• Home
  • Common-weights approach in fuzzy DEA from based on virtual ideal and anti-ideal units: a case study on insurance companies

Share To

Article Url


Manuscript ID : JNRM-2304-2402 (R1) Visit : 272 Page: -

Article Type: Original Research

Common-weights approach in fuzzy DEA from based on virtual ideal and anti-ideal units: a case study on insurance companies

Subject Areas : تحقیق در عملیات

Maysam Majdi 1 , Maryam Nikbakht 2 , A. Ebrahimnejad 3

1 - Department of Industrial Engineering, Ayendag Institute of Higher Education, Tonkabon, Iran
2 - Department of Mathematics, Payame Noor University, Tehran, Iran
3 - Department of Mathematics, Qaemshahr Branch, Islamic Azad University, Qaemshahr, Iran.

Received: 2023-04-19 Accepted : 2023-10-17 Published : 2024-09-26

Keywords: Data envelopment analysis, The best fuzzy efficiency, The worst fuzzy efficiency, The fuzzy relative closeness index, The common set of weights.,

Abstract :

The present study evaluates the performance of decision-making units from two optimistic and pessimistic perspectives in the fuzzy environment based on data envelopment analysis with the common set of weights approach. In the proposed method, first, two fuzzy virtual decision-making units namely the fuzzy ideal decision-making unit and the fuzzy anti-ideal decision-making unit are introduced and their efficiencies are estimated. Then, based on the common set of weights technique, the fuzzy worst and the fuzzy best efficiency of units are computed. Finally, based on the fuzzy relative closeness index, the triangular fuzzy efficiency of all units is calculated. The important advantages of the proposed method are the logical comparison between units based on a common weight, preventing the flexibility of their weight, and more differentiation power among them. To analyze and illustrate the proposed method, the performance of 30 non-life insurance companies involving triangular fuzzy numbers in Iran is evaluated.

References:

[1] A. Charnes, W. W. Cooper, and E. Rhodes, “Measuring the efficiency of decision making units.” Eur. J. Oper. Res, vol. 2, no. 6, pp. 429-444, 1978.
[2] W. D. Cook, Y. Roll, and A. Kazakov, “A dea model for measuring the relative efficiency of highway maintenance patrols.” INFOR: information systems and operational research, vol. 28, no. 2, pp. 113-124, 1990.
[3] Y. M. Wang, and Y. Luo, “DEA efficiency assessment using ideal and anti-ideal decision making units.” Applied Mathematics and Nomputation, vol. 173, no. 2, pp. 902-915, 2006.
[4] D. Wu, “A note on DEA efficiency assessment using ideal point: An improvement of Wang and Luo’s model.” Applied Mathematics and Computation, vol. 183, no. 2, pp. 819-830, 2006.
[5] C. Kao, and S. T. Liu, “Fuzzy efficiency measures in data envelopment analysis.” Fuzzy Sets and Systems, vol. 113, no. 3, pp. 427-437, 2000.
[6] , S. Saati, A. Memariani, and . G. R. Jahanshahloo, “Efficiency analysis and ranking of DMUs with fuzzy data.” Fuzzy Optimization and Decision Making, vol. 1, no. 3, p. 255-267, 2002.
[7] C. Kao, and S. T. Liu, “Efficiencies of two-stage systems with fuzzy data.” Fuzzy Sets and Systems, vol. 176, no. 1, pp. 20-35, 2011.
[8] S. Lozano, “Process efficiency of two-stage systems with fuzzy data.” Fuzzy Sets and Systems, vol. 243, pp. 36-49, 2014.
[9] S. Saati, and A. Memariani, “Reducing weight flexibility in fuzzy DEA.” Applied Mathematics and Computation, vol. 161, no. 2, pp. 611-622, 2005.
[10] A. Hatami-Marbini, S. Saati, amd M. Tavana, “An ideal-seeking fuzzy data envelopment analysis framework.” Applied Soft Computing, vol. 10, no. 4, pp. 1062-1070, 2010.
[11] J. Puri, and S. P. Yadav, “A fuzzy DEA model with undesirable fuzzy outputs and its application to the banking sector in India.” Expert Systems with Applications, vol. 41, no. 14, pp. 6419-6432, 2014.
[12] H. E. Shermeh, S. E. Najafi, and M. H. Alavidoost, “A novel fuzzy network SBM model for data envelopment analysis: A case study in Iran regional power companies.” Energy, vol. 112, pp. 686-697, 2016.
[13] B. Simsek, and F. Tüysüz, “An application of network data envelopment analysis with fuzzy data for the performance evaluation in cargo sector”. Journal of Enterprise Information Management, vol. 31, no. 4, pp. 492-509 2018.
[14] M. Izadikhah, “Modelling Bank Performance: A Novel Fuzzy Two-Stage DEA Approach.” Fuzzy Information and Engineering, vol. 11, no. 2, pp. 149-174, 2019.
[15] C. Heydari, H. Omrani, H. and R. Taghizadeh, “A fully fuzzy network DEA-range adjusted measure model for evaluating airlines efficiency: a case of Iran.” Journal of Air Transport Management, vol. 89, pp.101923, 2020.
[16] S. Kazemi, M. Tavana, M. Toloo, and N. A. Zenkevich, “A common weights model for investigating efficiency-based leadership in the russian banking industry.” RAIRO-Operations Research, vol. 55, no. 1, pp. 213-229, 2021.
[17] A. Fathi, and R. Farzipoor Saen, “Assessing sustainability of supply chains by fuzzy Malmquist network data envelopment analysis: Incorporating double frontier and common set of weights.” Applied Soft Computing, vol 113, pp. 107923, 2021.
[18] S. Tabatabaei, M. R. Mozaffari, M. Rostamy-Malkhalifeh, and F. Hosseinzadeh Lotfi, “Fuzzy efficiency evaluation in relational network data envelopment analysis: application in gas refineries.” Complex & Intelligent Systems, vol. 8, no. 5, pp.4021-4049, 2022.
[19] Y. M. Wang, Y. Luo, and L. Liang, “Fuzzy data envelopment analysis based upon fuzzy arithmetic with an application to performance assessment of manufacturing enterprises.” Expert systems with applications, vol. 36, no. 3, pp. 5205-5211, 2009.
[20] B. Bhardwaj, J. Kaur, and A. Kumar, “A new fuzzy CCR data envelopment analysis model and its application to manufacturing enterprises. In Soft Computing Applications for Group Decision-making and Consensus Modeling (pp. 345-368). Springer, Cham, 2017.
[21] A. Azar, M. Zarei Mahmoudabadi, and A. Emrouznejad, “A new fuzzy additive model for determining the common set of weights in Data Envelopment Analysis.” Journal of Intelligent & Fuzzy Systems, vol. 30 no. 1, pp. 61-69, 2016.
[23] A. Ebrahimnejad, and N. Amani, “ Fuzzy data envelopment analysis in the presence of undesirable outputs with ideal points.” Complex & Intelligent Systems, vol. 7, no.1, pp. 379-400, 2021.
[24] A. Charnes, W. W. Cooper, B. Golany, L. Seiford, and J. Stutz, “Foundations of data envelopment analysis for Pareto-Koopmans efficient empirical production functions.” Journal of Econometrics, vol. 30, no. 1-2, pp. 91-107, 1985.
[25] A. Charnes, and W. W. Cooper, “Programming with Linear Fractional Functional. Naval Research Logistics Quarterly, vol. 9, no. 3, pp. 181-186, 1962.
Full-Text:


رویکرد وزن های مشترک در  تحلیل پوششی داده‌های فازی بر اساس واحدهای مجازی ایده‌آل و آنتی ایده‌آل: یک مطالعه موردی بر روی شرکت های بیمه

 

چکیده

مطالعه حاضر به ارزیابی عملکرد واحدهای تصمیم گیرنده در محیط فازی از دو منظر خوشبینانه و بدبینانه بر اساس تکنیک تحلیل پوششی داده‌ها با رویکرد مجموعه وزن‌های مشترک می پردازد. در روش پیشنهادی، ابتدا دو واحد مجازی ایده‌آل فازی و آنتی ایده‌آل تعریف و مقدار کارایی آن‌ها از دیدگاه حساب فازی تخمین زده می‌شود. سپس بر اساس تکنیک مجموعه وزن‌های مشترک، بهترین و بدترین کارایی فازی واحدها محاسبه می‌شود. در نهایت، بر اساس شاخص رابطه نزدیکی، کارایی فازی همه واحدها جهت مقایسه و رتبه‌بندی تعیین می‌شود. از مزیت‌های مهم روش پیشنهادی، مقایسه منطقی میان واحدها بر اساس وزن مشترک، جلوگیری از انعطاف‌پذیری وزن‌ها و قدرت تمایز بیشتر میان آن‌ها می‌باشد. در راستای تشریح مدل پیشنهادی 30 شرکت بیمه در ایران شامل داده‌های فازی در نظر گرفته شد و عملکرد آن‌ها مورد بررسی قرار گرفت.

کلمات کلیدی: تحلیل پوششی داده‌ها، بهترین کارایی فازی، بدترین کارایی فازی، شاخص رابطه نزدیکی فازی، مجموعه وزن‌های مشترک.

 

 

1. مقدمه

تحلیل پوششی داده ها (DEA) یک روش غیرپارامتری برای ارزیابی عملکرد واحدهای تصمیم گیرنده متجانس با چندین ورودی و خروجی می باشد که نخستین بار توسط چارنز و همکاران در سال 1978 با ارائه مدلی تحت فرض بازده به مقیاس ثابت مطرح شد ]1[ و پس از آن در طی دهه های گذشته توسعه یافت. تحلیل پوششی داده‌ها بر اساس مطلوب‌ترین وزن هر واحد تصمیم گیرنده (DMU) از منظر خوشبینانه به ارزیابی عملکرد واحدها می‌پردازد. اگرچه انتخاب وزن‌های مختلف و انعطاف‌پذیر برای ورودی و خروجی واحدهای تصمیم گیرنده یکی از مزایای مدل‌های تحلیل پوششی داده‌هاست، اما مقایسه میان واحدهای تصمیم گیرنده با مقدار کارایی یکسان را مختل می‌سازد. تعیین مجموعه‌ای از وزن های مشترک (CSW) تحت چارچوب تحلیل پوششی داده‌ها می تواند راه حلی برای رفع این مشکل باشد که اولین بار توسط کوک و همکاران ]2[ مطرح شد. در روش پیشنهادی آن‌ها مجموعه‌ای از وزن‌های مشترک برای تمامی واحدها تعیین و مقدار کارایی واحدهای تصمیم‌گیرنده بر اساس یک وزن مشترک محاسبه می شود که قدرت تمایز آن منجر به مقایسه صحیح میان واحدها می‌شود. ترکیب دو نگاه خوشبینانه و بدبینانه راه حل دیگری جهت ایجاد تمایز میان واحدهای تصمیم گیرنده است که توسط وانگ و لو ]3[ مطرح شد. بر این اساس، وانگ و لو ]3[ پس از معرفی دو واحد ایده‌آل و آنتی ایده‌آل، بهترین و بدترین کارایی هر واحد تصمیم گیرنده را محاسبه نموده، سپس با ترکیب این دو مقدار کارایی، شاخص رابطه نزدیکی به واحد ایده‌آل را تعیین و کارایی نهایی واحدها را به دست آوردند. با توجه به نقص موجود در مدل بدبینانه، وو ]4[ مدل پیشنهادی آن‌ها را اصلاح نمود.

همان طور که می‌دانیم تحلیل پوششی داده ها بر مبنای داده‌های دقیق عمل می نماید، این درحالی است که در دنیای واقعی داده معمولاً قطعی و دقیق نیستند. بنابراین، ارزیابی عملکرد با روش های معمول منجر به بروز خطاهایی در فرایند تصمیم گیری  می شود. در چنین وضعیتی، مدل مرسوم تحلیل پوششی داده‌ها نمی‌تواند به سادگی عملکرد را اندازه‌گیری کند. برای اتخاذ تصمیمات معقول و مطابقت بیشتر با دنیای واقعی، ضروری است که ازیکی از رویکردهای عدم قطعیت مانند داده‌های بازه‌ای، تصادفی و یا فازی استفاده نمود. محققین زیادی از ابزار منطق فازی برای برخورد با داده‌های نادقیق در تحیل پوششی داده‌ها استفاده نمودند که منجر به تحلیل پوششی داده‌های فازی (FDEA) گردید. رویکردهای مختلفی در ادبیات تحلیل پوششی داده‌ها برای برخورد با داده‌های فازی وجود دارد که رویکردهای آلفا برش و حساب فازی از مهمترین آن‌ها می‌باشند. در ادامه به برخی از مطالعات صورت گرفته در این زمینه اشاره می‌شود.

روش‌های پیشنهادی توسط کائو و لیو ]5[ و ساعتی و همکاران ]6[ دو روش اصلی مبتنی بر رویکرد آلفا برش برای حل مدل‌هایFDEA  می‌باشند. روش کائو و لیو ]5[ هر مدل FDEA را بر اساس اصل گسترش و آلفا برش به مدل‌های قطعی تبدیل می‌کند و کران‌های بالا و پایین آلفا برش توابع عضویت کارایی را بدست می‌آورد. این رویکرد همچنین روشی را برای رتبه‌بندی نمرات کارایی فازی بدون داشتن فرم دقیق توابع عضویت پیشنهاد می‌دهد. کائو و لیو ]7[ این رویکرد را برای حل مدل‌های تحلیل پوششی داده های دو مرحله‌ای فازی توسعه داده‌اند. لوزانو ]8[ با توسعه همین رویکرد، روش دیگری برای یافتن کارایی فازی سیستم‌های دو مرحله‌ای ارایه داد. روش ساعتی و همکاران ]6[، هر مدل FDEA  را بر اساس آلفا برش به یک مساله برنامه‌ریزی خطی بازه‌ای تبدیل می‌نماید و سپس مساله‌ بازه‌ای حاصل را به ازای آلفای داده شده به یک مساله برنامه‌ریزی خطی تبدیل می‌کند. ساعتی و معماریانی ]9[ با گسترش این روش، رویکردی برای تعیین وزن مشترک در مدل‌های FDEA پیشنهاد دادند. حاتمی-ماربینی و همکاران ]10[ با معرفی واحد‌های ایده‌آل فازی و آنتی ایده‌آل فازی، روش آلفا برش ساعتی و همکاران ]6[ را گسترش داده‌اند. پوری و یادآو ]11[ از رویکرد آلفا برش برای یافتن کارایی فازی در حضور خروجی‌های نامطلوب استفاده کرده‌اند. شرمه و همکاران ]12[ بر اساس مدل مبتنی بر متغیرهای کمکی برای فرآیند شبکه‌ای سه مرحله ای فازی عملکرد شرکت های گاز منطقه ای ایران را مورد ارزیابی قرار دادند. تویسوز و سیسمک ]13[ بر اساس رویکرد چند معیاره فازی عملکرد شبکه‌های حمل بار در ترکیه را بررسی نمودند. ایزدی خواه ]14[ به کمک مفهوم آلفا برش بر اساس مدل راسل اصلاح شده مدلی برای ساختار دو مرحله‌ای در محیط فازی ارائه نمودند و 15 شعبه بانک ملی ایران را مورد ارزیابی قرار دادند. حیدری و همکاران ]15[  بر اساس مدل DEA-RAM   فازی 14 خط هوایی ایران را مورد تحلیل و ارزیابی قرار دادند. کاظمی و همکاران ]16[ با استفاده از مفهوم نقطه ایده‌آل از این رویکرد برای یافتن وزن‌های مشترک در مدل FDEA در حضور عوامل غیراختیاری استفاده کردند. فتحی و فرضی‌پور صاعن ]17[ به ارزیابی عملکرد زنجیره تامین با تلفیق مرزهای دوگانه و مجموعه وزن‌های مشترک در تحلیل پوششی داده‌های فازی پرداختند. طباطبایی و همکاران ]18[ بر اساس رویکرد مجموعه وزن های مشترک برای ساختارهای شبکه‌ای در محیط فازی عملکرد شرکت‌های گاز ایران را ارزیابی نموند.

مهمترین ضعف رویکرد آلفا برش در یافتن کارایی فازی این است که باید دنباله‌ای از مد‌ل‌های خطی بر اساس مجموعه آلفا برش‌های مختلف حل شود که این امر محاسبات را به طرز قابل توجهی افزایش می‌دهد. جهت رفع این مشکل، وانگ و همکاران ]19[ رویکرد حساب فازی را برای یافتن کارایی فازی در مدل‌های FDEA پیشنهاد داده‌اند. از آنجا که این رویکرد برای یافتن مولفه‌های کارایی فازی، سه مدل DEA کسری مختلف حل می‌کند، وزن‌های متفاوتی برای یافتن کارایی فازی واحد تحت ارزیابی بدست می‌دهد. برای رفع این مشکل، بارداج و همکاران ]20[ یک رویکرد جدید مبتنی بر تابع هدف کسری و قیود خطی پیشنهاد داده‌اند. همچنین، آذر و همکاران ]21[ رویکرد حساب فازی را برای مدل جمعی تعمیم داده و از آن جهت یافتن وزن مشترک در مدل FDEA برای محاسبه کارایی فازی واحدها و رتبه‌بندی آن‌ها استفاده کردند. کچویی و همکاران ]22[ این روش را برای یافتن کارایی فازی در حضور خروجی‌های نامطلوب گسترش داده‌اند. ابراهیم‌نژاد و امانی ]23[ از مفهوم واحد‌های ایده‌آل فازی و آنتی ایده‌آل فازی برای ارزیابی واحد‌ها در مدلFDEA  در حضور خروجی‌های نامطلوب استفاده کردند. آن‌ها، ضمن برطرف کردن، نقاط ضعف روش وانگ و همکاران ]19[، رویکرد حساب فازی را برای یافتن کارایی فازی واحد‌های ایده‌آل فازی و آنتی ایده‌آل فازی در حضور خروجی‌های نامطلوب گسترش داده‌اند. سپس با یافتن بهترین و بدترین کارایی نسبی هر واحد در حضور خروجی‌های نامطلوب، واحدهای تصمیم‌گیرنده را رتبه‌بندی نموده‌اند. با این وجود مهمترین ضعف روش این است که به تلاش محاسباتی قابل توجهی برای یافتن بهترین و بدترین کارایی فازی هر واحد تصمیم‌گیرنده نیاز دارد. در این مقاله رویکرد پیشنهادی ابراهیم‌نژاد و امانی ]23[ در حضور خروجی های مطلوب به گونه‌ای تعمیم داده می‌شود که با یافتن وزن‌های مشترک، بهترین کارایی نسبی هر واحد تنها با حل یک مدل خطی و بدترین کارایی نسبی هر واحد نیز تنها با حل یک مدل خطی محاسبه می‌شود که منجر به کاهش چشمگیر محاسبات می‌گردد. هم چنین برای بررسی و تحلیل بیشتر 30 شرکت بیمه در ایران در نظر گرفته شده و عملکرد آن ها بر اساس رویکرد پیشنهادی مورد ارزیابی قرار می‌گیرند.

بر این اساس در ادامه مقاله در بخش دوم مروری بر مدل تحلیل پوششی داده‌ها و مدل مجموعه‌ای از وزن‌های مشترک در محیط فازی خواهیم داشت. در بخش سوم، رویکرد پیشنهادی برای ارزیابی بهترین و بدترین کارایی واحدهای تصمیم گیرنده در یک محیط فازی ارائه می‌شود. جهت تشریح و توضیح روش پیشنهادی در بخش چهارم مطالعه کاربردی بر روی چندین شرکت بیمه ایران خواهیم داشت. سرانجام در بخش پنجم نتیجه گیری و پیشنهاداتی برای کارهای آتی ارائه می شود.

2. مفاهیم اولیه

در این بخش، برخی مفاهیم اساسی نظریه مجموعه‌های فازی، تحلیل پوششی داده‌های فازی و مجموعه وزن های مشترک در تحلیل پوششی داده‌های فازی مرور می‌گردد (آذر و همکاران ]21[، ابراهیم نژاد و امانی ]23[. 

1.2. نظریه مجموعه فازی

تعریف 1. عدد فازی img0 که با نماد img0 نشان داده می شود یک عدد فازی مثلثی نامیده می شود اگر و تنها اگر تابع عضویت آن به صورت زیر باشد:

img0تعریف 2.  عدد فازی مثلثی img0 یک عدد فازی نامنفی (مثبت) است اگر و تنها اگر (img0(img0.

تعریف 3. فرض کنید img0  و img0 دو عدد فازی مثلثی باشند در این صورت حساب اعداد فازی به صورت زیر تعریف می شود:

img0 

تعریف 4. فرض کنید img0 عدد فازی مثلثی چون img0 وجود دارد. هم چنین فرض کنید img0، img0 و img0 در این صورت شاخص رابطه نزدیکی (img0) برای رتبه بندی اعداد فازی به صورت زیر تعریف می‌شود (ابراهیم نژاد و امانی ]23[ ):

img0 

مقدارimg0 رتبه عدد فازی img0 را تعیین می‌نماید به این ترتیب که هر چه مقدار img0 بزرگتر باشد عدد فازی img0 رتبه بالاتری خواهد داشت.

 

 

2.2. مدل تحلیل پوششی داده های فازی

فرض کنید img0 واحد تصمیم گیرنده (DMU) متجانس وجود دارد به طوری که هر واحد img0، ورودی فازی مثلثی img0 را مصرف نموده تا خروجی فازی مثلثی img0 را تولید نماید. در این صورت کارایی فازی واحد تحت ارزیابی img0 به صورت زیر تعریف می شود:

img0 

با توجه به رویکرد حساب فازی، وانگ و همکاران ]19[ مدل زیر را برای محاسبه رابطه کارایی فازی img0 پیشنهاد نمودند:

img0 

توجه داریم که اگر قید مدل (5) برای کران بالای img0 برقرار باشد آن گاه قید مورد نظر برای دو کران img0 وimg0 نیز برقرار خواهد بود. بنابراین این مدل به صورت زیر بازنویسی می شود:

img0 

وانگ و همکاران (2009)  با تبدیل مدل (6) به سه مدل جدا از هم، مقادیر بهینه img0، img0  و img0 را به صورت جداگانه به دست آوردند. دو مشکل عمده روش وانگ و همکاران ]19[ این است که با حل سه مدل مجزا، وزن‌های متفاوتی برای واحد تحت ارزیابی تولید می‌شود که نمی‌تواند جواب بهینه‌ی مدل (6) باشد و با تعریف (4) در تضاد است و هم چنین کارایی فازی واحد تحت ارزیابی ممکن است در شرط مثلثی بودن تابع عضویت صدق نکند. برای رفع این دو مشکل، ابراهیم‌نژاد و امانی ]23[ رویکرد قاعده الفبایی را برای حل مدل (6) پیشنهاد کردند.

3.2. مجموعه وزن‌های مشترک در تحلیل پوششی داده‌های فازی

رویکرد حساب فازی وانگ و همکاران ]19[  برای حل مدل (6)، وزن‌های مختلفی به ورودی‌ها و خروجی‌های واحد‌های تحت ارزیابی اختصاص می‌هد. برای حل این مشکل، آذر و همکاران ]21[  بر اساس مدل جمعی پیشنهادی چارنز و همکاران ]24[، مدل زیر را برای تعیین مجموعه‌ای از وزن‌های مشترک در محیط فازی ارائه نمودند:

img0 

در مدل فوق، img0 یک مقدار غیر ارشمیدسی است که برای ممانعت از صفر شدن وزن های img0 و img0 در نظر گرفته شده است. بر خلاف مدل پیشنهادی وانگ و همکاران ]19[، مدل (7) تنها یک بار حل می شود و این یکی از مزیت های مهم این مدل است. پس از حل مدل (7) بر اساس رویکرد حساب فازی و یافتن وزن بهینه img0، کارایی فازی برای img0 از طریق رابطه زیر قابل محاسبه می باشد:

img0 

3. رویکرد وزن مشترک برای محاسبه کارایی فازی

در این بخش پس از معرفی دو واحد مجازی ایده‌آل فازی (FIDMU) و آنتی ایده‌آل فازی (FADMU)، نخست مطابق با رویکرد ابراهیم نژاد وامانی ]23[ بهترین کارایی فازی FIDMU و بدترین کارایی فازی FADMU در حالتی که تنها شامل خروجی‌های مطلوب هستند تعیین می‌گردد. سپس مدلی برای تعیین مجموعه‌ای از وزن‌های مشترک جهت تعیین بهترین کارایی ایده‌آل فازی و بدترین کارایی آنتی ایده‌آل فازی برای محاسبه کارایی فازی هر واحد تصمیم گیرنده معرفی می‌شود. ساختار کلی روش پیشنهادی در قالب الگوریتم در شکل (1) نشان داده شده است. 

 

 

 

 

شکل 1- ساختار کلی روش پیشنهادی

 

1.3. مدل تحلیل پوششی داده‌های فازی برای واحدهای مجازی FIDMU  یا  FADMU 

فرض کنید واحد تحت ارزیابی img0شامل ورودی فازی مثلثیimg0 و خروجی فازی مثلثی img0 باشد. هم چنین فرض کنید ورودی‌ها و خروجی‌های دو واحد فازی مجازی به نام‌های img0 و img0 به صورت زیر تعریف شوند:

 img0

در این صورت بهترین کارایی واحد ایده‌آل فازی FIDMU  از طریق مدل زیر تعیین می‌شود:

img0 

مطابق با حساب اعداد فازی، مدل (10) به فرم زیر تبدیل می‌شود:

img0 

در صورت برقراری قیدimg0، قیدهای img0 و img0 نیز برقرار خواهند بود.  بنابراین مدل (11) به صورت زیر بازنویسی می شود:

img0 

توجه دارید که مدل فوق یک مدل چند هدفه است. بنابراین بر اساس رویکرد قاعده الفبایی (لکزیکوگرافی) پیشنهادی توسط ابراهیم نژاد و امانی ]23[ برای یافتن کارایی واحد ایده‌آل فازی FIDMU، سه مدل ذیل به ترتیب حل می‌شوند.

img0 

با فرض بهینگی مدل فوق (img0)، مدل زیر حل می‌شود:

img0 همچنین با فرض بهینگی دو مدل پیشین (img0) مدل زیر حل می‌شود:

img0 

لازم به ذکر است تمامی مدل‌های فوق غیر خطی هستند و به کمک تبدیل چارنز-کوپر ]25[ قابل تبدیل به فرم خطی می‌باشند.

پس از تعیین بهترین کارایی واحد ایده‌آل فازی (FIDMU) یعنی img0، بدترین کارایی واحد آنتی ایده‌آل فازی (FADMU) نیز از طریق مدل زیر تعیین می‌شود:

img0 

با توجه به فازی بودن تابع هدف مدل (16)، مشابه با مدل تعیین بهترین کارایی واحد ایده آل فازی این مدل نیز تبدیل به مساله برنامه ریزی چند هدفه زیر می‌شود:

img0 

با توجه به چند هدفه بودن مدل فوق، بر اساس رویکرد قاعده الفبایی (لکزیکوگرافی) پیشنهادی توسط ابراهیم نژاد و امانی ]23[ کارایی واحد آنتی ایده‌آل فازی FADMU، از طریق مدل‌های (18)، (19) و (20) به صورت زیر تعیین می‌شود:

img0 

با فرض بهینگی مدل فوق (img0)، مدل زیر حل می‌شود:

img0 

همچنین با فرض بهینگی دو مدل پیشین (img0) مدل زیر حل می‌شود:

img0حال با توجه به مقدار بهترین کارایی واحد ایده‌آل فازی FIDMU (img0) و بدترین کارایی واحد آنتی ایده‌آل فازی FADMU (img0) برای تعیین بهترین و بدترین کارایی فازی هر واحد تصمیم گیرنده مدل‌هایی در بخش بعد معرفی می‌گردد.

2.3. تعیین بهترین کارایی فازی واحد تصمیم گیرنده بر اساس مجموعه وزن‌های مشترک

مطابق با روش پیشنهادی آذر و همکاران ]21[، مدل فازی برای تعیین مجموعه‌ای از وزن‌های مشترک برای محاسبه بهترین کارایی فازی هر واحد تصمیم‌گیرنده (DMU) به صورت زیر معرفی می‌شود:

img0 

لازم به ذکر است، مدل فوق مقدار کارایی را محاسبه نمی‌کند بلکه با حفظ مقدار بهینه بهترین کارایی فازی واحد ایده‌آل FIDMU (img0)، مجموعه‌ای از وزن‌های مشترک img0 را برای اندازه‌گیری بهترین کارایی فازی هر واحد تصمیم گیرنده img0 تعیین می‌نماید. مطابق با رویکرد حساب فازی مثلثی، مدل (21) به صورت زیر تغییر می‌یابد:

img0برای حل مدل پیشنهادی تغییراتی به شرح زیر اعمال می‌شود:

با فرض این که

img0 

خواهیم داشت:

img0 

که در صورت برقراری قید اول img0، دو قید دیگر نیز برقرار خواهند بود و می‌توانند از مساله حذف شوند.

اولین قید نیز می‌تواند به صورت زیر بازنویسی شود:

img0 

هم چنین، در صورت برقراری قید img0، قیدهای img0 و img0 نیز برقرار خواهند بود. در نتیجه این قیود زاید هستند و از مدل حذف می‌شوند. هم چنین برای جلوگیری از بی‌کرانی مساله در بهینگی، قید نرمال img0 با دو قید img0 و img0 جایگزین می‌شود. بنابراین با توجه به تغییرات ذکر شده، مدل (22) به صورت زیر بازنویسی می‌شود:

img0 

بر اساس جواب بهینه مدل (23) یا به عبارتی مجموعه‌ای از وزن‌های مشترک برای همه واحدهاimg0، بهترین کارایی فازی برای هر واحد تصمیم گیرنده img0 به صورت زیر محاسبه می‌شود:

img0 

3.3. تعیین بدترین کارایی فازی واحد تصمیم‌گیرنده بر اساس مجموعه وزن‌های مشترک

مشابه با زیر بخش پیش، مدل فازی برای تعیین مجموعه‌ای از وزن های مشترک برای محاسبه بدترین کارایی فازی هر واحد تصمیم‌گیرنده img0 به صورت زیر معرفی می‌شود:

img0 

در مدل فوق، با حفظ بهینگی مقدار بهینه بدترین کارایی فازی واحد آنتی ایده‌آل FADMU تحت عنوان (img0)، مجموعه‌ای از وزن‌های مشترک img0 برای اندازه‌گیری بدترین کارایی فازی هر واحد تصمیم گیرنده img0 تعیین می‌شود. مطابق با رویکرد حساب اعداد فازی مثلثی، مدل (25) به صورت زیر فرموله می‌شود:

img0به طور مشابه برای حل مدل پیشنهادی، تغییراتی به شرح زیر اعمال می شود:

فرض کنید

img0 

در این صورت داریم:

img0 

در صورت برقراری رابطه img0 ، دو قید دیگر زاید هستند و از مساله حذف می‌شوند.

قید اول نیز به صورت زیر بازنویسی می شود:

img0 

در صورت برقراری قید img0، قیود  img0 و img0 برقرار خواهند بود و از مدل حذف می‌شوند. بنابراین با توجه به تغییرات صورت گرفته، مدل (26) به صورت زیر بازنویسی می‌شود:

img0پس از تعیین مجموعه‌ای از وزن‌های بهینه مشترکimg0 بر اساس مدل (27)، بدترین کارایی فازی هر واحد img0 به صورت زیر محاسبه می‌شود:

img04.3. 4.3. کارایی فازی واحد تحت ارزیابی

همان طور که در بخش های قبل ملاحظه نمودید، ابتدا بر اساس رویکرد ابراهیم نژاد و امانی ]23[ بهترین و بدترین کارایی فازی واحدهای مجازی FIDMU و FADMU به کمک مدل های (15)-(13) و (20)-(18) محاسبه شد. سپس بهترین و بدترین کارایی فازی هر واحد تحت ارزیابی img0 بر اساس مدل های (23)، (24)، (27) و (28) تعیین شد. حال با توجه به مقادیر به دست آمده، شاخص رابطه نزدیکی فازی برای تعیین کارایی فازی کل هر واحد تحت ارزیابی به صورت زیر بدست می‌آید:

img0 

 توجه دارید که مقدار شاخص رابطه نزدیکی فازی (29) امکان مقایسه میان واحدهای تحت ارزیابی را فراهم می‌آورد و رتبه واحد تحت ارزیابی img0را تعیین می‌نماید. بنابراین هر چه مقدار آن بزرگتر باشد عملکرد واحد تحت ارزیابیimg0 بهتر بوده در نتیجه رتبه بهتری خواهد داشت. لازم به ذکر است که با توجه به فازی بودن شاخص رابطه نزدیکی (img0)، رتبه بندی واحدها بر اساس رابطه (3) انجام می‌شود.

قابل ذکر است که در مطالعه حاضر، توابع عضویت مثلثی برای توصیف فازی بودن داده‌های مدل تحلیل پوششی داده‌ها انتخاب شده‌اند به این دلیل که توابع عضویت مثلثی ساده‌ترین نوع اعداد فازی برای استفاده در محاسبات فازی و عملیات‌های حسابی فازی هستند و نیز، استفاده از توابع عضویت مثلثی نمایش مناسبی از دانش خبرگان ارائه می‌دهد و همچنین پیچیدگی محاسباتی را کاهش می‌دهد. با این وجود، هر شکل دیگر از توابع عضویت نیز می‌تواند به راحتی در روش پیشنهادی مورد استفاده قرار گیرد و استفاده از انواع مختلف اعداد فازی، روند الگوریتمی یا ساختار روش پیشنهادی را تغییر نمی‌دهد.

4. مثال کاربردی

در راستای تحلیل و بررسی مدل پیشنهادی در بخش پیش، مثالی در خصوص شرکت های بیمه ارائه می شود. بر این اساس 30 شرکت بیمه شامل ورودی ها و خروجی های فازی مثلثی به شرح زیر در نظر گرفته شد.

v       ورودی ها

هزینه های عملیاتی : هزینه هایی عملیاتی مربوط به فعالیت های عادی و مستمر شرکت ها می باشد.

هزینه های بیمه : مبالغی که شرکت های بیمه گر به بیمه شونده ها پرداخت می نمایند.

نیروی کار : تعداد کارکنان هر شرکت بیمه را نشان می دهد.

v       خروجی ها

سود پذیره نویسی : میزان سودی که شرکت های بیمه به واسطه پذیره نویسی سهام خود دریافت می نمایند.

سود سرمایه گذاری : سودی که به واسطه سرمایه گذاری های شرکت های بیمه گر به دست می آید.

تعداد حق بیمه های صادر شده : تعداد حق بیمه هایی که به شرکت های بیمه پرداخت می شود.

مقادیر ورودی ها و خروجی ها به ترتیب در جدول‌های 1 و 2 قابل مشاهده می باشد.

این نکته قابل ذکر است که ورودی ها و خروجی های دو واحد مجازی ایده‌آل و آنتی ایده‌آل فازی FIDMU و FADMU در دو سطر آخر جدول های 1 و 2 مطابق با رابطه (9) تعریف شده‌اند. با توجه به مقادیر ورودی‌ها و خروجی‌های فازی موجود در جدول های 1 و 2، مطابق با الگوریتم روش پیشنهادی در شکل 1، ابتدا بهترین و بدترین کارایی فازی دو واحد مجازی FIDMU و FADMU بر اساس مدل های (15)-(13) و (20)-(18) محاسبه شدند که نتایج آن در دو سطر آخر جدول 3 قابل مشاهده است. سپس مطابق با کارایی‌های به دست آمده، مجموعه وزن‌های مشترک برای همه واحدها با توجه به مدل‌های (23) و (27) تعیین و مقادیر بهینه به صورت (0000001/0، 0918186/0، 0198200/0، 65152191/0، 23683925/0، 0000001/0) و (0000028/0، 0001400/0، 0000313/0، 99946256/0، 00036198/0، 00000118/0) به دست آمد. پس از آن، بر اساس وزن‌های بهینه مشترک به دست آمده، بهترین و بدترین کارایی هر واحد تحت ارزیابی با توجه به تعاریف (24) و (28) محاسبه شد. در نهایت، شاخص رابطه نزدیکی فازی برای هر واحد تحت ارزیابی به کمک رابطه (29) تعیین شد. نتایج به دست آمده در جدول 3 قابل مشاهده است.

همان طور که در جدول 3 قابل ملاحظه است کران بالای بهترین کارایی فازی شرکت شماره 1 برابر با یک است، در حالی که کران بالای دیگر واحدها کمتر از یک می‌باشد. در واقع تنها شرکت شماره 1 در کران بالای خود کارا می‌باشد و باقی شرکت‌ها ناکارا هستند. کمترین مقدار برای کران بالای بهترین کارایی فازی و بدترین کارایی فازی متعلق به شرکت 24 می‌باشد در حالی که بیشترین مقدار برای کران بالای بهترین کارایی فازی و بدترین کارایی فازی به ترتیب متعلق به شرکت‌های 1 و 15 می‌باشد. برای بررسی و تحلیل بیشتر واحدها و رتبه‌بندی آن‌ها، شاخص رابطه نزدیکی فازی در سطوح مختلف img0 برای 30 شرکت بیمه از طریق رابطه (29) محاسبه و نتایج آن در جدول 4 جمع آوری شد. با توجه به جدول 4 مشاهده می‌شود که شاخص رابطه نزدیکی فازی هر واحد با افزایش سطوح مختلفimg0افزایش می‌یابد. این مطلب در شکل 3 به خوبی قابل رویت است.

 

 

 

 

 

جدول 1-  ورودی های فازی شرکت های بیمه

 

نیروی کار

هزینه های بیمه

هزینه های عملیاتی

شرکت ها

(6,8,10)

(815469,880547,945625)

(1327896,1520205.5,1712515)

1

(4,5,6)

(1542689,1719618.5,1896548)

(1546985,1691786,1836587)

2

(11,11,11)

(702694,749638,796582)

(1315482,1465225,1614968)

3

(5,7,8)

(715962,766457,816952)

(726598,876283,1025968)

4

(10,11,12)

(4865953,5217899.5,5569846)

(8126985,9347858.5,10568732)

5

(3,6,9)

(825476,869565,913654)

(3254876,3762375.5,4269875)

6

(10,13,16)

(2564763,3017309.5,3469856)

(2698754,3147205.5,3595657)

7

(14,15,16)

(2964283,3330078.5,3695874)

(5045687,5602218,6158749)

8

(7,7,7)

(1068787,1518770,1968753)

(2756943,19227841.5,35698740)

9

(15,17,19)

(2159674,2459769.5,2759865)

(2154367,2526454.5,2898542)

10

(6,8,10)

(816879,866184,915489)

(3024596,3411561,3798526)

11

(8,10,12)

(756492,790093.5,823695)

(3759864,4179244.5,4598625)

12

(10,12,14)

(2106975,2126966.5,2146958)

(3245875,3555931,3865987)

13

(4,5,6)

(1086942,1392744.5,1698547)

(2459865,2802575.5,3145286)

14

(8,9,10)

(742694,794823.5,846953)

(3148765,3709311,4269857)

15

(6,8,10)

(512783,524885,536987)

(2235984,2565792,2895600)

16

(13,14,15)

(1657493,2011737,2365981)

(2148759,2557317.5,2965876)

17

(9,11,13)

(638475,677534.5,716594)

(917599,982292,1046985)

18

(5,6,7)

(269754,303327,336900)

(235487,296236,356985)

19

(10,12,14)

(63784,68121.5,72459)

(225786,291386.5,356987)

20

(10,11,12)

(34786,37527.5,40269)

(98659,134258,169857)

21

(7,8,9)

(19784,24716,29648)

(25487,36236,46985)

22

(13,15,17)

(38746,44311,49876)

(66359,74028.5,81698)

23

(9,10,11)

(304965,359330,413695)

(248876,319221.5,389567)

24

(5,7,9)

(310685,347638.5,384592)

(345986,402924,459862)

25

(10,12,14)

(187643,250168.5,312694)

(225786,292736.5,359687)

26

(5,5,5)

(387561,428706.5,469852)

(419865,459242.5,498620)

27

(9,11,13)

(451248,489997,528746)

(287562,352207,416852)

28

(6,6,6)

(221599,248282,274965)

(198764,254729.5,310695)

29

(12,13,14)

(268457,341054.5,413652)

(298406,367695.5,436985)

30

(3,5,5)

(19784,24716,29648)

(25487,36236,46985)

FIDMU

(15,17,19)

(4865953,5217899.5,5569846)

(8126985,19227841.5,35698740)

FADMU

 

 

 

 

جدول 2-  خروجی های فازی شرکت های بیمه

تعداد حق بیمه های صادر شده

سود سرمایه گذاری

سود پذیره نویسی

شرکت ها

(4500,5350,6200)

(825786,871185,916584)

(1068757,1190613,1312469)

1

(1650,1900,2150)

(945862,991225.5,1036589)

(1356983,1526429.5,1695876)

2

(2800,3100,3400)

(775693,849675.5,923658)

(426590,456563,486536)

3

(4200,4600,5000)

(278459,337521.5,396584)

(356982,390320,423658)

4

(2200,2900,3600)

(5348764,6167116.5,6985469)

(9235784,9602179,9968574)

5

(1500,1850,2200)

(498751,547813,596875)

(2784968,3471832,4158696)

6

(5000,5100,5200)

(514788,563674,612560)

(3168759,3568667.5,3968576)

7

(6000,6750,7500)

(698746,742087.5,785429)

(4689758,5189660.5,5689563)

8

(2900,3200,3500)

(346985,379841.5,412698)

(1236789,1274646.5,1312504)

9

(6700,6950,7200)

(613876,664931,715986)

(2597689,2981674,3365659)

10

(3500,3675,3850)

(26984,30841,34698)

(2149768,2231213.5,2312659)

11

(2700,3160,3620)

(978469,1017727,1056985)

(1769857,1832671.5,1895486)

12

(3300,4100,4900)

(312698,346178,379658)

(4138765,4701875,5264985)

13

(2000,2350,2700)

(429856,463226,496596)

(1469768,1691711,1913654)

14

(4000,4050,4100)

(628957,682776.5,736596)

(3967854,4466863,4965872)

15

(3100,3375,3650)

(287694,351786.5,415879)

(926587,961587,996587)

16

(6150,6175,6200)

(446985,508419.5,569854)

(3489675,3808316.5,4126958)

17

(2750,2875,3000)

(264983,340790.5,416598)

(739865,783224.5,826584)

18

(2800,3050,3300)

(56984,66485,75986)

(612876,669737,726598)

19

(3600,3700,3800)

(34698,42483.5,50269)

(439865,483177,526489)

20

(4500,4850,5200)

(7268,8616.5,9965)

(62578,68573.5,74569)

21

(2500,3250,4000)

(5986,7477,8968)

(91368,95611,99854)

22

(4800,5400,6000)

(26985,41984.5,56984)

(32584,38121,43658)

23

(4900,5200,5500)

(21587,30141,38695)

(245169,290848.5,336528)

24

(2800,2900,3000)

(387596,457047,526498)

(487595,556536.5,625478)

25

(3800,4000,4200)

(315694,346145,376596)

(387629,443094.5,498560)

26

(2600,3250,3900)

(298457,397676,496895)

(305479,352177,398875)

27

(3600,3900,4200)

(365482,414539,463596)

(298654,384264.5,469875)

28

(1900,2200,2500)

(305784,331384.5,356985)

(398546,477763,556980)

29

(4700,4800,4900)

(324976,374317.5,423659)

(351675,387415.5,423156)

30

(6700,6950,7500)

(5348764,6167116.5,6985469)

(9235784,9602179,9968574)

FIDMU

(1500,1850,2150)

(5986,7477,8968)

(32584,38121,43658)

FADMU

 

 

 

 

 

جدول 3- نتایج بهترین و بدترین رابطه کارایی فازی

شرکت ها

img0 

img0 

img0 

1

(0.4331,0.4967,0.5704)

(0.4211,0.4851,0.5601)

(0.0023,0.0037,0.0058)

2

(0.2532,0.2978,0.3525)

(0.252,0.2966,0.3516)

(0.0013,0.0022,0.0036)

3

(0.4223,0.4904,0.5675)

(0.4051,0.4694,0.5419)

(0.0022,0.0036,0.0056)

4

(0.1687,0.2133,0.2643)

(0.1647,0.2089,0.2598)

(0.0009,0.0016,0.0027)

5

(0.5111,0.6122,0.728)

(0.5091,0.6097,0.7249)

(0.0028,0.0047,0.0075)

6

(0.4667,0.5783,0.7019)

(0.4573,0.5716,0.7002)

(0.0025,0.0044,0.0073)

7

(0.1339,0.1714,0.2221)

(0.1345,0.1722,0.2233)

(0.0007,0.0013,0.0023)

8

(0.1795,0.2168,0.2633)

(0.18,0.2173,0.2639)

(0.0009,0.0016,0.0027)

9

(0.1209,0.1672,0.2525)

(0.1147,0.1608,0.2492)

(0.0006,0.0012,0.0025)

10

(0.165,0.2062,0.2589)

(0.1639,0.205,0.2575)

(0.0009,0.0015,0.0026)

11

(0.2079,0.2294,0.2534)

(0.2064,0.2285,0.2535)

(0.0011,0.0017,0.0026)

12

(0.6403,0.6935,0.7513)

(0.6121,0.6658,0.7248)

(0.0034,0.0051,0.0075)

13

(0.2178,0.2481,0.279)

(0.2181,0.2492,0.2811)

(0.0012,0.0019,0.0029)

14

(0.1705,0.2306,0.3245)

(0.1702,0.2301,0.3236)

(0.0009,0.0017,0.0033)

15

(0.6799,0.8033,0.944)

(0.6629,0.7842,0.9228)

(0.0036,0.0060,0.0096)

16

(0.3521,0.4131,0.477)

(0.3338,0.3952,0.4608)

(0.0018,0.0030,0.0047)

17

(0.1967,0.2564,0.3416)

(0.1966,0.2558,0.34)

(0.0011,0.0019,0.0035)

18

(0.2298,0.2917,0.3613)

(0.2213,0.2814,0.3494)

(0.0012,0.0022,0.0036)

19

(0.2178,0.2697,0.3346)

(0.2103,0.2611,0.3249)

(0.0012,0.0020,0.0034)

20

(0.6933,0.8349,0.9959)

(0.4592,0.5706,0.7065)

(0.0025,0.0044,0.007)

21

(0.1999,0.2417,0.2902)

(0.1118,0.1363,0.1651)

(0.0006,0.0010,0.0017)

22

(0.3359,0.4406,0.5975)

(0.1975,0.2459,0.31)

(0.0011,0.0019,0.0032)

23

(0.2642,0.4389,0.6638)

(0.141,0.2316,0.3457)

(0.0008,0.0018,0.0036)

24

(0.0698,0.1002,0.1415)

(0.0665,0.0951,0.1336)

(0.0004,0.0007,0.0014)

25

(0.4968,0.6436,0.8254)

(0.471,0.6135,0.7921)

(0.0026,0.0047,0.0083)

26

(0.4951,0.6845,1.0000)

(0.4419,0.6063,0.8748)

(0.0025,0.0047,0.0091)

27

(0.3007,0.4284,0.5832)

(0.2926,0.4153,0.5633)

(0.00163,0.0032,0.0059)

28

(0.3152,0.3936,0.4854)

(0.2971,0.3725,0.4614)

(0.0016,0.0029,0.0048)

29

(0.5524,0.6784,0.8348)

(0.5225,0.6385,0.7805)

(0.0029,0.0049,0.0081)

30

(0.3757,0.5205,0.7436)

(0.3465,0.4736,0.6631)

(0.0019,0.0036,0.0069)

FIDMU

(95.9662,129.1743,178.9777)

 

 

FADMU

 

(0.0009,0.0012,0.0015)

 

 

 

 

جدول 4- شاخص رابطه نزدیکی کارایی فازی img0

شرکت ها

img0 

img0 

img0 

img0 

img0 

img0 

img0 

img0 

img0 

img0 

1

0.3081

0.3270

0.3458

0.3646

0.3835

0.4023

0.4211

0.4399

0.4588

0.4776

2

0.1718

0.1840

0.1962

0.2084

0.2205

0.2327

0.2449

0.2571

0.2693

0.2814

3

0.2962

0.3145

0.3328

0.3511

0.3694

0.3877

0.4060

0.4243

0.4426

0.4609

4

0.1064

0.1160

0.1257

0.1353

0.1450

0.1546

0.1643

0.1739

0.1836

0.1932

5

0.3933

0.4188

0.4443

0.4698

0.4952

0.5207

0.5462

0.5717

0.5972

0.6227

6

0.3620

0.3876

0.4133

0.4390

0.4646

0.4903

0.5160

0.5416

0.5673

0.5930

7

0.0808

0.0893

0.0978

0.1063

0.1148

0.1233

0.1318

0.1403

0.1488

0.1573

8

0.1143

0.1237

0.1331

0.1425

0.1519

0.1613

0.1707

0.1802

0.1896

0.1990

9

0.0722

0.0827

0.0933

0.1038

0.1144

0.1250

0.1355

0.1461

0.1566

0.1672

10

0.1044

0.1139

0.1235

0.1330

0.1426

0.1521

0.1616

0.1712

0.1807

0.1903

11

0.1255

0.1335

0.1416

0.1496

0.1576

0.1656

0.1737

0.1817

0.1897

0.1978

12

0.4447

0.4670

0.4894

0.5117

0.5340

0.5564

0.5787

0.6011

0.6234

0.6457

13

0.1389

0.1481

0.1573

0.1666

0.1758

0.1850

0.1942

0.2035

0.2127

0.2219

14

0.1203

0.1334

0.1465

0.1596

0.1726

0.1857

0.1988

0.2119

0.2250

0.2380

15

0.5191

0.5511

0.5831

0.6152

0.6472

0.6792

0.7113

0.7433

0.7753

0.8073

16

0.2413

0.2572

0.2731

0.2890

0.3048

0.3207

0.3366

0.3524

0.3683

0.3842

17

0.1391

0.1523

0.1655

0.1787

0.1919

0.2052

0.2184

0.2316

0.2448

0.2580

18

0.1570

0.1700

0.1830

0.1960

0.2090

0.2220

0.2350

0.2480

0.2610

0.2740

19

0.1442

0.1561

0.1681

0.1800

0.1920

0.2039

0.2158

0.2278

0.2397

0.2517

20

0.3630

0.3891

0.4152

0.4413

0.4674

0.4934

0.5195

0.5456

0.5717

0.5978

21

0.0565

0.0624

0.0683

0.0742

0.0801

0.0861

0.0920

0.0979

0.1038

0.1097

22

0.1338

0.1453

0.1568

0.1684

0.1799

0.1914

0.2030

0.2145

0.2260

0.2376

23

0.1145

0.1298

0.1451

0.1603

0.1756

0.1909

0.2062

0.2214

0.2367

0.2520

24

0.0251

0.0306

0.0361

0.0417

0.0472

0.0527

0.0582

0.0637

0.0692

0.0747

25

0.3885

0.4189

0.4494

0.4799

0.5104

0.5409

0.5713

0.6018

0.6323

0.6628

26

0.3824

0.4186

0.4547

0.4908

0.5269

0.5631

0.5992

0.6353

0.6714

0.7076

27

0.2444

0.2673

0.2902

0.3132

0.3361

0.3590

0.3819

0.4049

0.4278

0.4507

28

0.2220

0.2390

0.2560

0.2730

0.2901

0.3071

0.3241

0.3411

0.3581

0.3752

29

0.4122

0.4405

0.4687

0.4970

0.5252

0.5535

0.5817

0.6100

0.6382

0.6665

30

0.2891

0.3160

0.3430

0.3700

0.3969

0.4239

0.4509

0.4779

0.5048

0.5318

 

 

 

 

 

 

شکل 3- شاخص رابطه نزدیکی فازی در سطوح مختلف img0

 

مطابق با مقادیر شاخص رابطه نزدیکی در جدول 4  واحدها در سطوح مختلف img0رتبه بندی شده و نتایج آن در جدول 5 قابل مشاهده است. همان طور که در جدول 5 مشاهده می‌کنید، تغییراتی در رتبه‌بندی واحدها در سطوح مختلف img0 دیده می‌شود، اما به نظر می رسد که این تغییرات خیلی محسوس نیستند.

به طور کلی، شرکت‌های شماره 2، 4، 6، 10، 15، 16، 18، 20، 21، 24، 27 و 28 در سطوح مختلف img0 به ترتیب رتبه‌های 15، 25، 8، 26، 1، 13، 16، 7، 29، 30، 12 و 14 دارند. شرکت‌های شماره 15 و 24 به ترتیب اولین و آخرین رتبه را در میان 30 شرکت دارا هستند. اما اگر به صورت جزئی‌تر به مساله نگاه کنیم، شرکت شماره 1 در سطوح img0دارای رتبه 9 و در باقی سطوح رتبه 10 را دارد. شرکت شماره 3 تنها در سطح 1/0 رتبه 10 و در باقی سطوح رتبه 11 دارد. شرکت شماره 5 در سطوح 1/0 و 2/0 به ترتیب رتبه‌های 4 و 5 و در باقی سطوح رتبه 6 را دارا می‌باشد. شرکت شماره 7 تا قبل از سطح 6/0 دارای رتبه 27 و بعد از آن رتبه 28 را به خود گرفته است. این در حالی است که شرکت شماره 9 نیز وضعیت عکس با شرکت 7 را داراست یعنی تا قبل از سطح 6/0 دارای رتبه 28 و بعد از آن رتبه 27 را داشته است. شرکت های شماره 17 و 19 نیز وضعیتی مشابه با شرکت‌های 7 و 9 دارند. به این صورت که شرکت شماره 17 تا قبل از سطح 6/0 رتبه 18 و بعد از آن رتبه 17 را دارد در حالی که شرکت شماره 19 عکس آن می‌باشد. شرکت شماره 8 در همه سطوح به جز سطح آلفا برابر با یک که رتبه 23 را دارد رتبه 24 را دریافت نموده است. شرکت شماره 11 در سطوح 1/0، 2/0 و 1 به ترتیب دارای رتبه‌های 21 و 24 و در باقی سطوح دارای رتبه 23 می‌باشد. شرکت‌های 12، 23 و 26 در میان 30 شرکت، نوسان رتبه بیشتری را داشته اند. شرکت شماره 13 در سه سطح 1/0 تا 3/0 رتبه 19، در دو سطح 4/0 و 5/0 رتبه 20 و در باقی سطوح رتبه 22 را داراست. شرکت شماره 14 در سطوح مختلف دارای رتبه‌های 20، 21 و 22 می‌باشد. شرکت شماره 22 در سطح 4/0 تا 6/0 دارای رتبه 19 و در باقی سطوح رتبه 20 را دارد. شرکت شماره 29 در سطوح 5/0 و 6/0 دارای رتبه 4 و در باقی سطوح رتبه 3 را داراست. همچنین، شرکت شماره 30 در سطح 1/0 رتبه 11، در دو سطح 2/0 و 3/0 رتبه 9 و در باقی سطوح رتبه 9 را دارد. تفاوت در رتبه بندی واحدها در سطوح مختلف آلفا حاکی از این مطلب است که علاوه بر تغییرات در مقدار کارایی، رتبه‌بندی واحدها نیز در سطوح مختلف نیز تغییر می‌کند. تغییرات رتبه بندی در روش پیشنهادی، در شکل 4 به خوبی قابل ملاحظه است.

 

جدول 5- رتبه بندی واحدها در سطوح مختلف img0

شرکت ها

img0 

img0 

img0 

img0 

img0 

img0 

img0 

img0 

img0 

img0 

1

9

9

9

10

10

10

10

10

10

10

2

15

15

15

15

15

15

15

15

15

15

3

10

11

11

11

11

11

11

11

11

11

4

25

25

25

25

25

25

25

25

25

25

5

4

5

6

6

6

6

6

6

6

6

6

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

7

27

27

27

27

27

28

28

28

28

28

8

24

24

24

24

24

24

24

24

24

23

9

28

28

28

28

28

27

27

27

27

27

10

26

26

26

26

26

26

26

26

26

26

11

21

21

23

23

23

23

23

23

23

24

12

2

2

2

2

2

3

4

5

5

5

13

19

19

19

20

20

22

22

22

22

22

14

22

22

21

22

22

21

21

21

21

20

15

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

16

13

13

13

13

13

13

13

13

13

13

17

18

18

18

18

18

17

17

17

17

17

18

16

16

16

16

16

16

16

16

16

16

19

17

17

17

17

17

18

18

18

18

19

20

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

21

29

29

29

29

29

29

29

29

29

29

22

20

20

20

19

19

19

20

20

20

21

23

23

23

22

21

21

20

19

19

19

18

24

30

30

30

30

30

30

30

30

30

30

25

5

4

5

5

5

5

5

4

4

4

26

6

6

4

4

3

2

2

2

2

2

27

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

28

14

14

14

14

14

14

14

14

14

14

29

3

3

3

3

4

4

3

3

3

3

30

11

10

10

9

9

9

9

9

9

9

 

 

 

 

شکل 4- تغییرات رتبه بندی واحدها در سطوح مختلف img0

 

 

5. نتیجه گیری

عدم قطعیت یا مبهم بودن داده‌ها در برخی از برنامه‌های کاربردی در دنیای واقعی منجر به معرفی روش‌هایی برای ارزیابی سیستم هایی  با داده‌های این چنین در سال‌های اخیر شده است که تجزیه و تحلیل پوششی داده‌های فازی یکی از تکنیک‌های موجود در برخورد با چنین موارد است. پس از ارزیابی عملکرد فرآیندهای تولیدی، موضوع رتبه‌بندی واحدها از نظر نحوه عملکرد آن‌ها در سیستم یکی از مهمترین مسائل است. از این رو ، محققان همیشه در تلاش هستند تا روش‌های مناسبی را برای ارزیابی واحدهای تصمیم‌گیرنده ارائه دهند که می‌تواند قدرت تمایز بین واحدها را افزایش دهد. یکی از روش‌های تجزیه و تحلیل پوششی داده‌ها برای حل این مشکل، روش مجموعه‌ی وزن‌های مشترک است که می‌تواند همزمان با تعیین وزن‌های مطلوب بهینه برای همه واحدها، کارایی آن‌ها را به حداکثر برساند و برای تمام واحدهای کارا رتبه کامل به دست آورد.

بر این اساس، در این مقاله، ابتدا دو واحد مجازی ایده‌آل و آنتی ایده‌آل فازی FIDMU  و FADMU تعریف شده و بر اساس روش پیشنهادی ابراهیم نژاد و امانی ]23[، بهترین و بدترین کارایی فازی واحدهای مجازی محاسبه شد. سپس، با توجه به مقدار کارایی‌های به دست آمده، مدل‌هایی برای تعیین مجموعه‌ی وزن‌های مشترک ارائه شد و بهترین و بدترین کارایی همه واحدها شامل داده های فازی مثلثی تعیین گردید. در نهایت، شاخص نزدیکی نسبی برای کارایی فازی در سطوح مختلف محاسبه و واحدها بر اساس آن رتبه بندی شدند. از آن جایی که مدل پیشنهادی بر اساس مجموعه‌ای از وزن‌های بهینه مشترک، همه واحدها را ارزیابی می‌نماید، پراکندگی وزن‌های اختصاص داده شده به ورودی و خروجی‌ها را کاهش می‌دهد و امکان مقایسه و رتبه‌بندی تمام واحدها را بر پایه یکسان فراهم می‌آورد و این می‌تواند ارزیابی منطقی‌تری را برای واحدهای مختلف فراهم سازد. برای تحقیقات آتی می‌توان رویکرد پیشنهادی را برای مدل‌های تحلیل پوششی داده‌ها با ساختار شبکه توسعه داد.

مراجع

[1] Charnes, A., Cooper, W. W., & Rhodes, E. (1978). Measuring the efficiency of decision making units. European journal of operational research, 2(6), 429-444.

[2] Cook, W. D., Roll, Y., & Kazakov, A. (1990). A dea model for measuring the relative efficiency of highway maintenance patrols. INFOR: information systems and operational research, 28(2), 113-124.

[3] Wang, Y. M., & Luo, Y. (2006). DEA efficiency assessment using ideal and anti-ideal decision making units. Applied mathematics and computation, 173(2), 902-915.

[4] Wu, D. (2006). A note on DEA efficiency assessment using ideal point: An improvement of Wang and Luo’s model. Applied Mathematics and Computation, 183(2), 819-830.

[5] Kao, C., & Liu, S. T. (2000). Fuzzy efficiency measures in data envelopment analysis. Fuzzy sets and systems, 113(3), 427-437.

[6] Saati, S. M., Memariani, A., & Jahanshahloo, G. R. (2002). Efficiency analysis and ranking of DMUs with fuzzy data. Fuzzy optimization and decision making, 1(3), 255-267.

[7] Kao, C., & Liu, S. T. (2011). Efficiencies of two-stage systems with fuzzy data. Fuzzy Sets and Systems, 176(1), 20-35.

[8] Lozano, S. (2014). Process efficiency of two-stage systems with fuzzy data. Fuzzy Sets and Systems, 243, 36-49.

[9] Saati, S. A. B. E. R., & Memariani, A. (2005). Reducing weight flexibility in fuzzy DEA. Applied Mathematics and Computation, 161(2), 611-622.

[10] Hatami-Marbini, A., Saati, S., & Tavana, M. (2010). An ideal-seeking fuzzy data envelopment analysis framework. Applied Soft Computing, 10(4), 1062-1070.

[11] Puri, J., & Yadav, S. P. (2014). A fuzzy DEA model with undesirable fuzzy outputs and its application to the banking sector in India. Expert systems with applications, 41(14), 6419-6432.

[12] Shermeh, H. E., Najafi, S. E., & Alavidoost, M. H. (2016). A novel fuzzy network SBM model for data envelopment analysis: A case study in Iran regional power companies. Energy, 112, 686-697.

[13] Simsek, B., & Tüysüz, F. (2018). An application of network data envelopment analysis with fuzzy data for the performance evaluation in cargo sector. Journal of Enterprise Information Management.

[14] Izadikhah, M. (2019). Modelling Bank Performance: A Novel Fuzzy Two-Stage DEA Approach. Fuzzy Information and Engineering, 11(2), 149-174. 

[15] Heydari, C., Omrani, H., & Taghizadeh, R. (2020). A fully fuzzy network DEA-range adjusted measure model for evaluating airlines efficiency: a case of Iran. Journal of Air Transport Management, 89, 101923.

[16] Kazemi, S., Tavana, M., Toloo, M., & Zenkevich, N. A. (2021). A common weights model for investigating efficiency-based leadership in the russian banking industry. RAIRO-Operations Research, 55(1), 213-229.

[17] Fathi, A., & Farzipoor Saen, R. (2021) Assessing sustainability of supply chains by fuzzy Malmquist network data envelopment analysis: Incorporating double frontier and common set of weights. Applied Soft Computing 113, 107923.

[18] Tabatabaei, S., Mozaffari, M. R., Rostamy-Malkhalifeh, M., & Hosseinzadeh Lotfi, F. (2022). Fuzzy efficiency evaluation in relational network data envelopment analysis: application in gas refineries. Complex & Intelligent Systems, 1-29.

[19] Wang, Y. M., Luo, Y., & Liang, L. (2009). Fuzzy data envelopment analysis based upon fuzzy arithmetic with an application to performance assessment of manufacturing enterprises. Expert systems with applications, 36(3), 5205-5211.

[20] Bhardwaj, B., Kaur, J., & Kumar, A. (2018). A new fuzzy CCR data envelopment analysis model and its application to manufacturing enterprises. In Soft Computing Applications for Group Decision-making and Consensus Modeling (pp. 345-368). Springer, Cham.

[21] Azar, A., Zarei Mahmoudabadi, M., & Emrouznejad, A. (2016). A new fuzzy additive model for determining the common set of weights in Data Envelopment Analysis. Journal of Intelligent & Fuzzy Systems, 30(1), 61-69.

[23] Ebrahimnejad, A., & Amani, N. (2021). Fuzzy data envelopment analysis in the presence of undesirable outputs with ideal points. Complex & Intelligent Systems, 7(1), 379-400.

[24] Charnes, A., Cooper, W. W., Golany, B., Seiford, L., & Stutz, J. (1985). Foundations of data envelopment analysis for Pareto-Koopmans efficient empirical production functions. Journal of econometrics, 30(1-2), 91-107.

[25] Charnes, A. Cooper, W. W. (1962). Programming with Linear Fractional Functional. Naval Research Logistics Quarterly 9: 181-186.

 

 

 

 

1

 


Sanad

Sanad is a platform for managing Azad University publications

Links

Related Centers

Technical Support

Official pages

The rights to this website are owned by the Raimag Press Management System.
Copyright © 2021-2025

Home| Login| About Us| Contact Us|
[فارسی] [العربية] [fa] [ar]