The Klein-Gordon Equation for a Moving Potential; The Study of Continuity in Potential Barrier

Subject Areas : Statistics

saber zarrinkamar ¹ , حسن حسن آبادی ² , مهناز معظمی ³

1 - گروه علوم پایه، واحد گرمسار، دانشگاه آزاد اسلامی، گرمسار، ایران
2 - دانشکده فیزیک، دانشگاه صنعتی شاهرود، شاهرود، ایران
3 - دانشکده فیزیک، دانشگاه صنعتی شاهرود، شاهرود، ایران

Received: 2018-05-02 Accepted : 2019-07-14 Published : 2024-01-18

Keywords: پتانسیل متحرک, پایستگی انرژی, سد پتانسیل, ذره‌ی نسبیتی, معادله‌ی کلاین-گوردون,

Abstract :

مطالعه‌ی سیستم‌های کوانتومی که وابستگی به زمان دارند به دلیل کاربرد زیاد آن‌ها در ریاضی فیزیک و ریاضی کاربردی مورد توجه قرار گرفته‌اند و بسیاری از اثرات مکانیک کوانتومی جالب به این مفهوم مرتبط می‌شوند. در این مقاله به بررسی یک ذره‌ی نسبیتی در پتانسیل وابسته به زمان پرداخته می شود. برای مطالعه‌ی ذرات نسبیتی اسپین صفر از معادله کلاین-گوردن بهره می بریم. یک رویکرد استاندارد تبدیل معادله‌ی کلاین گوردون با پتانسیل با دیواره‌های متحرک به یک معادله‌ی مشابه اما با دیواره‌های غیر متحرک می‌باشد. بنابراین راه حل این مسأله‌ی وابسته به زمان را می‌توان با توجه به تبدیلات لورنتس که هموردا می‌باشند بدست آورد. سپس این ذره‌ی نسبیتی در مقابل سد پتانسیل که دیواره‌ ای متحرک با سرعت vدارد درنظر گرفته می شود. با توجه به معادله‌ی کلاین گوردن مستقل از زمان بدست آمده و تابع موج پیشنهادی، تابع موج این سیستم کوانتومی وابسته به زمان بدست می آید. سپس به بررسی پایستگی چگالی جریان پرداخته و در سرعت‌های مختلف برای دیواره، پایستگی انرژی این سد پتانسیل با دیواره‌های متحرک برای ذره‌ی نسبیتی بررسی می‌شود.

References:

[1] Melnichuk S. V, van Dijk W and Nogami Y,(2005)."Approximations of time-dependentphenomena in quantum Mechanics:adiabatic versus sudden processes", Eur. J. Phys,3, 26 ,543

[2] Feynman. R. P, Hibbs, A. R and Styer, D. F. (2010). “Quantum mechanics and path integrals”, Courier Corporation.
‏
[3] Chetouani. L, Guechi. L, and Hammann, T. F. (1989).” Generalized canonical transformations and path integrals”, Phys. Rev. A, 40 ,( 3), 1157.‏

[4] Efthimiou. C. J. andSpector. D. (1994). “Separation of variables and exactly soluble time-dependent
potentials in quantum mechanics”, Physical. Rev. A, 49(4), 2301.‏

[5] Samsonov, B. F. (2000). “Coherent states for transparent potentials”. J. Phys. A: Math. Gen, 33,(3), 591.‏
[6] Husimi .K (1953),"Miscellanea in elementary quantum mechanics",Prog. Theor. Phys, 4 , 9 , 381-402.

[7] Gol’dman I.I, Krivchenkov V.D, Kogan V.I and Galitskii V.M. (1960).Problems in QuantumMechanics (Academic, New York),308.ed D TerHaar, chapter 3, problem 14.

[8] Dykhne. A. M. (1960) ."Quantum transitions in the adiabatic approximation". Sov. Phys. JETP, 11, 411.

[9] Popov. V. S and Perelomov. A. M.(1969)."Parametric excitation of a quantum oscillator", Sov. Phys. JETP, 4, 29 , 738-745.

[10] Lewis. Jr, Ralph. H and Riesenfeld. WB. (1969)."An exact quantum theory of the time-dependent harmonic

oscillator and of a charged particle in a time-dependent electromagnetic field", J. Math. Phys. 8, 10, 1458 –1473.

[11] Khandekar. D.C and Lawande.S.V (1986)."Feynman path integrals: some exact results and applications”,Phys. Rep.2-3, 137, 115-229

[12] Doescher. S. W and Rice. M.H. (١٩٦٩)."Infinite square-well potential with a moving wall”,Am.J. Phys .12, ٣٧,1246-1249.

[13] Griffiths. D. J. (1995)." Introduction to Quantum Mechanics" ,{\bf Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall}, chapter 10, problem 10.1.

[14]D. N. Pinder. (١٩٩٠)."The contracting square quantum well", Am. J. Phys. 1, 58, 54-58.

[15]Dembinski.S.T, Makowski.A.J and Peplowski. P.(1995)."Asymptotic behaviour of a particle in a uniformly expanding potential well" ,J. Phys. A: Math. Gen, 5, 28, 1449.
[16] Da Luz. MGE and Cheng. Bin Kang.(١٩٩٢)."Exact propagators for moving hard-wall potentials" J. Phys. A: Math. Gen.17,25 ,1043.

[17]Hamil. B. and L. Chetouni. (2016)."Moving potential for Dirac and Klein-Gordon equations.", Pramana, 86, (4), 737-746.

Full-Text:



 

 

معادله کلاین گوردن در حضور پتانسیل متحرک:

بررسی تحیلی پیوستگی در سد پتانسیل

 

 

چکیده

مطالعه‌ی سیستم‌های کوانتومی که وابستگی به زمان دارند به دلیل کاربرد زیاد آن‌ها در ریاضی فیزیک و ریاضی کاربردی مورد توجه قرار گرفته‌اند و بسیاری از اثرات مکانیک کوانتومی جالب به این مفهوم مرتبط می‌شوند. در این مقاله به بررسی یک ذره‌ی نسبیتی در پتانسیل وابسته به زمان پرداخته می شود. برای مطالعه‌ی ذرات نسبیتی اسپین صفر از معادله کلاین-گوردن بهره می بریم. یک رویکرد استاندارد تبدیل معادله‌ی کلاین گوردون با پتانسیل با دیواره‌های متحرک به یک معادله‌ي مشابه اما با دیواره‌های غیر متحرک می‌باشد. بنابراین راه حل این مسأله‌ی وابسته به زمان را می‌توان با توجه به تبدیلات لورنتس که هموردا می‌باشند بدست آورد. سپس این ذره‌ی نسبیتی در مقابل سد پتانسیل که دیواره‌ ای متحرک با سرعت  vدارد درنظر گرفته می شود. با توجه به معادله‌ی کلاین گوردن مستقل از زمان بدست آمده و تابع موج پیشنهادی، تابع موج این سیستم کوانتومی وابسته به زمان بدست می آید. سپس به بررسی پایستگی چگالی جریان پرداخته و در سرعت‌های مختلف برای دیواره، پایستگی انرژی این سد پتانسیل با دیواره‌های متحرک برای ذره‌ی نسبیتی بررسی می‌شود.

 

کلمات کلیدی:معادله‌ی کلاین-گوردون، پتانسیل متحرک، ذره‌ی نسبیتی، سد پتانسیل، پایستگی انرژی.

 

 

1.       مقدمه

در مکانیک کوانتومی، مدل‌های وابسته به زمان در مقایسه با مدل‌های ثابت و مستقل از زمان کمتر مورد بررسی قرار گرفته اند و  مدل های وابسته به زمان کمتر به طور صریح مورد بررسی قرار گرفته اند. از سوی دیگر تکنیک‌های تجربی پیشرفت بسیاری داشته‌اند. به عنوان مثال استفاده از پالس‌های لیزر فمتو ثانیه مشاهده‌ی پدیده‌های وابسته به زمان در سیستم‌های میکروسکوپیک را امکان‌پذیر می‌کند. اهمیت درک رفتار وابسته به زمان سیستم‌های کوانتومی ضرورت بیشتری یافته است. بدست آوردن راه‌حل برای سیستم‌های وابسته به زمان به طور کلی در مقابل فرآیندهای ثابت سخت‌تر می‌باشد و استفاده از راه‌حل‌های  تقریبی اجتناب‌ناپذیر است . برخی از رهیافت های تقریبی مورد استفاده عبارتند از: نظریه‌ی اختلال، تقریب بی‌دررو¹یا تقریب ناگهانی، انتگرال مسیر²، روش استاندارد جداسازی متغیرها و روش فوق سنگین³. از این رو باید مثال‌ها و مدل‌هایی با راه حل‌های دقیق در نظر گرفت که با توجه به آنها می‌توان درستی تقریب‌های مختلف را بررسی کرد. یکی از این مدل‌ها نوسانگر هماهنگ یک بعدی با بسامد وابسته به زمان می‌باشد. بعد از مقاله‌ اصلی هوسیمی⁴ مقالات زیادی منتشر شده اند. دینامیک ذره‌ی کوانتومی در چاه بینهایت یک بعدی با دیواره‌های متحرک با رهیافت‌های گوناگونی مطالعه شده است. اولین مقاله‌ی موثق در مجموعه کارهای مرتبط با پتانسیل‌های وابسته به زمان به کار داشر⁵و رایس⁶در سال  باز می‌گردد که درباره‌ی این مدل در میان کتاب‌های کوانتومی تنها در کتاب گریفیث(هر چند به اختصار) بحث شده است که مسئله توسط مجموعه‌ای کامل از توابع که پاسخ‌های دقیق معادله شرودینگر وابسته به زمان هستند، بررسی می شود. کار آن‌ها به عنوان مرجعی برای روش های تقریبی و نیز به عنوان یک مثال مقایسه‌ای برای سایر مطالعات دقیق محسوب می‌شود. برخی نویسندگان نیز علاقه مند به بررسی ذرات نسبیتی دیراک و کلاین-گوردن در پتانسیل های وابسته به زمان بوده‌اند. در اینجا به بررسی پتانسیل وابسته به زمان برای ذره‌ی نسبیتی اسپین صفر تحت معادله کلاین-گوردن خواهیم پرداخت و فرض می‌کنیم که این سیستم وابسته به زمان یک سد پتانسیل با دیواره‌های متحرک باشد. 

 

2.       بررسی ذره‌ی نسبیتی کلاین-گوردن وابسته به زمان

معادله‌ی ‌کلاین–گوردن برای یک ذره‌ی آزاد با اسپین صفر به صورت می‌باشد

 

برای ذره با اسپین صفر، معادله‌ی کلاین-گوردون با پتانسیل وابسته به زمان به صورت  ظاهر می‌شود

 

سرعت است. یک روش مناسب و استاندارد تبدیل معادله‌ی کلاین-گوردن با پتانسیل وابسته به زمان به یک معادله‌ي مشابه اما با دیواره‌های غیر متحرک می‌باشد. بنابراین راه حل این مسأله‌ی وابسته به زمان را می‌توان با توجه به تبدیلات لورنتس که هموردا هستند بدست آورد. تبدیلات لورنتس را به صورت زیر معرفی می کنیم

 

 

که در آن می باشد. همچنین به صورت تعریف می‌شود

 

با استفاده از تبدیلات لورنتس روابط، و با جایگذاری آن‌ها در رابطه‌یشکل جدیدی از معادله‌ی کلاین-گوردن با پتانسیل مستقل از زمان به صورت زیر به دست می آید

 

حال به بررسی معادله‌ پیوستگی می پردازیم. اگر 

 

 

معادله‌ی پیوستگی در سیستم به صورت می‌شود. با جایگذاری تبدیلات پیمانه‌ای و معادله پیوستگی در سیستم به صورت زیر برقرار می باشد

 

این تبدیلات باید در معادله‌ی پیوستگی جایگذاری شوند. بنابراین با در نظر گرفتن تبدیلات اعمال شده معادله پیوستگی در سیستم برقرار می‌شود. در معادله کلاین-گوردن، چگالی جریان و چگالی بار در سیستم روابط و برقرار می‌باشند:

 

 

 

2-1. بررسی ذره‌ی کلاین-گوردن در سد پتانسیل با دیواره‌ی متحرک

 در این بخش ذره‌ی نسبیتی کلاین-گوردن را در سد پتانسیل متحرک مورد بررسی قرار می‌دهیم. در سیستم ابتدا باید جواب‌های معادله‌ی کلاین-گوردن تعیین شوند. برای حل معادله‌یبه روش جداسازی متغیرها عمل می‌کنیم و با توجه به مرجعتابع موج به صورت زیر پیشنهاد می شود

 

پتانسیل به صورت سد ظاهر می‌شود بنابراین باید به صورت معادله‌یدر سد ناحیه در نظر گرفته شود.

 

برای انجام محاسبات از معادله‌ استفاده می‌شود و می رسیم به

 

 رابطه‌یرا در جایگذاری می‌کنیم و داریم

 

جواب معادله در هر یک از ناحیه های سد پتانسیل به صورت مجزا محاسبه می‌شوند. در ناحیه‌ی اول سد پتانسیل برای  داریم

 

 

 

که در آن  می‌باشد. رابطه‌معادله‌ یک نوسانگر در ناحیه می‌باشد که دارای جواب زیر است

 

و ضریب عبور ذره یک در نظر گرفته می‌شود. برای ناحیه‌ی دوم این سد پتانسیل معادله‌یبه صورت در نظر گرفته می‌شود

 

زیرا می‌باشد، به صورت یک معادله‌ی نوسانگر هماهنگ در نظر گرفته می‌شود البته اگر  باشد،و اگر  را در نظر بگیریم، داریم:

 

 با توجه به حل این معادله تابع موج در ناحیه‌ی دوم سد پتانسیل به صورت بدست می‌آید

 

برای ذره‌ کلاین-گوردن در ناحیه‌ی سوم سد پتانسیل مشابه ناحیه‌ی اول عمل می کنیم با این تفاوت که دیگر برگشت موج نداریم. بنابراین

 

 

با جایگذاری،  و در رابطه‌ی، تابع موج در سه ناحیه‌ی سد به صورت زیر می‌شود.

 

 

 

حال باید شرایط مرزی را اعمال کنیم. می‌باشد و با استفاده از ضرایب، پایستگی چگالی جریان به صورت زیر برقرار است:

 

حال برای بررسی معادله‌ی پیوستگی با استفاده از روابطو ابتداو در هر ناحیه به صورت مجزا محاسبه می‌شود. در ناحیه‌ی اول وبه صورت و سپس به صورتمحاسبه می شوند

 

 

 

در ناحیه‌‌ی دوم ، و نیز به ترتیب به صورت زیر محاسبه می‌شوند.

 

 

 

و روابط، و به ترتیب  ، ورا در ناحیه‌ی سوم نشان می‌دهند:

 

 

 

حال نشان می‌دهیم که برای تابع موج ذره‌ی نسبیتی کلاین-گوردن در سد پتانسیل با مرزهای متحرک می‌باشد

 

 

و تابع موج فرودینیز به صورت

 

می‌باشد. حال با توجه به اینکه و می‌باشد و روابط ،،وکه به ترتیب به صورت زیر تعریف می‌شوند می توان نشان داد:

 

 

 

 

حال اگر باشد ووحقیقی باشدمی‌توان نشان داد که برقرار است، اگر در نظر گرفته شود و حقیقی باشدهممی‌باشد. اگر،وحقیقی نباشد بدست می‌آید.

 

3.       نتیجه­گیری

در اینجا سد پتانسیلی را که دیواره‌ی متحرک دارد برای ذره‌ی نسبیتی کلاین-گوردون در نظر گرفتیم. سپس با استفاده از یک تبدیل لورنتس مناسب و معرفی تبدیل مناسب، فرم صریح وابسته به زمان را از محاسبات حذف نمودیم. پس از ارائه جواب تحلیلی مسئله، مسئبه را در سه ناحیه بررسی نمودیم.  با بررسی‌های انجام شده مشاهده شد که با وجود حرکت همزمان ذره و دیواره‌های سد پتانسیل بقای انرژي برقرار می‌باشد همان‌طور که در نمودار  نیز قابل مشاهده می باشد ( البته این نتیجه در صورتی صحت دارد که در سد پتانسیل باشد)

 

 

نمودار: نمودارمی‌باشد که بقای انرژی را برای ذره‌ی نسبیتی کلاین-گوردون در سد پتانسیل متحرک نشان می دهد.

 

مراجع

[1] Melnichuk S. V, van Dijk W and Nogami Y,(2005)."Approximations of time-dependentphenomena in quantum

Mechanics:adiabatic versus sudden processes", Eur. J. Phys,3, 26 ,543

[2] Feynman. R. P, Hibbs, A. R and Styer, D. F. (2010). “Quantum mechanics and path integrals”, Courier

Corporation.‏

[3] Chetouani. L, Guechi. L, and Hammann, T. F. (1989).” Generalized canonical transformations and path

 

integrals”, Phys. Rev. A, 40 ,( 3), 1157.‏

 

[4] Efthimiou. C. J. andSpector. D. (1994). “Separation of variables and exactly soluble time-dependent

 

potentials in quantum mechanics”, Physical. Rev. A, 49(4), 2301.‏

 

[5] Samsonov, B. F. (2000). “Coherent states for transparent potentials”. J. Phys. A: Math. Gen, 33,(3), 591.‏

[6] Husimi .K (1953),"Miscellanea in elementary quantum mechanics",Prog. Theor. Phys, 4 , 9 , 381-402.

 

[7] Gol’dman I.I, Krivchenkov V.D, Kogan V.I and Galitskii V.M. (1960).Problems in QuantumMechanics

 

(Academic, New York),308.ed D TerHaar, chapter 3, problem 14.

 

[8] Dykhne. A. M. (1960) ."Quantum transitions in the adiabatic approximation". Sov. Phys. JETP, 11, 411.

 

[9] Popov. V. S and Perelomov. A. M.(1969)."Parametric excitation of a quantum oscillator", Sov. Phys. JETP, 4,

 

29 , 738-745.

 

[10] Lewis. Jr, Ralph. H and Riesenfeld. WB. (1969)."An exact quantum theory of the time-dependent harmonic

 

oscillator and of a charged particle in a time-dependent electromagnetic field", J. Math. Phys. 8, 10, 1458 –

1473.

 

[11] Khandekar. D.C and Lawande.S.V (1986)."Feynman path integrals: some exact results and applications”,

 

 Phys. Rep.2-3, 137, 115-229

 

[12] Doescher. S. W and Rice. M.H. (١٩٦٩)."Infinite square-well potential with a moving wall”,Am.J. Phys .12,

 

٣٧,1246-1249.

 

[13] Griffiths. D. J. (1995)." Introduction to Quantum Mechanics" ,{\bf Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall},

 

chapter 10, problem 10.1.

 

[14] D. N. Pinder. (١٩٩٠)."The contracting square quantum well", Am. J. Phys. 1, 58, 54-58.

 

[15] Dembinski.S.T, Makowski.A.J and Peplowski. P.(1995)."Asymptotic behavior of a particle in a uniformly

 

expanding potential well" ,J. Phys. A: Math. Gen, 5, 28, 1449.

 

[16] Da Luz. MGE and Cheng. Bin Kang.(١٩٩٢)."Exact propagators for moving hard-wall potentials" J. Phys. A:

 

Math. Gen.17,25 ,1043.

 

[17] Hamil. B. and L. Chetouni. (2016)."Moving potential for Dirac and Klein-Gordon equations.", Pramana, 86,

 

(4), 737-746.

[18] Hamidi. O. and Dehghan. (2014) "Klein-Gordon equation in a one-dimensional box with a moving wall". H., Rep. Math. Phys. 73 (1), 11-16.

[19] Jang. E. J., Lee. Y. K. and Chung. W. S. (2017). "A quantum particle in a moving finite harmonic potential", J. Math. Chem. 55, 864-872.

[20] Govindarajan. T. R. and Tibrewala. R. , (2014). "Fermionic edge states and new physics", Phys. Rev. D. 92, 045040.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

[1]  Adiabatic approximation

[2]  Path integral

[3] the super symmetry method

[4] Husimi

[5] Doescher

[6] Rice

---