On extension of an inequality including Arithmetic and Logarithmic means via generalized Hermite-Hadamard inequality
Subject Areas : Statistics
Mohsen Rostamian Delavar
1
,
Mohsen Kian
2
1 - Department of Mathematics, Faculty of Basic Sciences, University of Bojnord,, Iran
2 - Department of Mathematics, Faculty of Basic Sciences, University of Bojnord,, Iran
Keywords: میانگین عددی خاص, نامساوی هرمیت-هادامارد, تابع "M-لیپشیتس", تابع کراندار,
Abstract :
We present an extension version of the well-known Hermite-Hadamard inequality by using the definition of the mapping L(t) and by using the convexity of considered function. This inequality has several applications in mathematical inequalities which in special case gives a generalization for a mean type inequality including Arithmetic mean and generalized Logarithmic mean, which is known in the field of mathematical means with many applications. In fact we extended an Arithmetic-generalized Logarithmic mean type inequality with a natural number as the power to a generalized real number type inequality, by the use of results obtained in this work. Also some new properties related to the mapping L(t) are investigated. Furthermore, at last, some estimation type inequalities for the case that considered function is M-Lipschitz and the case that is bounded are given. In fact by using the definition of the mapping L(t) we obtain an estimation type results for the difference of Arithmetic mean and generalized Logarithmic mean.
[1] S.S. Dragomir, C.E.M. Pearce, “Selected topics on Hermite-Hadamard inequalities and Applications”, RGMIA Monographs, Victoria University, 2000.
[2] J.L.W.V. Jensen, “On konvexe funktioner og uligheder mellem middlvaerdier”, Nyt. Tidsskr. Math. B., 16 (1905), 49-69.
[3] J.L.W.V., Jensen, “Sur les fonctions convexes et les ińegaliťes entre les voleurs mogernmes”, Acta Mathematica, 30 (1906), 175-193.
[4] D.S. Mitrinović, I.B. Lacković, “Hermite and convexity”, Aequationes Mathematicae, 28 (1985) 229-232.
[5] J. Pečarić, F. Proschan, Y. L. Tong, “Convex Functions, Partial Orderings and Statistical Applications”, Academic Press, Inc., 1992.
[6] M. Rostamian Delavar, M. De La Sen, “Some generalizations of Hermite-Hadamard type inequalities”, SpringerPlus, 5:1661 (2016).
[7] M. Rostamian Delavar, S.S. Dragomir , “On η–convexity”, Mathematical Inequalities and Applications, 20 (2017) 203-216.
[8] S. S. Dragomir, R. P. Agarwal, “Two inequalities for differentiable mappings and applications to special means of real numbers and to trapezoidal formula”, Applied Mathematics Letters, 11 (1998), 91-95.
[9] U. S. Kirmaci, “Inequalities for differentiable mappings and applications to special means of real numbers and to midpoint formula”, Applied Mathematics and Computations, 147(1) (2004) 137-146.
[10] C. E. M. Pearce, J. Pečarić, “Inequalities for differentiable mappings with application to special means and quadrature formula”, Applied Mathematics Letters, 13 (2000) 51-55.
[11] S.S. Dragomir, D.M. Milošević, J. Sándor, “On some refinements of Hadamard’s inequalities and applications”, Univ. Beograd. Publ. Elektrotehn. Fak. Ser. Mat., 4 (1993) 3-10.
[12] K.-L. Tseng, H. Shiow-Ru, S.S Dragomir, “Fejer-Type Inequalities (II)”, Mathematica Slovaca, 67 (2017) 109-120.
[13] R. A. Silverman, “Calculus With Analytic Geometry”, Pearson College Div, 1985.
[14] Robert A.W., Varberg D.E., “Convex functions”, Academic Press, New York, 1973.
[15] S.S. Dragomir, Y.J. Cho, S.S. Kim, “Inequalities of Hadamard’s type for Lipschitzian mappings and their applications”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 245 (2000) 489-501.
[16] G-.S. Yang, K-.L. Tseng, “Inequalities of Hadamard’s type for Lipschitzian mappings”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 260 (2001) 230-238.
[17] M. Rostamian Delavar and S. S. Dragomir, “Weighted trapezoidal inequalities related to the area balance of a function with applications”, Applied Mathematics and Computations, 340 (2019), 5-14.
[18] M. Rostamian Delavar, S. S. Dragomir, “Trapezoidal type inequalities related to h-convex functions with applications”, Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Serie A. Matemáticas (RACSAM), 113 (2019) 1487-1498.
توسیعی برای یک نامساوی شامل میانگینهای حسابی و لگاریتمی
با استفاده از نامساوی هرمیت-هادامارد تعمیم یافته
چکیده
با استفاده از تعریف نگاشت حقیقی L(t) و استفاده از تحدب تابع مورد نظر، توسیعی برای نامساوی معروف هرمیت-هادامارد ارائه میشود. این نامساوی جدید دارای کاربردهای مختلف در بحث نامساویهای ریاضی است که در حالت خاص تعمیم دهنده یک نامساوی میانگینی است شامل میانگین حسابی و میانگین لگاریتمی تعمیم یافته که در مباحث مربوط به میانگینهای ریاضی شناخته شده و دارای کاربردهای فراوان هستند. در واقع یک نامساوی کلاسیک در مورد میانگین حسابی و میانگین لگاریتمی تعمیم یافته در مباحث آنالیز ریاضی برای توانهای طبیعی وجود دارد که با استفاده از نتایج این مقاله میتوان آن را به توانهای حقیقی و صورتهای جدیدتر تعمیم داد. در ضمن برخی از خواص تابعی جدید مربوط به نگاشت L(t) را در این مقاله بررسی و اثبات می کنیم. در بخش پایانی شرط "
-لیپشیتس" بودن و شرط کرانداری تابع، جایگزین شرط تحدب تابع مورد نظر میشود تا با استفاده از آن نامساویهای جدیدتر و تعمیم یافته در رابطه با میانگینهای عددی خاص بدست آید.
واژگان کلیدی: نامساوی هرمیت-هادامارد، میانگین عددی خاص، تابع "-لیپشیتس"، تابع کراندار.
رده‌بندی ریاضی (2010): 26A51، 26D15، 52A01.
1. معرفی و مقدمات
در مطالعه توزیع یک جامعه آماری مقدار نماینده که اندازه‌ها در اطراف آن توزیع شده‌اند را مقدار مرکزی می‌نامند و هر معیار عددی را که معرف مرکز مجموعه داده‌ها باشد، معیار گرایش به مرکز می‌نامند. میانگین از متداولترین معیارهای گرایش به مرکزاست. در واقع میانگین یک تابع آماری است که به عنوان شاخص تمایل مرکزی داده‌ها مطرح میشود. از معروفترین میانگینها میتوان به میانگینهای حسابی، هندسی، هارمونیک (همساز)، لگاریتمی و لگاریتمی تعمیم یافته اشاره کرد. فرمول هر کدام از میانگینها کاربرد معینی دارد. به عنوان مثال میانگین هندسی برای میانگین‌گیری از رشدها و نسبت‌ها مناسب است، میانگین هارمونیک برای محاسبه داده‌هایی که واحدهای آن ترکیبی است مورد استفاده قرار میگیرد و میانگین حسابی که در سایر موارد غلب مورد استفاده قرار میگیرد. در ادامه به دو مورد از میانگینها که در این مقاله مورد استفاده قرار میگیرد اشاره میکنیم.
برای 
دو میانگین خاص زیر را در نظر میگیریم:
جاییکه 
و 
.
نتیجه کلاسیک زیر در مورد ارتباط بین میانگین حسابی و میانگین لگاریتمی تعمیم یافته برای توانهای طبیعی برقرار است:
قضیه 1 ([1]): برای هر 
با شرط 
و
، نامساوی زیر برقرار است:
نکته اصلی در مورد نامساوی (1.1) این است که با استفاده از نامساوی معروف هرمیت-هادامارد میتوان توانهای نامساوی فوق را از اعداد طبیعی به بازه حقیقی 
تعمیم داد که در ادامه به عنوان یک نتیجه جزئیات آن بیان میشود.
یادآوری می کنیم که یک تابع محدب 
، تابعی است که در شرایط زیر صدق کند:
برای هر 
و 
.
قابل ذکر است که برای اولین بار ینسن (Jensen) تابع با شرایط فوق را محدب نامید و خواص جدید و جالبی را برای آن ارائه کرد([2,3]).
نامساوی زیر در متون ریاضی معروف به نامساوی هرمیت-هادامارد است، که در آن 
یک تابع محدب روی 
میباشد.
نامساوی هرمیت هادامارد بدون اغراق اولین نتیجه بنیادی برای توابع محدب است با کاربردهای فراوان بخصوص در زمینه میانگین های خاص عددی نظیر میانگین های حسابی، هندسی و لگاریتمی. این نامساوی در ابتدا بنام هادامارد (Hadamard) نام گذاری شد، ریاضیدانی که در سال 1893 میلادی آن را ارائه و اثباتی برای آن بیان کرد. اما بعدها مشخص شد که قبلا در سال1881 میلادی ریاضیدانی دیگر بنام هرمیت (Hermite)در نامه ای به مجله Mathesis این نامساوی را ارائه کرده است و نتایجی را در مورد کران بالا و پایین تابع لگاریتم از آن به صورت زیر استخراج نموده است:
امروزه نامساوی 
را بنام هرمیت-هادامارد می شناسیم ([4] را ببینید). تعمیم ها و کاربردهای زیادی برای توابع محدب و نامساوی هرمیت-هادامارد در طول 120 سال اخیر ارائه شده است که خواننده علاقمند را به مطالعه مراجع [1,4-10] دعوت می کنیم.
همانطور که بیان کردیم از جمله کاربردهای نامساوی هرمیت-هادامارد 
، تعمیم رابطه 
از حالت توانهای طبیعی به توانهای حقیقی است، به این ترتیب که در نامساوی هرمیت-هادامارد به ازای 
و 
کافیست قرار دهیم 
. بنابراین با کمی محاسبات انتگرال مقدماتی خواهیم داشت:
برای هر با شرط و 
.
برای مطالعه بیشتر در باره نامساویهای میانگینی، خوانندگان علاقمند را به مطالعه مراجع [1,5] دعوت میکنیم.
از سوی دیگر در [11]، نگاشت حقیقی 
برای اولین بار برای تابع انتگرالپذیر بر بصورت زیر معرفی شد:
برای هر 
و خواص مقدماتی زیر برای آن ارائه و اثبات شد.
قضیه 2 ([11]): فرض کنید یک نگاشت محدب باشد. آنگاه
(1) نگاشت 
روی 
محدب است.
(2) نامساوی زیر برقرار است:
برای هر .
(3) تساوی زیر برقرار است:
برای مطالعه جدیدترین نتایج در رابطه با نگاشت فوق خوانندگان را به [12] ارجاع می دهیم.
با توجه به نتایج و نامساویهای بیان شدهی فوق، در این مقاله ما با استفاده از نگاشت حقیقی 
تعمیمی برای نامساوی هرمیت-هادامارد و در نتیجه تعمیمی برای نامساوی میانگینی 
ارائه خواهیم کرد.
در بخش پایانی شرط "-لیپشیتس" (M-Lipschitz) بودن تابع و شرط کرانداری تابع مورد نظر جایگزین شرط تحدب (شرط اساسی در نامساوی هرمیت-هادامارد) میشود تا نتایج و نامساویهای جدیدی در رابطه با نامساوی هرمیت-هادامارد و میانگینهای عددی خاص بدست آید.
2- نتایج اصلی
در این بخش به عنوان نتایج اصلی با استفاده از تعریف نگاشت تظریف و تعمیمی برای نامساوی و در نتیجه تظریف و تعمیمی برای نامساوی ارائه خواهیم کرد. همچنین در یک گزاره برخی از خواص تابعی، مربوط به 
را بررسی و اثبات می کنیم.
قضیه 3: اگر 
یک تابع محدب باشد، آنگاه
برای هر 
، داریم:
بعلاوه اگر 
آنگاه
اثبات: اگر 
، آنگاه نتیجه
که از تعریف
در (1.4) بدست میآید دستاورد جدیدی بجز نامساوی هرمیت-هادامارد ارائه نمی کند. بنابراین گیریم 
باشد. با استفاده از دو تغییر متغیر
و
در (1.4)، به تساوی زیر می رسیم (جزئیات را بیان نمی کنیم):
اکنون با کمی محاسبات و فرض
و
برای هر 
از رابطه فوق بدست می آوریم:
از تساوی فوق نتیجه میگیریم که:
همچنین بدون ارائه اثبات، دو تساوی زیر را برای هر
در نظر میگیریم :
و
که در کنار نامساوی هرمیت-هادامارد (1.2) برای تابع محدب 
و خواص انتگرال معین برای هر نتیجه میدهند:
حال با توجه به روابط (2.3)، (2.4) و انجام محاسبات مربوطه، به نامساوی مورد نظر دست پیدا خواهیم کرد.
بعلاوه برای 
داریم:
این تساوی نتیجه مورد نظر را بدست میدهد. ■
در گزاره زیر برخی از خواص تابعی جدید مربوط به را بررسی و اثبات می کنیم.
گزاره 1: تابع را در نظر بگیرید.
1) به ازای 
و 
در حالت خاص برای 
،
در ضمن
2) اگر 
یک تابع محدب روی باشد، آنگاه تظریف (refinement) زیر از نامساوی هرمیت-هادامارد برقرار میشود:
3) فرض کنید بر پیوسته باشد. نتیجه زیر برقرار است:
4) فرض کنید بر پیوسته باشد. حداقل یک
موجود است که
اثبات:
1) عدد 
را طوری انتخاب کنید که 
. اکنون با استفاده از (2.2) و نامساوی هولدر (Hölder) داریم:
[
+
]=
2) اگر بر محدب باشد، آنگاه طبق قسمت (1) در قضیه 2، نگاشت بر محدب است و طبق نامساوی کلاسیک هرمیت-هادامارد داریم:
حال چون تابع بر محدب است با استفاده مجدد از نامساوی هرمیت-هادامارد داریم:
و
این نامساویها نتیجه مورد نظر را بدست میدهند.
3) با استفاده از قاعده هوپیتال (L’Hôpital) و قضیه لایبنیتز(Leibniz) (مشتقگیری از انتگرال) در (2.2) نتیجه مورد نظر بدست میآید.
4) از آنجا که 
و نگاشت پیوسته بر و مشتقپذیر بر 
است آنگاه طبق قضیه رل (Rolle)، یک موجود است بطوریکه 
. در نتیجه
بنابراین
این معادل است با اینکه
■
نکته: برای مشاهده قاعده هوپیتال ، قضیه لایبنیتز و قضیه رل به ([13]) مراجعه کنید.
چند نتیجه زیر از قضیه 3 حاصل می شود که نتیجه اول در مورد نامساوی کلاسیک هرمیت-هادامارد است و نتیجه دوم تعمیمی از یک نامساوی کلاسیک بین میانگین های عددی خاص است.
نتیجه 1: قضیه 3، توسیعی از نامساوی هرمیت-هادامارد ارائه میکند زیرا نتیجه بدست آمده برای هر معتبر است و در حالت خاص برای تابع محدب ، به ازای
بدست میآوریم:
که همان نامساوی کلاسیک هرمیت-هادامارد است.
نتیجه 2: با توجه به روند اثبات قضیه 3، اگر قرار دهیم
، آنگاه برای 
و
خواهیم داشت:
که نتیجه میدهد
از طرفی دیگر واضح است که
در نهایت با استفاده از دو تساوی فوق و کمی محاسبه بدست خواهیم آورد:
,
برای هر . اکنون با جایگزینی روابط فوق در (2.1) به نامساویهای زیر دست خواهیم یافت:
برای هر .
نتیجه 3: اگر در نتیجه (5) رابطه (2.3)، در حالت خاص قرار دهیم ، آنگاه برای و 
به نامساوی میانگینی زیر میرسیم:
که نشان می دهد رابطه (2.3) تظریف و تعمیمی جدید از رابطه (1.3) بدست میدهد که پیشتر در بخش مقدمات به آن اشاره شده است. بعلاوه در خاص ترین حالت اگر فرض کنیم 
آنگاه به نامساوی کلاسیک (1.1) در بخش مقدمات میرسیم.
3-توابع "
-لیپشیتس" و کراندار
در آنالیز ریاضی برای هر نامساوی، یکی از رایج ترین مسائل بررسی و تخمین تفاضل دو سمت نامساوی است که البته اگر این نامساوی از نوع تابعی یا انتگرالی باشد آنگاه بر حسب خواص تابع مورد بحث، میزان تخمین متفاوت خواهد بود. در این بخش سعی داریم با استفاده از تعریف نگاشت ، تخمینی جدید را برای تفاضل میانگین حسابی و میانگین لگاریتمی تعمیمیافته در (1.3) بدست آوریم. برای انجام اینکار شرط تحدب تابع را برداشته و فرض میکنیم که تابع مورد نظر در یک شرط "-لیپشیتس" و یا همچنین در شرط کرانداری صدق کند. دلیل انتخاب این دو رده از توابع بجای توابع محدب قضیه زیر است:
قضیه 4 ([14]): اگر بر محدب باشد، آنگاه روی 
، "-لیپشیتس" و کراندار است.
در این بخش ابتدا نتایج و نامساویهایی در مورد توابع "-لیپشیتس" بیان میکنیم و سپس به توابع کراندار و نتایج مربوط به آن میپردازیم.
تعریف 1 ([14]): 
را یک بازه حقیقی در نظر بگیرید. تابع 
را "-لیپشیتس" روی مینامیم، هرگاه عدد حقیقی 
موجود باشد بطوریکه برای هر 
داشته باشیم
قضیه زیر بیانگر برخی خواص نگاشت در رابطه با توابع "-لیپشیتس" است:
قضیه 5: فرض کنید ، تابع "-لیپشیتس" روی باشد. برای هر 
با شرط 
آنگاه:
(1) یک نگاشت 
-لیپشیتس است.
(2) برای هر 
،
(3) برای هر ،
(4) نامساوی زیر برقرار است:
(5) برای هر ،
اثبات:
(1) دو نقطه 
و 
در را در نظر بگیرید. برای این دو نقطه داریم:
که نشان می دهد یک نگاشت -لیپشیتس است.
(2) اگر در رابطه (3.1) قرار دهیم 
و 
آنگاه خواهیم داشت:
که نتیجه میدهد :
برای هر .
(3) کافیست در رابطه (3.1) قرار دهیم و 
.
(4) برای ، از تعریف نگاشت و اینکه تابع
"-لیپشیتس" روی است، خواهیم داشت:
(5) چون به ازای هر 
میتوان در نظر گرفت که
، بنابراین
که نامساوی مورد نظر را نتیجه خواهد داد.■
نتیجه 4: را یک بازه حقیقی در نظر بگیرید. فرض کنید نگاشت ، محدب و دیفرانسیلپذیر روی باشد با شرط
، و 
. آنگاه تمام نامساویهای موجود در صورت قضیه 8، مجددا برقرار میشوند.
اثبات: طبق قضیه لاگرانژ (Lagrange)[14] برای هر 
یک 
در بین آنها موجود است بطوریکه
این نامساوی نشان میدهد که بر یک تابع "-لیپشیتس" است و در نتیجه تمام روابط موجود در صورت قضیه 8، مجددا اتفاق میافتند. ■
مثال 1: اگر در قضیه (8) قسمت (2) قرار دهیم
، آنگاه برای داریم:
برای هر 
. همچنین با همین فرضیات از قسمت (3) قضیه (8) داریم:
برای هر .
در حالت خاص اگر در نامساوی قبل قرار دهیم آنگاه:
قابل ذکر است که نامساوی اول بدست آمده در مثال فوق یک نامساوی جدید از نوع میانگین لگاریتمی تعمیم یافته است و نامساوی دوم تعمیمی جدید از اولین نامساوی بدست آمده در نتیجه (2.3) از مرجع [15] است که به تخمینی جدید برای تفاضل میانگین حسابی و میانگین لگاریتمی تعمیمیافته میپردازد. در ضمن با فرض 
، 
و 
که همگی توابعی محدب روی بازه هستند (البته با این شرط که )، میتوان نامساویهای جدید دیگری که در نتیجه (2.3) از [15] وجود دارند را تعمیم داد که در اینجا به آنها نخواهیم پرداخت اما خواننده علاقمند را تشویق به تحقیق در این زمینه میکنیم.
برای مطالعات بیشتر در مورد ارتباط نامساوی هرمیت-هادامارد با توابع "-لیپشیتس"، مراجع [15,16] را مطالعه نمایید.
در قضیه زیر با اعمال شرط کرانداری بر تابع مورد نظر و با استفاده از تعریف نگاشت ، تخمین دیگری را برای تفاضل میانگین حسابی و میانگین لگاریتمی تعمیمیافته در (1.3) بدست میآوریم.
قضیه 6: اگر کراندار باشد، یعنی برای هر داشته باشیم 
، آنگاه:
(1) 
.
(2) 
،
برای هر .
اثبات:
(1) با انتگرالگیری از اجزای نامساوی نسبت به متغیر 
روی بازه ، اثبات واضح است.
(2) با استفاده از نامساوی 
، که در قسمت (1) بدست آمده است می توان نوشت:
که نتیجه میدهد
■
چون هر تابع محدب، کران دار است ([10] را ببینید) بلافاصله
از قضیه 11 می توان به نتیجه زیر دست یافت.
نتیجه 5: فرض کنید نگاشت ، محدب باشد. اعداد حقیقی 
و موجودند بطوریکه
(1) ، برای هر
مثال 2: اگر در قضیه (11) قرار دهیم
، آنگاه برای داریم:
در حالت خاص اگر در نظر گرفته شود آنگاه
که تقریبی جدید از تفاضل میانگین حسابی و میانگین لگاریتمی تعمیمیافته ارائه میکند. ذکر این نکته لازم است که در حالت کلاسیک (با استفاده از توابع محدب) تخمین برای تفاضل میانگین حسابی و میانگین لگاریتمی تعمیمیافته بصورت زیر در [8] ارائه شده است:
برای و 
. البته در [17] و [18] تعمیمهای جدیدی از نامساوی فوق بصورت زیر بدست آمده است:
که در آن 
، 
و
.
نکته: در نهایت قابل ذکر است که برای توابع محدب ، و و غیره میتوان نامساویهای غیر میانگینی اما جالبی را بدست آورد که خواننده علاقمند را تشویق به تحقیق در این زمینه میکنیم.
مراجع
[1] S.S. Dragomir, C.E.M. Pearce, “Selected topics on Hermite-Hadamard inequalities and Applications”, RGMIA Monographs, Victoria University, 2000.
[2] J.L.W.V. Jensen, “On konvexe funktioner og uligheder mellem middlvaerdier”, Nyt. Tidsskr. Math. B., 16 (1905), 49-69.
[3] J.L.W.V., Jensen, “Sur les fonctions convexes et les ińegaliťes entre les voleurs mogernmes”, Acta Mathematica, 30 (1906), 175-193.
[4] D.S. Mitrinović, I.B. Lacković, “Hermite and convexity”, Aequationes Mathematicae, 28 (1985) 229-232.
[5] J. Pečarić, F. Proschan, Y. L. Tong, “Convex Functions, Partial Orderings and Statistical Applications”, Academic Press, Inc., 1992.
[6] M. Rostamian Delavar, M. De La Sen, “Some generalizations of Hermite-Hadamard type inequalities”, SpringerPlus, 5:1661 (2016).
[7] M. Rostamian Delavar, S.S. Dragomir , “On η–convexity”, Mathematical Inequalities and Applications, 20 (2017) 203-216.
[8] S. S. Dragomir, R. P. Agarwal, “Two inequalities for differentiable mappings and
applications to special means of real numbers and to trapezoidal formula”, Applied Mathematics Letters, 11 (1998), 91-95.
[9] U. S. Kirmaci, “Inequalities for differentiable mappings and applications to special means of
real numbers and to midpoint formula”, Applied Mathematics and Computations, 147(1) (2004) 137-146.
[10] C. E. M. Pearce, J. Pečarić, “Inequalities for differentiable mappings with application to
special means and quadrature formula”, Applied Mathematics Letters, 13 (2000) 51-55.
[11] S.S. Dragomir, D.M. Milošević, J. Sándor, “On some refinements of Hadamard’s inequalities and applications”, Univ. Beograd. Publ. Elektrotehn. Fak. Ser. Mat., 4 (1993) 3-10.
[12] K.-L. Tseng, H. Shiow-Ru, S.S Dragomir, “Fejer-Type Inequalities (II)”, Mathematica Slovaca, 67 (2017) 109-120.
[13] R. A. Silverman, “Calculus With Analytic Geometry”, Pearson College Div, 1985.
[14] Robert A.W., Varberg D.E., “Convex functions”, Academic Press, New York, 1973.
[15] S.S. Dragomir, Y.J. Cho, S.S. Kim, “Inequalities of Hadamard’s type for Lipschitzian mappings and their applications”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 245 (2000) 489-501.
[16] G-.S. Yang, K-.L. Tseng, “Inequalities of Hadamard’s type for Lipschitzian mappings”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 260 (2001) 230-238.
[17] M. Rostamian Delavar and S. S. Dragomir, “Weighted trapezoidal inequalities related to the area balance of a function with applications”, Applied Mathematics and Computations, 340 (2019), 5-14.
[18] M. Rostamian Delavar, S. S. Dragomir, “Trapezoidal type inequalities related to h-convex functions with applications”, Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Serie A. Matemáticas (RACSAM), 113 (2019) 1487-1498.
On extension of an inequality including Arithmetic and Logarithmic means via generalized Hermite-Hadamard inequality
Abstract
We present an extension version of the well-known Hermite-Hadamard inequality by using the definition of the mapping and by using the convexity of considered function. This inequality has several applications in mathematical inequalities which in special case gives a generalization for a mean type inequality including Arithmetic mean and generalized Logarithmic mean, which is known in the field of mathematical means with many applications. In fact we extended an Arithmetic-generalized Logarithmic mean type inequality with a natural number as the power to a generalized real number type inequality, by the use of results obtained in this work. Also some new properties related to the mapping are investigated. Furthermore, at last, some estimation type inequalities for the case that considered function is -Lipschitz and the case that is bounded are given. In fact by using the definition of the mapping L(t) we obtain an estimation type results for the difference of Arithmetic mean and generalized Logarithmic mean.
Keywords: Hermite-Hadamard’s inequality, Special means, M-Lipschitz function, Bounded function.
Mathematics Subject Classifications (2010): 26A51, 26D15, 52A01.
