمید؛ زرگر، سید محمد؛همایونفر، مهدی. (1400). رتبه بندی تامین کنندگان با استفاده از تکنیک تحلیل پوششی داده ها و مدل جدید کارایی متقاطع در حضور خروجی های نامطلوب. مجله پژوهش های نوین در ریاضی. 32(4): 35-57.

[34] Soltanifar. M., Hosseinzadeh Lotfi, F. (2011). The voting analytic hierarchy process method for discriminating among efficient decision making units in data envelopment analysis.Computers & Industrial Engineering 60 (4), 585-592.

[35] Soltanifar, M.,Ebrahimnejad, A. Farrokhi.,MM.(2010) Ranking of different ranking models using a voting model and its application in determining efficient candidates,International Journal of Society Systems Science 2 (4),375-389.

[36] Ramanathan, R (2006). Data envelopment analysis for weight derivation and aggregation in the analytic hierarchy process. Computers & Operations Research, 33(5), 1289–1307.

[37] Pishchulov,G. Trautrimsc,A. Chesneyc, T,.(2019). Stefan Goldd, Leila Schwabe The Voting Analytic Hierarchy Process revisited: A revised method with application to
sustainable supplier selection. International Journal of Production Economics 211,166-179.

[38] Green, R.H., Doyle, J.R., Cook, W.D., (1996). Preference voting and project ranking using DEA and cross-evaluation. Eur. J. Oper. Res. 90 (3), 461–472.

[39] Noguchi, H., Ogawa, M., Ishii, H., (2002). The appropriate total ranking method using DEA for multiple categorized purposes. J. Comput. Appl. Math. 146 (1), 155–166.

[40] Sexton, T.R., Silkman, R.H., Hogan, A.J., 1986. Data envelopment analysis: critique and extensions. In: Silkman, R.H. (Ed.), Measuring Efficiency: an Assessment of Data
Envelopment Analysis. Jossey-Bass, San Francisco, pp. 73–105.

[41] Wang, Y.-M., & Chin, K.-S. (2009). A new data envelopment analysis method for priority determination and group decision making in the analytic hierarchy process. European Journal of Operational Research, 195(1), 239–250.
Full-Text:


دسترسي در سايتِ http://jnrm.srbiau.ac.ir

سال نهم، شماره چهل و ششم، بهمن و اسفند  1402

Description: Description: C:\Users\Dell\Desktop\MMMM.jpg

img0 

شماره شاپا: X588-2588

 

 

 

 

الگوریتمی برای تجمیع نظرات کارشناسان و افراد خبره در فرآیند تحلیل سلسله‌مراتبی گروهی با استفاده از مدل رأی‌گیری

 

ظاهر سپهریان1، سحر خوش فطرت·1، سعید عبادی شرف آباد2

 

(1)   گروه ریاضی، واحد تبریز، دانشگاه آزاد اسلامی، تبریز، ایران

(2)   گروه ریاضی، واحد اردبیل، دانشگاه آزاد اسلامی، اردبیل، ایران

 

تاريخ ارسال مقاله: 26/02/1401    تاريخ پذيرش مقاله: 10/07/1401

چکيده

چگونگی به دست آوردن یک بردار اولویت از یک ماتریس مقایسه‌ زوجی، موضوع مهمی در فرآیند تحلیل سلسله‌مراتبی بوده است. تصمیم­گیری گروهی بخش مهمی از تصمیم­گیری چند معیاره در فرآیند تحلیل سلسله‌مراتبی است. در تصمیم­گیری گروهی که در آن همه افراد خبره به ‌عنوان یک واحد کار می­کنند، فرآیند تحلیل سلسله مراتبی معمولاً از یکی از رویکردهای سنتی تجمیع قضاوت‌های فردی و تجمیع اولویت‌های فردی پیروی می­کند. در این مقاله یک الگوریتمی جهت تجمیع نظرات کارشناسان و افراد خبره با استفاده از مدل رأی‌گیری ارائه‌ شده است. مدل رای گیری با استفاده از رای افراد در خصوص جایگاه معیارها، بدون استفاده از ماتریس مقایسه زوجی به رتبه بندی معیارها می پردازند. مدل رای گیری در مواردی که تعداد کارشناسان بسیار زیاد باشد پیشنهاد شده است. در مواردی که تعداد کارشناسان محدود باشد، می توان با استفاده از مدل SBM وزن‌های محلی را بر اساس ماتریس مقایسه زوجی هر یک از افراد خبره تعیین کرد، با استفاده از آن رتبه هر یک از معیارها تعیین می‌شود. رتبه به‌دست‌آمده از مدل SBM را می­توان به ‌عنوان رأی افراد خبره در نظر گرفت که از سوگیری ذهنی افراد خبره در ارائه رای، جلوگیری به عمل می آورد. بنابراین می­توان با استفاده از مدل رأی‌گیری به تجمیع نظرات افراد خبره پرداخت. در ادامه یک مثال عددی جهت نشان دادن پتانسیل بالقوه این الگوریتم ارائه‌ شده است. نتایج نشان می‌دهد که رتبه‌های به‌دست‌آمده از این الگوریتم در حالت ارزیابی متقابل خیرخواهانه با رتبه‌بندی به روش بردار ویژه مطابقت دارد.

 

واژه‌هاي کليدي:  تحلیل پوششی داده‌ها؛ فرآیند تحلیل سلسله‌مراتبی؛ تصمیم‌گیری چند شاخصی؛ مدل رأی‌گیری؛ ارزیابی متقابل.

1- مقدمه

یکی از تکنیک‌های تصمیم‌گیری چند معیاره که به بهترین وجه به چالش‌ها و نیازهای جامعه علمی به‌ویژه با در نظر گرفتن جنبه‌های پیچیده و تصمیم‌گیری با چندین کارشناس پاسخ می­دهد، فرآیند تحلیل سلسله‌مراتبی AHP است[1]. تصمیم­گیری گروهی اهمیت فزاینده­ای در تصمیم­گیری چند معیاره پیدا می­کند ([2],[3],[4],[5],[6],[7],[8],[9]). ذینفعان متعدد می‌توانند در تجربیات، تخصص و دیدگاه‌ها باهم مشارکت داشته باشند. بهتر است که تصمیمات مبتنی بر قضاوت‌ها و نظرات چند تصمیم‌گیرنده باشد، نه آنکه صرفاً متکی بر یک تصمیم‌گیرنده‌ی فردی باشد.[10] فرآیند تحلیل سلسله‌مراتبی AHP ساعتی 1980 یکی از مناسب‌ترین روش‌ها در تصمیم­گیری چند معیاره گروهی در نظر گرفته می‌شود[11] . این تکنیک چند معیاره جنبه‌های ناملموس را از طریق استفاده از مقایسه‌های زوجی که با عامل انسانی مرتبط است را در بر می­گیرد. در AHP گروهی، چهار رویکرد اساسی برای استخراج بردار اولویت گروه از ماتریس‌های مقایسه­ای DM­ها پیشنهاد می‌شود ([12],[13],[14]) . گروه می­تواند در یک جلسه تلاش کند تا ابتدا در توسعه ساختار سلسله‌مراتب و سپس در ایجاد مقایسه­های زوجی به اجماع برسد. اگر آن‌ها در مورد یک قضاوت خاص نمی­توانند به اجماع برسند، می‌توانند رأی دهند یا برای رسیدن به مصالحه تلاش کنند. نظریه انتخاب اجتماعی با سیستم­های رأی‌گیری تایور و پاسللی [15] را می‌توان با AHP ترکیب کرد[16]. برای جمع‌بندی نظرات افراد گروه تصمیم­گیری، روش‌های متفاوتی در AHP گروهی وجود دارد. از بین روش‌های موجود روش تجمیع نظرات فردی AIJ و تجمیع اولویت‌های فرد AIP دو روش تجمیع ریاضی هستند[17]. انتخاب هرکدام از این روش‌ها بستگی به این مسئله دارد که آیا گروه به‌عنوان یک واحد عمل می‌کند (دیدگاه اجماع) یا به‌صورت انفرادی. برتولینی و ماریزیو [18] استفاده از روش AIJ را برای حالت اول و روش AIP را برای حالتی که هر یک از اعضا به‌صورت انفرادی عمل می­کنند مناسب‌تر می­دانند. اگر اولویت‌های نهایی گروه تا حد امکان به قضاوت‌ها و اولویت‌ها یا رتبه‌بندی معیارهای تصمیم­گیرنده، نزدیک باشد تصمیم­گیرنده راضی می­باشد. برخلاف حالت DMهای تکی، در مورد AHP گروهی مطالعات زیادی در مورد مقایسه نتایج گروه‌های مختلف AHP وجود ندارد که منجر به فقدان معیارهایی برای مقایسه روش‌های گروهی می­باشد  [20]) و[19] ). آلتوزارا و همکاران [21] یک رویکرد بیزی را به‌عنوان یک روش اولویت‌بندی در فرآیند تجمیع تصمیم­گیری گروهی تسریع کرده است. یکی دیگر از ویژگی‌های مرتبط فرآیند تحلیل سلسله‌مراتبی، امکان ارزیابی سازگاری ماتریس مقایسه زوجی مورد استفاده به‌منظور گرفتن اولویت‌های تصمیم گیران DMها است. ایده استفاده از مفهوم سازگاری در تصمیم‌گیری گروهی اولین بار توسط مورنتو و همکاران [22] مطرح شد و به‌طور گسترده در ادبیات علمی مورداستفاده قرار گرفت. مورنتو و همکاران[23])  و[22] ) از یک روش تجمیع ماتریس اجماع سازگاری (CCM) برای تصمیم­گیری گروهی استفاده کردند. تحت شرایط خاص CCM یک ماتریس قضاوت بازه­ای را ارائه می­دهد که در آن هر ورودی منعکس‌کننده محدوده مقادیری است که همه تصمیم گیران به‌طور هم‌زمان در ماتریس‌های اولیه آن‌ها موافق هستند. یکی از محدودیت‌های این ابزار تصمیم­گیری این است که CCM گاهی اوقات ناقص است. ماتریس اجماع سازگاری دقیق PCCM برای پاسخ دادن به این محدودیت‌ها با گنجاندن قضاوت‌های بیشتر در ماتریس اجماع گروهی پیشنهادشده است که به تصمیم گیران اجازه می‌دهد وزن‌های متفاوتی را برای حل مسئله در نظر بگیرند[24]. به‌منظور ایجاد یک وزن فراگیر و درعین‌حال منطقی برای هر معیار یا گزینه‌ی تصمیم از دیدگاه همه افراد خبره در این مقاله، یک الگوریتم جدید با استفاده از مدل رأی‌گیری پیشنهاد می‌کنیم. ابتدا مدل SBM را برای وزن دهی معیارها یا گزینه‌ها پیشنهاد می‌کنیم که ما را قادر می‌سازد که وزن معیارها یا گزینه‌های موردبررسی را از دیدگاه کارشناسان و افراد خبره رتبه‌بندی کنیم. با استفاده از وزن معیارها یا گزینه‌ها رتبه هر معیار یا گزینه از دیدگاه افراد خبره به دست می‌آید که آن را به‌عنوان رأی افراد خبره در نظر می‌گیریم و با استفاده از مدل رأی‌گیری که رأی افراد خبره به‌عنوان ورودی مدل رأی‌گیری می­باشد به وزن نهایی معیارها یا گزینه‌ها دست پیدا می‌کنیم که درواقع از تجمیع نظرات همه افراد خبره در آن استفاده‌شده است؛ بنابراین، وزن‌های به‌دست‌آمده با استفاده از این الگوریتم منطقی‌تر و منصفانه‌ترند. چراکه رأی افراد بر اساس مدل SBM انجام می‌گیرد تا از سوگیری‌های ذهنی افراد جلوگیری به عمل می‌آید.

بقیه‌ی مقاله به‌صورت زیر سازمان‌دهی شده است: قسمت 2 به‌اختصار پیشینه DEA AHP, و مدل رأی‌گیری را مرور می­کند بعد الگوریتم پیشنهادی جهت تجمیع نظرات افراد خبره در قسمت 3 ارائه می‌شود. مثال عددی در قسمت 4 بررسی می‌شود. نتیجه‌گیری مقاله در قسمت 5 ارائه می‌شود..

2- پيشينه تحقيق

1- 2- پیشینه DEA

DEA ابتدا توسط چارنز و همکاران در سال 1978 [24] برای اندازه‌گیری کارایی واحدهای تصمیم‌گیری پیشنهاد شد. از آن زمان تاکنون DEA برای ارزیابی عملکرد در زمینه‌های مختلف ازجمله بانکداری، هوانوردی، برق، دانشگاه، بازارهای سهام استفاده‌ شده است. در روشی مشابه DEA به‌طور خودکار وزن‌های بهینه برای تمام معیارهای اندازه‌گیری شده را تخصیص می‌دهد که باعث کاهش ذهنیت در ارزیابی‌ها می‌شود. یکی از پرکاربردترین مدل‌های DEA، مدل اندازه‌گیری SMB می‌باشد که توسط تن در سال 2001 [25] پیشنهادشده است که در آن کارایی مجموعه‌ای از واحدهای تصمیم‌گیری DMUها بر اساس نسبت خروجی‌ها به ورودی‌ها با در نظر گرفتن برخی محدودیت‌ها که نشان‌دهنده ترجیحات مدیریتی هستند، محاسبه می‌شود. مدل SBM می‌تواند به‌طور هم‌زمان ورودی را کاهش و خروجی را افزایش دهد. همچنین متغیر مازاد ورودی img0 و کمبود خروجی img0 را در تابع هدف در نظر می­گیرد. فرض کنید n تعداد DMUهایی باشد کهimg0ورودی را برای تولیدimg0 خروجی مصرف می­کند. به عبارتی img0و img0 به ترتیب ورودی‌ها و خروجی‌های img0 هستند. تن [25] مدل SBM را برای img0 فرمول‌بندی کرد که در آن img0 مطابق زیر ارزیابی می‌شود.

 

 

 

 

(1)

img0 

2- 2- پیشینه AHP

فرآیند تحلیل سلسله‌مراتبی یکی از پرکاربردترین تکنیک‌های تصمیم‌گیری چند معیاره است. AHP روشی را برای تجزیه مسائل پیچیده­ی تصمیم­گیری به مسائل ساده‌تر جهت رتبه‌بندی گزینه­های مختلف ارائه می­دهد. ابتدا برای مسئله هدفی در نظر گرفته و برای آن معیارها و گزینه­هایی در نظر گرفته و آن‌ها را در یک ساختار سلسله‌مراتبی شبیه درخت مرتب می­شوند. هدف در بالاترین سطح آن قرارگرفته در سطح بعدی معیارها و زیر معیار­های مرتبه اول و دوم و... قرار می­گیرند و در پایین‌ترین سطح گزینه‌ها قرار داده می‌شوند. مرحله بعد تشکیل ماتریس مقایسه زوجی بین معیارها و بین گزینه­ها نسبت به هر معیار می‌باشد. بررسی سازگاری در AHP که یکی از نقاط قوت اصلی AHP تلقی می‌شود و از آن برای ارزیابی درجه‌ی سازگاری میان مقایسه‌های زوجی استفاده می‌شود، اهمیت حیاتی دارد، زیرا مانند یک بازخورد برای تصمیم‌گیرنده عمل می‌کند تا ارزیابی‌ها و قضاوت‌های خود را مورد بررسی و بازبینی قرار دهد[26]. وزن‌های محلی عناصر سطوح مختلف به‌دست‌آمده، برای به دست آوردن وزن‌های نهایی گزینه‌های تصمیم تجمیع می‌شوند (عناصر در پایین‌ترین سطح). خوش فطرت و همکاران [27] روش حداقل مربعات وزنی  (WLSM)  را  برای ماتریس­های مقایسه زوجی سازگار و ناسازگار تعمیم داده اند، این مدل در دو نوع خطی و غیر خطی بیان شده و از الگوریتم ژنتیک و روش سیمپلکس برای حل آن استفاده شده است که موجب کاهش پیچیدگی محاسبات گردیده است. خوش فطرت و حسین زاده لطفی  [28]از یک مدل برنامه ریزی غیر خطی NLP برای استخراج وزن­های واقعی برای ماتریس مقایسه زوجی در AHP استفاده کردند .برای حل این مدل از الگوریتم ژنتیک GA استفاده شده است. خوش فطرت و حسین زاده لطفی [29] با معرفی یک مدل با استفاده از کارایی متقاطع، بردار وزنی جهت تعیین اولویت واحدهای تصمیم گیری در AHP ارائه دادند که مشکل وجود جواب های بهین دگرین را رفع نموده و منجر به رتبه بندی منحصر بفردی شده است. همان‌طور که گفته شد، در زمینه AHP گروهی دو روش سنتی مورد استفاده قرار می‌گیرد.

1) تجمیع قضاوت‌های فردی (AIJ) 2) تجمیع اولویت‌های فردی (AIP) .

 فرض کنید img0 ماتریس مقایسه زوجی تشکیل‌شده توسط فرد k ام باشد به‌طوری‌که img0نشان‌دهنده وزن معیار i ام نسبت به معیار j ام ازنظر فرد k ام باشد و img0 بردار اهمیت نظر هر یک از افراد تصمیم‌گیرنده باشد به صورتی که img0 است. اولویت‌ها به دنبال دو رویکرد به شرح زیر به دست می‌آیند.

1) تجمیع قضاوت‌های فردی : در این روش با استفاده از میانگین هندسی، عناصر ماتریس تصمیم­گیری نهایی از رابطه زیر به دست می‌آید.

(2)

 

img0 

درنتیجه ماتریس مقایسه زوجی نهایی به‌صورت img0 به دست می‌آید. سپس بردار اولویت با استفاده از یکی از روش‌های موجود در AHP به دست می‌آید.

2)تجمیع اولویت‌های فردی: ابتدا بردارهای اولویت برای هر فرد خبره با استفاده از یکی از روش‌های موجود در AHP به دست می‌آید. بردار وزن حاصل به‌صورت img0 خواهد بود که در آن img0 نشان‌دهنده بردار اوزان معیارها یا گزینه­ها نسبت به نظرات تصمیم‌گیرنده k ام می‌باشد. سپس برای تجمیع بردارهای اوزان به‌دست‌آمده می‌توان از روش میانگین هندسی وزن‌دار WGM مطابق رابطه (3) استفاده کرد. بنابراین، بردار اوزان تجمیع شده به‌صورت img0 می‌باشد که در آن img0 نشان‌دهنده وزن کلی معیار یا گزینه i ام است. 

(3)

img0 

هنگامی‌که روش تجمیع میانگین هندسی وزن‌دار به کار گرفته می‌شود و اولویت‌ها با استفاده از روش میانگین هندسی سطری RGM به دست می­آیند، دو رویکرد AIJ و AIPراه‌حل یکسانی را ارائه می‌دهند [31])  و[30] ).

3- 2- رأی‌گیری ترجیحی

مسئله "انتخاب" با استفاده از تجمیع آرا رأی‌دهندگان یکی از مهم‌ترین مسائل تصمیم‌گیری گروهی است. در مدل‌های رأی‌گیری سنتی، تجمیع آرا بدون در نظر گرفتن جایگاه تصمیم‌گیری است. بنابراین نتیجه، منعکس‌کننده خواست رأی‌دهندگان نخواهد بود. مدلی توسط کوک و کراس [32] ارائه گردید که ارزش جایگاه‌های رأی‌گیری در آن مدنظر قرار گرفت. فرض کنید، بخواهیم m نماینده را از بین n نامزد img0 با تجمیع آرا رأی‌دهندگان انتخاب کنیم. در این فرآیند یک برگه رأی‌گیری در اختیار رأی‌دهندگان قرار می‌گیرد و از آن‌ها خواسته می‌شود که منتخبین خود را رتبه‌بندی نموده و m نامزد برتر از دیدگاه خود را با تعیین رتبه آن‌ها در برگه‌های رأی‌گیری عنوان کنند. بدیهی است که هر رأی‌دهنده نامزدهای با شایستگی بالا را در رتبه­های برتر و مقدم­تر قرار خواهند داد. اگرimg0 تعداد آرا کسب‌شده توسط نامزد o در رتبه i باشد می‌توان از حل مدل (4) که در سال 1990 توسط کوک و کراس [32] ارائه گردید، یک عدد کارایی برای هر نامزد به دست آورد که مبنایی برای رتبه‌بندی نامزدها خواهد بود. در این مدل هر نامزد به‌عنوان واحد تصمیم‌گیرنده متجانس و آرا تجمیع شده هر نامزد به‌عنوان خروجی این واحد در نظر گرفته می­شود. همچنین تمامی واحدهای تصمیم‌گیرنده دارای یک ورودی با مقدار یک هستند. همچنین برای تفاوت بین رتبه‌های رأی‌گیری از قیود کنترل وزن با تابع شدت تشخیص مناسب استفاده‌شده است [33].

(4)

img0 

 

در مدل (4) img0 تابعی نانزولی و نامنفی است که "تابع شدت تشخیص" نامیده می‌شود.

این تابع میزان فاصله رتبه‌های رأی‌گیری را از هم مشخص می­کند و توسط سیستم مدیریتی انتخابات تعیین می­شود. مدل (4) در پژوهش‌های مختلف کاربرد فراوانی داشته است. حسین زاده و سلطانی فر[34] فرآیند تحلیل سلسله‌مراتبی رأی‌گیری را با استفاده از مدل (4) برای رتبه‌بندی واحدهای تصمیم­گیری در تحلیل پوششی داده­ها به کار بردند. سلطانی فر و همکاران [35] با استفاده از مدل رأی‌گیری، مدل‌های مختلف رتبه‌بندی در تحلیل پوششی داد­ها را اولویت‌بندی نموده و از این فرآیند برای رتبه‌بندی واحدهای تصمیم­گیری در تحلیل پوششی داده­ها استفاده نمودند.

3- الگوریتم پیشنهادی برای تجمیع نظرات کارشناسان

با میانگین ساده می­توان امتیاز ساده داد. اما اگر علاوه بر امتیاز ساده؛ لازم باشد نقاط قوت و ضعف مورد تحت ارزیابی ارائه شود؛ در اینصورت میانگین ساده جوابگو نبوده که در الگوریتم پیشنهادی که در شکل 1 مراحل مختلف آن آورده شده است؛ مدل SBM این امر را میسر خواهد کرد. در این الگوریتم مدل رای­گیری برای تجمیع نظرات افراد خبره بکار گرفته شده است. به این ترتیب؛ تاثیر نظرات شخصی افراد خبره بر رتبه­بندی از بین می­رود. با حل مدل SBM؛ اوزان بدست آمده ملاک تعیین رتبه معیارها خواهد بود. این الگوریتم شامل قسمت‌های مختلفی است که در زیر به تشریح آن می‌پردازیم.

1-3- مدل SBM جهت تعیین اوزان

 ابتدا یک مدل DEA غیر شعاعی که SBM نامیده می‌شود برای تعیین وزن محلی معیارها با استفاده از ماتریس مقایسات زوجی هر یک از کارشناسان که به‌صورت img0 می‌باشد، پیشنهاد می­شود. هر سطر ماتریس مقایسه زوجی به عنوان یک DMU و هر ستون از آن ماتریس به عنوان یک خروجی در نظر گرفته می شود. برای همه DMU ها، مقدار ورودی ساختگی یک را مفروض می­کند. بنابراین جهت تعیین اولویت محلی معیارها با استفاده از ماتریس مقایسه زوجی و مدل SBM عناصر ماتریس به عنوان خروجی تعیین می­شود که از مدل DEAHP  راماناتان [36] گرفته شده است. از مدلSBM خروجی محور به دلیل ثابت در نظر گرفتن ورودی‌ها، برای تعیین اوزان به‌صورت زیر استفاده می­شود.

 

 

شکل 1) الگوریتم تجمیع نظرات کارشناسان

 

 

 

 

(5)

img0 

که در آن کاراییimg0 عبارت است از img0 . این کارایی در ماهیت خروجی بدست آمده است. لذا با معکوس کردن مقدار بهینه تابع هدف؛ کارایی حاصل می­شود که درواقع وزن معیار تحت ارزیابی (معیار oام) از دیدگاه کارشناس kام می‌باشد.  جهت شناسایی اوزان؛ کارایی های بدست آمده با نرم یک نرمالیزه می­شوند. بدین‌صورت ماتریس وزن هر معیار/گزینه از دیدگاه کارشناسان به‌صورت img0 مشخص می­شود.که در آن img0 وزن معیار iام از دیدگاه کارشناس kام می‌باشد.

2- 3- تبدیل اوزان به رتبه

با توجه به بردار اوزان img0 به‌دست‌آمده در مرحله قبلی، می­توان رتبه‌بندی معیارها/گزینه­ها را بر اساس نظر کارشناسان و افراد خبره مشخص کرد. یعنی از دیدگاه کارشناس kام جایگاه هر معیار/گزینه مشخص می‌شود که آن را به‌عنوان رأی همان کارشناس در نظر می‌گیریم. بنابراین تاثیر نظرات شخصی افراد خبره در دادن رای از بین می­رود. درنهایت با استفاده از رأی به‌دست‌آمده از هر کارشناس ماتریس رأی‌گیری به‌صورتimg0 به دست می‌آید که عنصرimg0 تعداد دفعاتی را نشان می‌دهد که معیار oام در جایگاه lام توسط کارشناسان خبره قرار می­گیرد. 

3-3- استفاده از مدل رأی‌گیری برای تجمیع نظرات کارشناسان

اهمیت رتبه معیار o ام می تواند به صورت میانگین وزنی img0 بیان شود که وزن های img0 img0 می تواند به عنوان " ارزش رتبه بندی در جایگاه img0" باشد . هر انتخاب خاصی از چنین وزنهایی توسط اعضا تصمیم گیرنده به احتمال زیاد یک سو گیری ذهنی در رتبه بندی اهمیت معیارها ایجاد می کند. طرفداری از برخی از آنها و رد برخی دیگر به طور بالقوه منجر به تصمیمات مغرضانه و نتایج نامطلوب می شود. با اتخاذ رویکرد DEA که از وزنهای رتبه ای از پیش تعیین شده صرف نظر می­کند این موضوع قابل حل می باشد .[32] پیشچلوو و همکاران [37] با استفاده از ماتریس رأی‌گیری مدل زیر را برای به دست آوردن رتبه img0 ( رتبه معیار oام) معرفی می­کنند که با حل آن برای هر img0 به دست می‌آید.

(6)

img0 

 در تابع هدف مدل فوق امتیاز رتبه بندی اهمیت معیار o ام بایستی ماکزیمم شود. متغیر های تصمیم img0 بایستی در یک تعداد شرایط صدق کنند. اولین محدودیت در مدل فوق یعنی: img0 یک محدودیت استاندارد DEA است که یک کران بالایی برای درجه اهمیت هر معیار تعیین می کند، که شامل خود معیار o ام هم می­شود. این کران بالا به یک نرمالیزه می­شود. جهت اطمینان از تحدب ترتیب وزن ها، پیشچلوو و همکاران [37] محدودیت های دوم و سوم را در مدل (6) در نظر گرفتند. با اعمال این تحدب امکان بدست آوردن توالی غیر محدب وزنها برطرف شده است. محدودیت آخر برای اطمینان از اینکه وزن رتبه آخر یک عدد مثبت باشد، بکار رفته است. کوک و کراس [32] استفاده از مقدار ماکزیمم ممکن را برایimg0 پیشنهاد کردند. با این حال گرین و همکاران [38] متوجه شدند که این رویکرد اصل اساسی DEA را نقض می کند. آنها img0 را پیشنهاد کردند که توسط نوچوگی [39] به خاطر تضاد با هدف اصلی رتبه بندی مورد انتقاد قرار گرفت. بنابراین مقدار میانی img0که توسط نوچوگی[39]پیشنهاد می­شود در این مدل بکار رفته است که در آن  K تعداد کارشناسان و افراد خبره می باشد همچنین در پیشچللو و همکاران [37] نشان داده شده است که محدودیت وزن نوچوگی از محدودیت img0 که در مدل(6) بکار رفته بدست آمده است. مطلوبترین وزن ها برای هر معیار یا گزینه از دیدگاه خود آن مورد بررسی قرار می­گیرند، که به آن خودارزیابی می­گویند. وقتی که یک معیار یا گزینه بهترین وزن خود را ارزیابی می­کند، وزن معیارها و گزینه های دیگر را نیز می­سنجد. به این گونه وزنها که بوسیله معیارها یا گزینه های دیگر سنجیده شده اند، وزنهای متقابل می­گویند و به ارزیابی انجام شده توسط معیارها یا گزینه های دیگر، ارزیابی همتایان می­گویند. برای بدست آوردن رتبه بندی همتایان img0img0 از ارزیابی متقابل استفاده می­شود تا اختیاری بودن انتخاب بین چندین جواب بهینه در مدل (6) برطرف شده، بهتر بتوانیم بین معیارها تفاوت قائل شویم[38]. اگر رویکرد ارزیابی متقابل بدبینانه ، برای به دست آوردن رتبه‌بندی همتایان در نظر گرفته شود، این نیازمند این است که مدل(7) برای هر img0 اعمال و حل شود. در مدل (7) تمامی محدودیت های مدل (6) به همراه محدودت اضافه img0 جهت حفظ بهینگی مدل (6) اعمال گردیده که در آن img0 جواب بهینه مدل  (6) می باشد.  درواقع هر معیار oام رتبه‌بندی همتایان خود را به حداقل می­رساند. به دلیل اینکه میانگین رتبه بندی همتایان در مدل (7) در تابع هدف لحاظ شده است، وجود جواب بهینه چند گانه در این مدل تاثیری در رتبه بندی همتایان نخواهد داشت.

(7)

img0 

اما اگر رویکرد ارزیابی متقابل خوشبینانه را برای به دست آوردن رتبه‌بندی همتایان در نظر گرفته شود، بایستی در مدل (7) نوع تابع هدف از مینیمم به ماکزیمم تبدیل شود. به‌عبارتی‌دیگر معیار o ام رتبه‌بندی همتایان خود را به حداکثر می‌رساند. با گرفتن میانگین هارمونیک از سطر oام در img0 رتبه‌بندی متقابل img0معیار oام به دست می‌آید. با نرمالیزه کردن رتبه‌بندی متقاطع، رتبه وزن نسبی معیار oام به‌صورت img0 به دست می‌آید که با توجه به نظر تمامی کارشناسان و افراد خبره به‌دست‌آمده است. دلیل استفاده از میانگین هارمونیک که سکستون [40] برای این منظور پیشنهادشده است، آن است که مدل (6) یک مدل DEA ورودی محور با L خروجی و یک ورودی با مقدار یک را نشان می­دهد. واضح است که مقدار بهینه تابع هدف مدل ورودی محور، یک ضریب کاهش ورودی را برای رسیدن به مرز کارا توسط واحد تصمیم­گیری نشان می­دهد. بنابراین میانگین هارمونیک رتبه­بندی همتایان، طبیعی و منطقی به نظر می­رسد.

4-مثال عددی

در این قسمت یک مثال عددی را برای نشان دادن مزایا و کاربردهای بالقوه الگوریتم پیشنهادی در AHP گروهی را بررسی می­کنیم. تمام مدل‌ها روی یک کامپیوتر با استفاده از برنامه حل‌کننده LP به نام GAMS حل گردید.

مثال 1- یک مسئله‌ی تصمیم‌گیری گروهی را در AHP در نظر بگیرید: از یک مدیر سطح بالا و سه کارشناس از بخش‌های مختلف خواسته‌شده است که اهمیت نسبی پنج معیار تصمیم را مقایسه کنند. چهار ماتریس مقایسه‌ی زوجی که توسط مدیر ارشد و سه کارشناس ارائه‌شده‌اند، ازاین‌قرارند [41].

img0 

وزن‌های اهمیت نسبی چهار تصمیم‌گیرنده برای مدیر ارشد 50٪ و برای سه کارشناس به ترتیب 30٪، 15٪ و 5٪ فرض می‌شوند. در اینجا img0 (img0) وزن‌های اهمیت نسبی چهار تصمیم‌گیرنده هستند. نتایج رتبه‌بندی به‌دست‌آمده از مدل (5) در جدول 1 نشان داده‌شده است.

جدول1) وزن و اولویت معیارها ازنظر کارشناسان با استفاده از مدل SBM

کارشناسان

معیار یا گزینه‌ی تصمیم

‌img0

‌img0

‌img0

‌img0

‌img0

مدیر ارشد

000/1 (1)

603/0 (4)

574/0 (5)

696/0(3)

000/1 (1)

کارشناس 30%

000/1 (1)

537/0 (5)

000/1(1)

798/0 (4)

823/0(3)

کارشناس 15%

000/1 (1)

727/0 (5)

000/1(1)

945/0 (4)

979/0(3)

کارشناس 5%

000/1(1)

970/0 (5)

986/0(4)

000/1 (1)

993/0(3)

رتبه‌بندی معیارها ازنظر کارشناسان و مدیر ارشد با درجه اهمیت متفاوت در جدول 2 گزارش‌شده است.

جدول2) جایگاه معیارها از دیدگاه کارشناسان و مدیر ارشد

کارشناسان

جایگاه رتبه‌بندی معیارها

‌جایگاه اول

‌جایگاه دوم

‌جایگاه سوم

‌جایگاه چهارم

‌جایگاه پنجم

مدیر ارشد

img0وimg0

-

img0 

img0 

img0 

کارشناس 30%

img0وimg0

-

img0 

img0 

img0 

کارشناس 15%

img0وimg0

-

img0 

img0 

img0 

کارشناس 5%

img0وimg0

-

img0 

img0 

img0 

 

با توجه داده‌های جدول 2 ماتریس رأی‌گیری به‌صورت زیر به دست می‌آید.

img0 

 

منظور از عدد 4 در سطر اول و ستون اول ماتریس V این است که معیار اول از دیدگاه 4 کارشناس حائز رتبه اول می‌باشد که در جدول 2 نشان داده‌شده است. در مرحله بعدی تجمیع نظرات کارشناسان با بکار بردن مدل (6) و با دو رویکرد خصمانه و خیرخواهانه در جدول‌های 3 و 4 تهیه‌شده است.

 

جدول 3) نتايج تجمیع نظرات کارشناسان با استفاده از مدل‌های (6) با رویکرد ارزیابی متقابل بدبینانه

معيار يا گزينه

معيار يا گزينه‌ي هدف

میانگین هارمونیک همسالان

وزن نرمالیزه

رتبه

‌img0

‌img0

‌img0

‌img0

‌img0

 

‌img0

1

1

1

1

1

1

291/0

1

‌img0

0667/0

8/0

8/0

8/0

8/0

25/0

073/0

5

‌img0

54/0

9067/0

9067/0

9067/0

9067/0

7983/0

233/0

2

‌img0

3433/0

8933/0

8933/0

8933/0

8933/0

6766/0

197/0

4

‌img0

37/0

92/0

92/0

92/0

92/0

7092/0

206/0

3

 

جدول 4) نتايج تجمیع نظرات کارشناسان با استفاده از مدل (6) با رویکرد ارزیابی متقابل خوش بینانه

معيار يا گزينه

معيار يا گزينه‌ي هدف

میانگین هارمونیک همسالان

وزن نرمالیزه

رتبه

‌img0

‌img0

‌img0

‌img0

‌img0

 

‌img0

1

1

1

1

1

1

221/0

1

‌img0

8/0

8/0

8/0

8/0

8/0

8/0

177/0

5

‌img0

9067/0

9067/0

9067/0

9067/0

9067/0

9067/0

201/0

3

‌img0

8933/0

8933/0

8933/0

8933/0

8933/0

8933/0

198/0

4

‌img0

92/0

92/0

92/0

92/0

92/0

92/0

203/0

2

 

پس از تجمیع چهار ماتریس مقایسه زوجی به صورت یک ماتریس مقایسه‌ی زوجی گروهی، با استفاده از میانگین هندسی وزنی img0 (img0) که در اینجا img0 (img0) وزن‌های اهمیت نسبی چهار تصمیم‌گیرنده هستند، داریم:

 

img0 

 

برای این ماتریس مقایسه‌ی زوجی، مقدار ویژه‌ی بیشینه img0 است. که نسبت همسازی آن است که قابل‌قبول می­باشد. (برای این مثال img0 به‌دست‌آمده است). بر این اساس، رتبه‌بنimg0دی اولویت پنج معیار به‌صورت img0 است. الگوریتم تجمیع نظرات کارشناسان پیشنهادشده با رویکرد خوش بینانه نیز، دقیقاً همین ترتیب اولویت را به دست می‌دهند که در جدول 5 نشان داده‌شده است. در این الگوریتم ابتدا با استفاده از مدل SBM رتبه‌بندی معیارها به روش علمی به دست می‌آید و از سوگیری‌های ذهنی در دادن رأی افراد که ممکن است ایجاد شود، جلوگیری به عمل می­آورد. بنابراین الگوریتم پیشنهادی می­تواند با حضور کارشناسان بیشتر در سطوح مختلف به نتایج قابل‌اطمینانی دست پیدا کند.

جدول 5) وزن معیارها با استفاده از الگوریتم پیشنهادی وEM

مدل‌ها

معیار یا گزینه‌ی تصمیم

‌img0

‌img0

‌img0

‌img0

‌img0

روش EM(AIJ)

311/0(1)

079/0 (5)

188/0(3)

172/0(4)

249/0 (2)

الگوریتم پیشنهادی با رویکرد ارزیابی

متقابل خوشبینانه

221/0(1)

177/0 (5)

201/0 (3)

198/0 (4)

203/0(2)

الگوریتم پیشنهادی با رویکرد ارزیابی

متقابل بدبینانه

291/0(1)

073/0 (5)

233/0(2)

197/0 (4)

206/0(3)

 

5- نتیجه گیری

موضوع اصلی در AHP گروهی، چگونگی تجمیع نظرات کارشناسان و افراد خبره با سطح اهمیت مختلف می‌باشد. مطالعات مختلفی برای حل این مشکل وجود دارد. بااین‌حال، مطالعات مقادیر مختلفی را برای بردار اولویت تولید می‌کند. در این مقاله الگوریتمی برای حل این مشکل، پیشنهاد می­شود که ابتدا با استفاده از مدل SBM وزن‌های معیارها به کمک ماتریس مقایسه زوجی که از هر یک از کارشناسان به‌دست‌آمده است، تعیین می‌شود. و درنهایت بر اساس این وزن‌ها، رأی افراد صاحب‌نظر در مورد جایگاه معیارها مشخص می‌شود. سپس از مدل رأی‌گیری جهت تجمیع نظرات کارشناسان به همراه دو رویکرد ارزیابی متقابل خوشبینانه و بدبینانه در تعیین رتبه همتایان استفاده می‌شود. یک مثال عددی به همراه 4 کارشناس و 5 معیار، با استفاده از این الگوریتم مورد بررسی قرار گرفت. نتایج نشان می‌دهد که رتبه‌های به‌دست‌آمده از این الگوریتم در حالت ارزیابی متقابل خوشبینانه با رتبه‌بندی به روش EM مطابقت دارد که می‌تواند با حضور کارشناسان بیشتر در تعیین رتبه‌بندی منطقی‌تر عمل کند.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

فهرست منابع

[1] Saaty, T.L. The Analytic Hierarchy Process; 2nd impression 1990, RSW Pub. Pittsburgh; Mc Graw-Hill: New York, NY, USA, 1980. 

 

[2] Ahmad, F., Saman, M.Y.M., Mohamad, F.S., Mohamad, Z., & Awang, W.S.W.(2014). Group decision support system based on enhanced AHP for tender evaluation. International Journal of Digital Information and Wireless Communications. (IJDIWC), 4(2), 248–257.

 

[3] De Brucker, K., Macharis, C., & Verbeke, A. (2013). Multi-criteria analysis and the resolution of sustainable development dilemmas: A stakeholder management approach. European Journal of Operational Research, 224(1), 122–131.

 

 [4] Kuzman, M. K., Grošelj, P., Ayrilmis, N., & Zbasnik-Senegacnik, M. (2013). Comparison of passive house construction types using analytic hierarchy process. Energy and Buildings, 64, 258–263.

 

[5] Ren, J., Fedele, A., Mason, M., Manzardo, A., & Scipioni, A. (2013). Fuzzy multi-actor multi- criteria decision making for sustainability assessment of biomass-based technologies for hydrogen production. International Journal of Hydrogen Energy 38(22), 9111–9120.

 

[6] Skorupski, J. (2014). Multi-criteria group decision making under uncertainty with application to air traffic safety Expert Systems with Applications, 41(16), 7406–7414.

 

[7] Wang, J. Q., Peng, L., Zhang, H. Y., & Chen, X. H. (2014). Method of multi-criteria group decision-making based on cloud aggregation operators with linguistic information. Information Sciences, 274, 177–191.

 

 [8] Dede, G., Kamalakis, T., & Sphicopoulos, T. (2016). Theoretical estimation of the probability of weight rank reversal in pairwise comparisons. European Journal of Operational Research, 252(2), 587–600.

 

[9] Peniwati, K. (2007). Criteria for evaluating group decision-making methods. Mathematical and Computer Modelling, 46, 935–947.

 

[10] Dyer, R. F., & Forman, E. H. (1992). Group decision support with the analytic hierarchy process. Decision Support Systems, 8, 99–124.

 

[11] Ishizaka, A., & Labib, A. (2011b). Review of the main developments in the analytic hierarchy process. Expert Systems with Applications, 38(11), 14336–14345.

 

[12] Lai, V. S., Wong, B. K., & Cheung, W. (2002). Group decision making in a multiple criteria environment: A case using the AHP in software selection. European Journal of Operational Research, 137, 134–144.

 

[13] Taylor, A. D., & Pacelli, A. M. (2008). Mathematics and politics: Strategy, voting, power and proof (2nd ed.). New York: Springer Verlag.

 

[14] Srdjevic, B. (2007). Linking analytic hierarchy process and social choice methods to support group decision-making in water management. Decision Support Systems, 42, 2261–2273

 

[15] Forman, E., & Peniwati, K. (1998). Aggregating individual judgments and priorities with the analytic hierarchy process. European Journal of Operational Research 108, 165–169.

 

[16] Berttolini, M., &Maurizio, B. (2006). A combined goal programming – AHP approach to maintenance selection problem . Reliability Engineering &System Safety 91, 7 :839-848.

 

[17] Hosseinian, S.S., Navidi, H., Hajfathaliha, A. (2012). A New Linear Programming Method for Weights Generation and Group Decision Making in the Analytic Hierarchy Process. Group Decision and Negotiation, 21(3), 233-254.

 

[18] Huang, Y. S., Liao, J. T., & Lin, Z. L. (2009). A study on aggregation of group decisions. Systems Research and Behavioral Science, 26, 445–454

 

[19] Altuzarra, A.; Moreno-Jiménez, J.M.; Salvador, M.(2007). A Bayesian priorization procedure for AHP-group decision making. Eur. J. Oper. Res, 182, 367–382.

 

[20] Moreno-Jiménez, J.M.; Aguarón, J.; Escobar, M.T. (2002). Decisional Tools for Consensus Building in AHP-Group Decision Making. In Proceedings of the 12th Mini Euro Conference, Brussels, Belgium, 2–5

 

 [21] Moreno-Jiménez, J.M.; Aguarón, J.; Escobar, M.T. (2008).The core of consistency in AHP-group decision making. Group Decis. Negotiat. 17, 249–265.

 

[22] Escobar, M.T.; Aguarón, J.; Moreno-Jiménez, J.M.(2015). Some extensions of the Precise Consistency Consensus Matrix. Decis. Support Syst. 74, 67–77.

 

[23] Sharafi, H., Hosseinzadeh Lotfi, F., Jahanshahloo, G., Rostamy-malkhalifeh, M., Soltanifar, M., & Razipour-GhalehJough, S. (2019). Ranking of petrochemical companies using preferential voting at unequal levels of voting power through data envelopment analysis. Mathematical Sciences, 13(3), 287-297.

 

 [24] Charnes, A., Cooper, W.W. and Rhodes, E. (1978), “Measuring the efficiency of decision making units”, European Journal of Operational Research, Vol. 2 No. 6, pp. 429-444.

 

[25] Tone, K. (2001), “A slacks-based measure of efficiency in data envelopment analysis”, European Journal of Operational Research, Vol. 130 No. 3, pp. 498-509.

 

[26] Ho, W. (2008). Integrated analytic hierarchy process and its applications –A litera- ture review. European Journal of Operational Research, 186(1), 211–228.

 

[27] Khoshfetrat,S.;Hosseinzadeh Lotfi,F. ; Rostamy-Malkhlalifeh,M.(2014).Analytic Hierarchy Process: Obtaining weight vector with generalized weighted least square method by using Genetic Algorithm and simplex method. Journal of Applied Science and Agriculture. 9(1),211-217.

 

[28] Khoshfetrat, S.; Hosseinzadeh Lotfi, F,.(2014). Introducing a nonlinear programmig model and using genetic algorithm to rank the alternatives in analytic hierarchy process. Journal of Applied Research on Industrial Engineering. 1(1)12-18.

 

[29] Khoshfetrat,S., Hosseinzadeh Lotfi, F,. (2014). Deriving Priorities the Alternatives in an Analytic Hierarchy Process. International Journal of Research in Industrial Engineering. 3(4)13-20.

 

[30] Barzilai, J.; Golany, B. (1994).AHP rank reversal, normalization and aggregation rules. INFOR, 32, 57–63.

 

[31] Escobar, M.T.; Aguarón, J.; Moreno-Jiménez, J.M.(2004). A Note on AHP Group Consistency for the Row Geometric Mean Priorization Procedure. Eur. J. Oper. Res. 153, 318–322

 

[32] Cook, M. Kress, A.(1990). A data envelopment model for aggregating preference rankings, Manage. Sci. 36, 1302–1310.

 

33. سلطانی فر،مهدی؛شرفی، حمید؛ زرگر، سید محمد؛همایونفر، مهدی. (1400). رتبه بندی تامین کنندگان با استفاده از تکنیک تحلیل پوششی داده ها و مدل جدید کارایی متقاطع در حضور خروجی های نامطلوب. مجله پژوهش های نوین در ریاضی. 32(4): 35-57.

 

[34] Soltanifar. M., Hosseinzadeh Lotfi, F. (2011). The voting analytic hierarchy process method for discriminating among efficient decision making units in data envelopment analysis.Computers & Industrial Engineering 60 (4), 585-592.

 

[35] Soltanifar, M.,Ebrahimnejad, A. Farrokhi.,MM.(2010) Ranking of different ranking models using a voting model and its application in determining efficient candidates,International Journal of Society Systems Science 2 (4),375-389.

 

[36] Ramanathan, R (2006). Data envelopment analysis for weight derivation and aggregation in the analytic hierarchy process. Computers & Operations Research, 33(5), 1289–1307.

 

[37] Pishchulov,G. Trautrimsc,A. Chesneyc, T,.(2019). Stefan Goldd, Leila Schwabe The Voting Analytic Hierarchy Process revisited: A revised method with application to

 sustainable supplier selection. International Journal of Production Economics 211,166-179.

 

[38] Green, R.H., Doyle, J.R., Cook, W.D., (1996). Preference voting and project ranking using DEA and cross-evaluation. Eur. J. Oper. Res. 90 (3), 461–472.

 

[39] Noguchi, H., Ogawa, M., Ishii, H., (2002). The appropriate total ranking method using DEA for multiple categorized purposes. J. Comput. Appl. Math. 146 (1), 155–166.

 

[40] Sexton, T.R., Silkman, R.H., Hogan, A.J., 1986. Data envelopment analysis: critique and extensions. In: Silkman, R.H. (Ed.), Measuring Efficiency: an Assessment of Data

  Envelopment Analysis. Jossey-Bass, San Francisco, pp. 73–105.

 

[41] Wang, Y.-M., & Chin, K.-S. (2009). A new data envelopment analysis method for priority determination and group decision making in the analytic hierarchy process. European Journal of Operational Research, 195(1), 239–250.

[1] ·  عهده­دار مکاتبات:                                                                                                        Email:saharkhoshfetrat@iaut.ac.ir


Sanad

Sanad is a platform for managing Azad University publications

Links

Related Centers

Technical Support

Official pages

The rights to this website are owned by the Raimag Press Management System.
Copyright © 2021-2025

Home| Login| About Us| Contact Us|
[فارسی] [العربية] [fa] [ar]