Manuscript ID : JNRM-1710-1263 (R2) Visit : 52 Page: -

Article Type: Original Research

Subject Areas : Statistics

omekolsoom khazaee kohpar ¹ , S. H. Nasseri ²

1 - mazandaran university
2 - Department of Mathematics, University of Mazandaran, Babolsar, Iran.

Received: 2017-10-31 Accepted : 2018-01-31 Published : 2024-01-18

Keywords: برنامه ریزی کسری خطی, برنامه ریزی فازی, برنامه ریزی چند هدفه,

Abstract :

References:

[1] خزائی کوه پر ا.، (1396)، بهبود روش های حل مسائل برنامه ريزی کسری خطی چندهدفه با پارامترهای مشکک، پايان نامه دکتری، دانشگاه مازندران، بابلسر.

[2] ناصری س ه.، عطاری ح.، (1394)، برنامه ريزی خطی فازی، انتشارات دانشگاه مازندران، بابلسر.

[3] ناصری س ه.، غلامی ا.، ابراهيم نژاد ع.، فلاح جلودار م.، (1395)، يک رويکرد جديد مبتنی بر آلفا برش‌ها برای حل مدل تحليل پوششی داده‌ها با ورودی‌ها و خروجی‌های تصادفی فازی، پژوهش های نوين در رياضی، دوره 2، شماره 5، صص 61 تا 70.

[4] Isbell J.R., Marlow W.H. (1956). Attrition games. Naval Research Logistics Quarterly, 3, 1-99.

[5] Charnes A., Cooper W.W. (1962). Programming with linear fractional functions. Naval Research Logistics Quarterly, 9, 181-186.

[6] Gilmore P.C., Gomory R.E. (1963). Linear programming approach to the cutting stock problem: Part 2. Operations Research, 11, 863-867.

[7] Martos B. (1964). Hyperbolic programming. Naval Research Logistics Quarterly, 11, 135-155.

[8] Swarup K. (1965). Linear fractional functional programming. Operations Research, 13, 1029-1036.

[9] Dantzig G.B. (1962). Linear Programming and Extension. Princeton University Press, Princeton, New Jersey.

[10] Chadha S.S. (2002). Fractional programming with absolute-value function. European Journal of Operations Research, 141, 233-238.

[11] Chan C.-T. (2005). Fractional programming with absolute-value functions: a fuzzy goal programming approach. Applied Mathematics and Computation, 167, 508-515.

[12] Tantawy S.F. (2008). A new procedure for solving linear fractional programming problems. Mathematical and Computer Modelling, 48, 969-973.

[13] Tantawy S.F. (2007). Using feasible directions to solve linear fractional programming problems. Australian Journal of Basic and Applied Sciences, 1, 109-114.

[14] Mojtaba B., Azmin S., Mansour S. (2012). Solving linear fractional programming problems with interval coefficients in the objective function: A new approach. Applied Mathematical Sciences, 6, 3442-3452.

[15] Bellman R.E., Zadeh L.A. (1970). Decision making in a fuzzy environment. Management Science, 17, 141-164.

[16] Tanaka H., Okuda T., Asai K. (1973). On fuzzy mathematical programming. Journal of Cybernetics and Systems, 3, 37-46.

[17] Baky, I.A. (2010). Solving multi-level multi-objective linear programming problems through fuzzy goal programming approach. Applied Mathematical Modeling, 34, 2377-2387.

[18] Dutta D., Rao J.R., Tiwari R.N. (1993). Effect of tolerance in fuzzy linear fractional programming. Fuzzy Sets and Systems, 55, 133-142.

[19] Li D.F., Chen S. (1996). A fuzzy programming approach to fuzzy linear fractional programming with fuzzy coefficients. Journal of Fuzzy Mathematics, 4, 829-834.

[20] Nasseri S.H., Khazaee Kohpar O. (2015). Pareto-optimal solutions in multi-objective linear programming with fuzzy numbers. Annals of Fuzzy Mathematics and Informatics, 9, 823-833.

[21] Pal B.B., Moitra B.N., Maulik U. (2003). A goal programming procedure for fuzzy multiobjective linear fractional programming problem. Fuzzy Sets and Systems, 139, 395-405.

[22] Chinnadurai V., Muthukumar S. (2016). Solving the linear fractional programming problem in a fuzzy environment: Numerical approach. Applied Mathematical Modelling, 40, 6148-6164.

[23] Nasseri S.H., Khazaee Kohpar O. (2017). An improved approach for solving interval number and fuzzy number LP problems with its application in fuzzy multi-objective linear fractional programming. submitted.

[24] Klir G.J., Clair V.S., Yuan B. (1997). Fuzzy set theory: foundation and application. Printice-Hall Inc.

[25] Ma M., Friedman M., Kandel A. (1999). A new fuzzy arithmetic. Fuzzy Sets and Systems, 108, 83-90.

[26] Goetschel R., Voxman W. (1986). Elementary fuzzy calculus. Fuzzy Sets and Systems, 18, 31-43.

[27] Craven B.D. (1988). Fractional Programming. Heldermann Verlag, Berlin.
[28] Chakraborty M., Gupta S. (2002). Fuzzy mathematical programming for multi objective linear fractional programming problem. Fuzzy Sets and Systems, 125, 335-342.

[29] Schaible S. (1976). Fractional programming 1:duality. Management Science, 22, 658-667.

[30] Schaible S. (1978). Analyse and Anwendungen Von Quotienten Programmen. Verlag Anton Hain, Meisenheim am Glan.

[31] Ganesan K., Veeramani P. (2006). Fuzzy linear programs with trapezoidal fuzzy numbers. Annals of Operations Research, 143, 305-315.

[32] Cao B-Y. (2010). Optimal Models and Methods with Fuzzy Quantities. Springer- Verlag Berline Heidelberg.

[33] Lodwick W.A., Kacprzyk J. (2010). Fuzzy Optimization: Recent advances and applications. Springer- Verlag Berline Heidelberg.

[34] Zimmermann J. (1976). Description and optimization of fuzzy systems. International Journal of General Systems, 2, 209-215.

Full-Text:

http://jnrm.srbiau.ac.irدسترسي در سايتِ

سال سوم، شماره دهم، پاييز 1396

$Description: Description: C:\Users\Dell\Desktop\MMMM.jpg$

شماره شاپا: 0196-1682

تاريخ دريافت مقاله: تاريخ پذيرش مقاله:

چکيده

در اين مقاله يک مسأله برنامه ريزی چند هدفه کسری خطی با متغيرها و بردار منابع فازی مورد مطالعه قرار می گيرد و الگوريتمی با رويکرد پارامتری جهت حل آن ارائه می شود. فرآيند حل پيشنهاد شده برای تعيين جواب بهينه مسأله مبتنی بر رويکرد پارامتری خواهد بود که اين امر ضمن انطباق بيشتر جواب با واقعيت، اطلاعات جامع تری را در اختيار تصميم گيرنده قرار خواهد داد. سادگی روش مطرح شده يکی از مزيت های الگوريتم پيشنهادی است که امکان درک مطلوب تر فرآيند حل را توسط کاربر فراهم می آورد. همچنين جهت توصيف فرآيند حل روش پيشنهاد شده، يک مثال عددی ارائه می شود.

واژه‌هاي کليدي: برنامه ريزی کسری خطی، برنامه ريزی فازی، برنامه ريزی چند هدفه .

1- مقدمه

برنامه ريزی کسری خطی¹ (LFP) از جمله موضوعات مورد توجه در برنامه ريزی رياضی است. طيف گسترده ای از مسائل دنيای واقعی ما بر پايه نسبت های نسبی از مقادير فيزيکی و يا اقتصادی هستند. در برنامه ريزی از نسبت توليد به کارمندان، در حوزه مراقبت های بهداشتی و بيمارستان از نسبت هزينه به بيمار و همچنين در برنامه ريزی مالی از نسبت بدهی به حقوق مالکين شرکت می توان به عنوان مثال های کاربردی از اين نوع برنامه ريزی نام برد.

برای اولين بار ايزبل و مارلو [4] يک نمونه از مسائل برنامه ريزی کسری خطی را شناسايی کردند و آن را با استفاده از دنباله ای از مسائل برنامه ريزی خطی حل کردند. بعد از آن يک روش تبديل متغير توسط چارنز و کوپر [5] جهت حل اين گونه مسائل ارائه شد. گيلمور و گوموری [6]، مارتوس [7] و سواراپ [8]، يک مسأله برنامه ريزی کسری خطی را با استفاده از روشهای مختلف بر پايه روش سيمپلکس بهبوديافته - مطرح شده توسط دانتزيک [9] - حل کردند. پس از اينکه چادها [10] يک روش برای حل مسأله برنامه ريزی کسری خطی با توابع قدرمطلق مقدار پيشنهاد کرد، چان [11] يک رويکرد برنامه ريزی آرمانی فازی را برای حل اين گونه مسائل مطرح کرد. طنطاوی [13،12] دو رويکرد متفاوت جهت شدنی و رويکرد دوگانی را برای حل ا ين مسائل پيشنهاد کرد. اخيراً نيز مجتبی و همکاران [14]، يک مسأله برنامه ريزی کسری خطی با ضرايب بازه ای را با استفاده از يک تابع هدف بر پايه روش چارنز و کوپر حل کردند.

در مدلسازی واقعی يک مسأله برنامه ريزی کسری خطی همانند ساير مدلسازی های حقيقی ابهام و يا نادقيق بودن پارامترهای مسأله ناشی از ارزيابی های تجربی يا ذهنی متخصصين و ساير عوامل محيطی، امری رايج و گريزناپذير است. از اين رو، پارامترهای فازی به عنوان ابزاری واقع بينانه در مدلسازی اين گونه مسائل به کار گرفته شد. بلمن و زاده [15] ايده بيشينه کردن تصميمات را برای مسائل تصميم گيری فازی مطرح کردند. نظريه کلی برنامه ريزی خطی فازی نخستين بار توسط تاناکا و همکاران [16] ارائه شد و پس از آن محققين بسياری روش های مختلفی را در اين حوزه مطرح کردند. ([20 ,19 ,18, 17]). پال و همکاران [21] يک روند برنامه ريزی آرمانی را برای يک مسأله برنامه ريزی چندهدفه کسری خطی فازی مورد مطالعه قرار دادند. از تلاش های اخير محققين در زمينه برنامه ريزی کسری فازی می توان به کار چاينادورای و موتوکومار [22] اشاره کرد که يک مسأله برنامه ريزی کسری خطی با ضرايب و متغيرهای فازی تحت عنوان مسأله برنامه ريزی کسری خطی کاملاً فازی را مورد مطالعه قرار داده و روشی برای محاسبه يک جواب بهينه (α, r) برای آن ارائه کردند. آن ها با استفاده از تبديل مسأله مورد نظر به يک مسأله برنامه ريزی دو هدفه که خود تبديل به يک مسأله برنامه ريزی خطی خواهد شد رويکرد خود را مطرح کردند. همچنين ناصری و خزائی کوه پر ([23] ,[1]) ضمن ارائه يک رويکرد بهبوديافته در حل مسائل برنامه ريزی خطی با ضرايب فازی و ضرايب بازه ای، کاربرد آن را در مسأله برنامه ريزی چندهدفه کسری خطی با ضرايب فازی به صورت يک الگوريتم يکپارچه مطرح کردند. يکی از کاربردهای برنامه ريزی کسری در چارچوب مدل تحليل پوششی داده ها با ورودی ها و خروجی های تصادفی فازی را می توان در منبع [3] ملاحظه کرد.

در اين مقاله يک مسأله برنامه ريزی چندهدفه کسری خطی با متغيرها و بردار منابع فازی مورد مطالعه قرار می گيرد و با يک رويکرد پارامتری، الگوريتمی جهت حل اين گونه از مسائل ارائه می شود که جواب بهينه نهايی را به صورت پارامتری نتيجه خواهد داد. اين مقاله به صورت زير سازماندهی شده است:

در بخش دوم، برخی تعاريف و مفاهيم اوليه مورد نياز را بيان می کنيم. در بخش سوم، برنامه ريزی کسری خطی را در محيط های قطعی و فازی مورد توجه قرار خواهيم داد. در بخش چهارم، الگوريتم مورد نظر برای حل مسأله ارائه می شود. در نهايت يک مثال عددی جهت توصيف فرآيند حل با الگوريتم پيشنهادی در اين بخش مطرح خواهد شد.

٢-تعاريف و مفاهيم اوليه

در اين بخش برخی تعاريف و مفاهيم اوليه ای که مورد نياز است را ارائه می کنيم.

تعريف 1 [24]. نگاشت را يک عدد فازی گوييم به شرطی که در موارد زير صدق کند:

1) نيم پيوسته بالايی است.

2) در نقاط خارج از بازه ، داريم: .

3) اعداد حقيقی وجود دارند بطوريکه و تابع روی ، به طور يکنواخت صعودی و روی ، به طور يکنواخت نزولی است. همچنين به ازای هر ، داريم: .

قرارداد 1: مجموعه همه اعداد فازی (معرفی شده در تعريف 1 ) را با نشان می دهيم.

اکنون تعريف ديگری از يک عدد فازی با ديدگاه پارامتری را معرفی می کنيم که در ادبيات فازی، معادل با تعريف 1 می باشد.

تعريف 2 [25]. يک عدد فازی دلخواه را در شکل پارامتری می توان به صورت زوج مرتبی از توابع نمايش داد بطوريکه در شرايط زير صدق کنند:

1) يک تابع کراندار، صعودی يکنواخت و از چپ پيوسته روی می باشد.

2) يک تابع کراندار، نزولی يکنواخت و از چپ پيوسته روی می باشد.

3) .

2-1- حساب روی اعداد فازی پارامتری و رابطه ترتيبی بين آن ها

بر اساس تعريف 2، فرض کنيد و دو عدد فازی در نمايش پارامتری، و يک اسکالر حقيقی باشد. در اين صورت حساب روی اين اعداد فازی پارامتری را به صورت زير تعريف می کنيم ([25], 2]) :

i. ,

تذکر 1. در فضای همه مجموعه های فازی در نمايش پارامتری تعريف می کنيم: و .

دو عدد فازی و را در نظر بگيريد. برای معرفی ترتيب روی اين اعداد فازی، با الگوگيری از رويکرد گوتچل و واکسمن [26]، شاخص را به صورت زير تعريف می کنيم:

در اين صورت ترتيب زير را تعريف می کنيم:

همچنين می نويسيم () اگر و تنها اگر ().

حال اگر متر روی مجموعه همه اعداد فازی پارامتری را به صورت

در نظر بگيريم ([26])، کرانداری روی يک مجموعه از اعداد فازی را به صورت زير تعريف می کنيم.

تعريف 3. يک مجموعه از اعداد فازی را کراندار گوييم هرگاه يک عدد حقيقی وجود داشته باشد به طوری که به ازای هر عدد فازی متعلق به اين مجموعه داشته باشيم:

3- برنامه ريزی کسری خطی

در اين بخش، شکل کلی از مسائل برنامه ريزی کسری خطی را معرفی نموده و سپس روش چارنز و کوپر [5] را که مبتنی بر تبديل خطی جهت حل اين گونه مسائل است، ارائه خواهيم کرد. در زيربخش دوم، مسأله برنامه ريزی کسری خطی فازی در دو حالت تک هدفه و چندهدفه مورد مطالعه قرار خواهد گرفت.

3-1- مسأله برنامه ريزی کسری خطی

تعريف 3 [5]. يک مسأله برنامه ريزی کسری خطی را می‌توان به صورت زير در نظر گرفت:

s.t.

, (1)

که در آن مجموعه ای ناتهی و کراندار است، ، ، و . اکنون برای برخی از مقادير ، ممکن است برابر با صفر شود. از اين رو جهت جلوگيری از وقوع اين شرايط، بايد داشته باشيم:

و يا . بدون از دست دادن کليت برای سهولت، فرض می کنيم شرط زير برای مسأله برنامه ريزی کسری خطی داده شده در (1) برقرار باشد:

. (2)

تعريف 4 [27]. دو مسأله برنامه ريزی رياضی زير را در نظر بگيريد:

s.t. (i) s.t. (ii)

در اين صورت مسائل (i) و (ii) معادل هم هستند اگر و فقط اگر يک نگاشت يک به يک از مجموعه شدنی مسأله (i) به روی مجموعه شدنی مسأله (ii) وجود داشته باشد بطوريکه برای همه ، داشته باشيم :

قضيه 1 [28 ,5]. فرض کنيد که هيچ نقطه با برای مسأله برنامه ريزی خطی

s.t.

(3)

شدنی نباشد. در اين صورت با فرض برقراری شرط (2)، مسأله (1) با مسأله برنامه ريزی خطی (3) معادل است.

اثبات: برای اثبات به منبع [28] رجوع کنيد.

اکنون دو مسأله مرتبط زير را در نظر بگيريد :

max

s.t.

(4)

max

s.t.

((5

که در آن مسأله (4) با استفاده از تبديل و در (1) بدست آمده و مسأله (5) از جايگذاری محدوديت تساوی با محدوديت نامساوی در (4) بدست آمده است.

قضيه 2 [29]. برای برخی ، اگر مسأله (1) در به مقدار بيشينه (مطلق) برسد، آنگاه مسأله (3) در يک نقطه به مقدار بيشينه (مطلق) می‌رسد که در آن و مقدار توابع هدف در اين نقاط با هم برابر است.

تعريف 5 [27]. مسأله برنامه ريزی کسری خطی (1) را با شرط (2) در نظر بگيريد. مسأله (1) يک برنامه ريزی کسری مقعر- محدب استاندارد است، هرگاه روی مقعر بوده و به ازای برخی از مقادير ، داشته باشيم و همچنين روی مثبت و محدب باشد.

قضيه 3 [30 ,29]. اگر مسأله (1) يک برنامه ريزی کسری مقعر- محدب استاندارد باشد که در يک نقطه به مقدار بيشينه (مطلق) برسد، آنگاه مسأله تبديل يافته مرتبط (5)، همان مقدار بيشينه را در يک نقطه بدست می‌آورد، که در آن . علاوه بر اين، مسأله (5) يک تابع هدف مقعر و يک مجموعه شدنی محدب دارد.

در مسأله (1) فرض کنيد برای هر ، مقعر و منفی و روی مقعر و مثبت است. در اين صورت داريم:

که در آن ، محدب و مثبت است. بنابراين، مسأله (1) به يک مسأله برنامه ريزی کسری استاندارد مقعر-محدب تبديل شده است. از اين رو با استفاده از قضيه 1، مسأله (1) به مسأله برنامه ريزی خطی زير تبديل می شود:

max

s.t.

در بخش بعد يک مسأله برنامه ريزی کسری خطی فازی در دو حالت تک هدفه و چندهدفه معرفی می شود. سپس يک الگوريتم برای حل اين گونه مسائل تشريح می شود.

3-2- مسأله برنامه ريزی کسری خطی فازی

در اين بخش ابتدا يک مسأله برنامه ريزی کسری خطی تک هدفه در محيط فازی معرفی می شود و سپس برنامه ريزی کسری خطی را در حالت چندهدفه مورد بررسی قرار می دهيم.

3-2-1- مسأله برنامه ريزی کسری خطی فازی تک هدفه

تعريف 6 [28]. يک مسأله برنامه ريزی کسری خطی فازی در حالت تک هدفه را که در آن متغيرها و بردار منابع فازی هستند، با FLFP ² نشان می دهيم و به صورت زير تعريف می کنيم:

max

s.t. (6)

بطوريکه و . همچنين

، ، .

با استدلالی مشابه حالت قطعی شرط زير را برای مدل (6) در نظر می گيريم:

(7)

لم 1[31 ]. برای اعداد فازی ، و روابط زير را داريم:

دو قضيه زير نشان می دهند که قضايای 1 و 2 در حالتی که متغيرها و بردار منابع مسأله فازی هستند نيز برقرار است.

قضيه 4. فرض کنيد که هيچ نقطه با برای مسأله برنامه ريزی خطی فازی

s.t.

(8)

شدنی نباشد. در اين صورت با فرض برقراری شرط (7)، مسأله FLFP (6) با مسأله برنامه ريزی خطی فازی (8) معادل است.

اثبات: برای شدنی از مسأله (6)، تعريف می کنيم به طوری که

و . در نتيجه . همچنين با استفاده از لم 1، داريم:

بنابراين برای مسأله (8) شدنی است. بعکس اگر برای مسأله (8) شدنی باشد و هيچ نقطه ی برای (8) شدنی نباشد، آنگاه در رابطه زير صدق می کند:

در نتيجه مجموعه جواب شدنی مدل (6) را به صورت يک به يک به روی مجموعه جواب شدنی مدل (8) می نگارد. بعلاوه تابع هدف مرتبط به صورت زير است:

در نتيجه معادل بودن مورد نظر نتيجه می شود.

قضيه 5. برای برخی مقادير ، اگر مسأله (6) در به مقدار بيشينه (مطلق) برسد، آنگاه مسأله (8) در يک نقطه به مقدار بيشينه (مطلق) می‌رسد که در آن و مقدار توابع هدف در اين نقاط با هم برابر است.

اثبات: با تعميم اثبات قضيه 3 و با استفاده از روابط حساب فازی نتيجه مورد نظر بدست می آيد.

3-2-2- مسأله برنامه ريزی چندهدفه کسری خطی فازی

تعريف 7 [28]. يک مسأله برنامه ريزی چندهدفه کسری خطی فازی را که در آن متغيرها و بردار منابع فازی هستند، با FMOLFP ³ نشان می دهيم و به صورت زير تعريف می شود:

max

s.t. (9)

بطوريکه برای هر داريم: ، و . همچنين

، ، .

دو مجموعه انديس زير را در نظر بگيريد:

بطوريکه .

فرض کنيد به ازای هر ، روی که مجموعه ای ناتهی و کراندار است، مثبت باشد. همچنين فرض کنيد حداقل مقدار و به ترتيب برای و باشد. در اين صورت برای داريم: و برای خواهيم داشت: .

برای ، قرار دهيد: . اکنون با استفاده از قضايای 4، 5 و نامساوی های ياد شده، می توان يک مسأله برنامه ريزی چندهدفه خطی معادل را برای مسأله (9) به صورت زير در نظر گرفت:

max

s.t.

(10)

مشابه استدلالی که در [28] برای مدل قطعی نشان داده شده است و همچنين با استفاده از خواص مجموعه های فازی، مجموعه محدوديت های مسأله (10) نيز همواره مجموعه ای ناتهی محدب است که دارای جواب شدنی می باشد (جهت مشاهده جزئيات بيشتر در رابطه با خواص مجموعه های فازی محدب و برنامه ريزی محدب فازی، منابع [32] و [33] پيشنهاد می گردد).

صورت پارامتری مسأله (10) را می توان به صورت زير در نظر گرفت:

max

s.t.

(11)

4- الگوريتم حل

در اين بخش با توجه به مقدمات بيان شده در بخش های قبل، يک الگوريتم با رويکرد برنامه ريزی پارامتری جهت حل مسأله (9) ارائه می کنيم.

گام اول : مسأله پارامتری معادل با مسأله (9) را به صورت مدل (11) در نظر بگيريد. در مدل (11)، مقادير و را جهت يافتن مسائل کمکی اعمال کنيد. برای اين منظور به گام بعدی برويد.

گام دوم : در مسأله (11)، قرار دهيد . در اين صورت خواهيم داشت:

max

s.t.

(12)

گام سوم : با توجه به ماهيت متغيرهای و ، دو زيرمسأله چندهدفه قطعی زير را جهت حل مدل (12) تشکيل دهيد:

max

s.t.

(13)

max

s.t.

(14)

با حل جداگانه مسائل (13) و (14) توسط عملگر min زيمرمن [34]، به ترتيب به جواب های {} و }} متناظر با می رسيم.

تذکر 2: جهت بکارگيری عملگر min زيمرمن، ابتدا برای هر يک از توابع هدف مسأله مورد نظر يک تابع عضويت معرفی می کنيم. در اينجا روند حل با استفاده از روش مذکور را برای مدل (13) بيان می کنيم. به طريق مشابه اين روند قابل تعميم برای مدل های (14)، (16) و (17) خواهد بود:

ابتدا تابع عضويت را برای هريک از توابع هدف مدل (13)، به صورت زير تعريف می کنيم:

برای :

و برای :

که در آن ماکسيمم سطح آرمانی به صورت زير تعيين می شود:

هر يک از توابع هدف مدل (13) را با توجه به محدوديت های مسأله ماکسيمم سازی کنيد. فرض کنيد به ازای ، ماکسيمم مقدار امين تابع هدف مدل (13) باشد.

اگر ، آنگاه قرار دهيد: و اگر ، آنگاه قرار دهيد: .

اکنون با توجه به توابع عضويت معرفی شده در بالا و همچنين با استفاده از عملگر min [34]، مدل زير را خواهيم داشت:

max

s.t.

با حل مدل اخير به جواب بهينه مطلوب خواهيم رسيد.

گام چهارم : در مسأله (11)، قرار دهيد . در اين صورت خواهيم داشت:

max

s.t.

(15)

گام پنجم : دو زيرمسأله چندهدفه قطعی زير را جهت حل مدل (15) تشکيل دهيد:

max

s.t.

(16)

max

s.t.

(17)

با حل جداگانه مسائل (16) و (17) توسط عملگر min زيمرمن [34]، به ترتيب به جواب های{{ و }}، متناظر با می رسيم.

گام ششم : با استفاده از جواب های بدست آمده در گام های سوم و پنجم، قرار دهيد:

و در نتيجه , يک جواب برای مسأله (11) خواهد بود.

گام هفتم : با توجه به تبديل ، به جواب مسأله اصلی می رسيم:

و در نهايت با جايگذاری مقادير در (6)، مقادير هر يک از توابع هدف بدست خواهد آمد.

نکته 1: شايان ذکر است که در الگوريتم ياد شده، جهت سادگی در گام های های سوم و پنجم، روش زيمرمن [34] را برای حل مسأله برنامه ريزی چندهدفه خطی قطعی استفاده کرده ايم، در حالي که اين انتخاب هيچ گونه محدوديتی را در فرآيند حل ايجاد نمی کند و هر روش ديگری که جواب را بدست دهد، می تواند جهت حل اين گونه مسائل در مراحل ياد شده به کار گرفته شود.

نکته 2: توجه به اين نکته حائز اهميت است که در الگوريتم پيشنهادی همواره فرض بر اين بوده که مجموعه انديس های و و يا به عبارتی ماهيت به ازای معلوم می باشد. در صورتی که آن ها بطور صريح معين نباشند، اما بدانيم که مخرج توابع هدف در فضای جواب مثبت است، در اين صورت جهت يافتن مجموعه انديس های و اين گونه عمل می کنيم:

1) هر يک از توابع هدف را با توجه به محدوديت ها و صورت پارامتری مسأله، با بکارگيری روش چارنز و کوپر [5] بيشينه سازی نماييد. به ازای هر ، را به عنوان مقدار بيشينه در نظر بگيريد.

2) اگر باشد، آنگاه و اگر ، آنگاه .

5- مثال عددی

در اين بخش به منظور تشريح فرآيند حل مدل پيشنهادي به ارائه يک مثال عددی می پردازيم که در آن يک مسأله FMOLFP که به صورت مدل (9) تعريف شده است، با الگوريتم ارائه شده در اين مقاله حل خواهد شد. همچنين جهت بررسی اعتبار روش، جواب را در حالت قطعی با جواب بدست آمده از روش چاکرابورتی [28] مقايسه می کنيم.

مسأله برنامه ريزی چندهدفه کسری خطی فازی زير را در نظر بگيريد.

max

s.t.

(18)

مسأله پارامتری معادل با مسأله (18) را به صورت زير در نظر می گيريم:

max

s.t.

(19)

حال با توجه به گام دوم و سوم در الگوريتم مطرح شده در اين بخش و با قرار دادن نتايج زير را خواهيم داشت:

همچنين با بکارگيری گام چهارم و پنجم نتايج زير حاصل خواهد شد:

با اعمال گام ششم داريم:

اکنون از رابطه ، جواب مسأله اصلی به صورت زير است:

که با جايگذاری مقادير و در (16)، مقادير توابع هدف به صورت زير بدست خواهد آمد:

نتايج بدست آمده را می توان در شکل های زير مشاهده کرد. $C:\Users\user\Desktop\مثال متلب\MATLABB\ex1.jpg$ شکل1- مقدار بهينه متغير تصميم اول

$C:\Users\user\Desktop\مثال متلب\MATLABB\ex2.jpg$

شکل2- مقدار بهينه متغير تصميم دوم $C:\Users\user\Desktop\مثال متلب\MATLABB\zed 1.jpg$ شکل3- مقدار بهينه تابع هدف اول $C:\Users\user\Desktop\مثال متلب\MATLABB\zed2.jpg$ شکل4- مقدار بهينه تابع هدف دوم

$C:\Users\user\Desktop\مثال متلب\MATLABB\z se.jpg$

شکل5- مقدار بهينه تابع هدف سوم

اکنون جهت بررسی اعتبار روش، جواب بدست آمده در مثال مطرح شده را در حالت قطعی (با قرار دادن ) با روش مطرح شده توسط چاکرابورتی [28] مقايسه می کنيم.

مسأله (18) را در حالت قطعی زير در نظر بگيريد:

max

s.t.

(20)

طبق روش چاکرابورتی، مسأله معادل با (20)، به صورت زير خواهد بود:

max

s.t.

پس از اعمال مدل مطرح شده توسط چاکرابورتی، به مدل زير می رسيم:

max

s.t.

(21)

جواب حاصل از حل مدل (21)، به صورت زير می باشد:

و در نتيجه

که مطابق با جواب بدست آمده از روش مطرح شده در اين مقاله در حالت قطعی (به ازای ) می باشد.

6- نتيجه گيري

همان طور که در مقاله اشاره شد، برنامه ريزی کسری خطی يکی از مباحث کاربردی را در مسأله برنامه ريزی رياضی مورد توجه قرار می دهد. در اين مقاله يک مسأله برنامه ريزی چند هدفه کسری خطی با متغيرها و بردار منابع فازی مورد مطالعه قرار گرفت و الگوريتمی با رويکرد پارامتری جهت حل آن ارائه شد. با توجه به فرآيند حل تشريح شده، ملاحظه شد از جمله مزيت های روش اين است که با اعمال اين الگوريتم، جواب بهينه مسأله به صورت پارامتری خواهد بود که اين امر ضمن اعتبار و انطباق بيشتر جواب با واقعيت، اطلاعات جامع تری را در اختيار تصميم گيرنده قرار خواهد داد. سادگی روش مطرح شده از مزيت های ديگر الگوريتم پيشنهادی است که امکان درک مطلوب تر فرآيند حل را توسط کاربر فراهم می آورد. همچنين يک مثال عددی جهت درک بهتر رويکرد ارائه شده و کاربرد روش، ارائه شد تا توصيف عددی مناسبی از فرآيند حل را روشن نمايد. همچنين با توجه به تحقيقات اندکی که در راستای حل اين گونه مسائل انجام شده است، توسعه مدل مطرح شده در اين مقاله و بکارگيری آن در مسائل دنيای واقعی جهت ارائه يک مطالعه تطبيقی مؤثر در اين حوزه جهت پژوهش های آتی پيشنهاد می شود.

فهرست منابع

[1] خزائی کوه پر ا.، (1396)، بهبود روش های حل مسائل برنامه ريزی کسری خطی چندهدفه با پارامترهای مشکک، پايان نامه دکتری، دانشگاه مازندران، بابلسر.

[2] ناصری س ه.، عطاری ح.، (1394)، برنامه ريزی خطی فازی، انتشارات دانشگاه مازندران، بابلسر.

[3] ناصری س ه.، غلامی ا.، ابراهيم نژاد ع.، فلاح جلودار م.، (1395)، يک رويکرد جديد مبتنی بر آلفا برش‌ها برای حل مدل تحليل پوششی داده‌ها با ورودی‌ها و خروجی‌های تصادفی فازی، پژوهش های نوين در رياضی، دوره 2، شماره 5، صص 61 تا 70.

[4]Isbell J.R., Marlow W.H. (1956). Attrition games. Naval Research Logistics Quarterly, 3, 1-99.

[5]Charnes A., Cooper W.W. (1962). Programming with linear fractional functions. Naval Research Logistics Quarterly, 9, 181-186.

[6]Gilmore P.C., Gomory R.E. (1963). Linear programming approach to the cutting stock problem: Part 2. Operations Research, 11, 863-867.

[7]Martos B. (1964). Hyperbolic programming. Naval Research Logistics Quarterly, 11, 135-155.

[8]Swarup K. (1965). Linear fractional functional programming. Operations Research, 13, 1029-1036.

[9]Dantzig G.B. (1962). Linear Programming and Extension. Princeton University Press, Princeton, New Jersey.

[10]Chadha S.S. (2002). Fractional programming with absolute-value function. European Journal of Operations Research, 141, 233-238.

[11]Chan C.-T. (2005). Fractional programming with absolute-value functions: a fuzzy goal programming approach. Applied Mathematics and Computation, 167, 508-515.

[12]Tantawy S.F. (2008). A new procedure for solving linear fractional programming problems. Mathematical and Computer Modelling, 48, 969-973.

[13]Tantawy S.F. (2007). Using feasible directions to solve linear fractional programming problems. Australian Journal of Basic and Applied Sciences, 1, 109-114.

[14]Mojtaba B., Azmin S., Mansour S. (2012). Solving linear fractional programming problems with interval coefficients in the objective function: A new approach. Applied Mathematical Sciences, 6, 3442-3452.

[15]Bellman R.E., Zadeh L.A. (1970). Decision making in a fuzzy environment. Management Science, 17, 141-164.

[16]Tanaka H., Okuda T., Asai K. (1973). On fuzzy mathematical programming. Journal of Cybernetics and Systems, 3, 37-46.

[17]Baky, I.A. (2010). Solving multi-level multi-objective linear programming problems through fuzzy goal programming approach. Applied Mathematical Modeling, 34, 2377-2387.

[18]Dutta D., Rao J.R., Tiwari R.N. (1993). Effect of tolerance in fuzzy linear fractional programming. Fuzzy Sets and Systems, 55, 133-142.

[19]Li D.F., Chen S. (1996). A fuzzy programming approach to fuzzy linear fractional programming with fuzzy coefficients. Journal of Fuzzy Mathematics, 4, 829-834.

[20]Nasseri S.H., Khazaee Kohpar O. (2015). Pareto-optimal solutions in multi-objective linear programming with fuzzy numbers. Annals of Fuzzy Mathematics and Informatics, 9, 823-833.

[21]Pal B.B., Moitra B.N., Maulik U. (2003). A goal programming procedure for fuzzy multiobjective linear fractional programming problem. Fuzzy Sets and Systems, 139, 395-405.

[22]Chinnadurai V., Muthukumar S. (2016). Solving the linear fractional programming problem in a fuzzy environment: Numerical approach. Applied Mathematical Modelling, 40, 6148-6164.

[23]Nasseri S.H., Khazaee Kohpar O. (2017). An improved approach for solving interval number and fuzzy number LP problems with its application in fuzzy multi-objective linear fractional programming. submitted.

[24]Klir G.J., Clair V.S., Yuan B. (1997). Fuzzy set theory: foundation and application. Printice-Hall Inc.

[25]Ma M., Friedman M., Kandel A. (1999). A new fuzzy arithmetic. Fuzzy Sets and Systems, 108, 83-90.

[26]Goetschel R., Voxman W. (1986). Elementary fuzzy calculus. Fuzzy Sets and Systems, 18, 31-43.

[27]Craven B.D. (1988). Fractional Programming. Heldermann Verlag, Berlin.

[28]Chakraborty M., Gupta S. (2002). Fuzzy mathematical programming for multi objective linear fractional programming problem. Fuzzy Sets and Systems, 125, 335-342.

[29]Schaible S. (1976). Fractional programming 1:duality. Management Science, 22, 658-667.

[30]Schaible S. (1978). Analyse and Anwendungen Von Quotienten Programmen. Verlag Anton Hain, Meisenheim am Glan.

[31]Ganesan K., Veeramani P. (2006). Fuzzy linear programs with trapezoidal fuzzy numbers. Annals of Operations Research, 143, 305-315.

[32]Cao B-Y. (2010). Optimal Models and Methods with Fuzzy Quantities. Springer- Verlag Berline Heidelberg.

[33]Lodwick W.A., Kacprzyk J. (2010). Fuzzy Optimization: Recent advances and applications. Springer- Verlag Berline Heidelberg.

[34]Zimmermann J. (1976). Description and optimization of fuzzy systems. International Journal of General Systems, 2, 209-215.

[1] 2. Linear Fractional Programming

Share To

Article Url

Sanad

Links

Related Centers

Technical Support

Official pages