Evaluation of Cross efficiency in secondary schools of Sarab city with the variable returns to scale and constant returns to Scale

Subject Areas : Operation Management

صبا صادقی گاوگانی ¹ , akbar valizadeh oghani ²

1 - : Department of Mathematics, Sara.C., Islamic Azad University, Sarab, Iran.
2 - Department of Management, Sara.C., Islamic Azad University, Sarab, Iran.

Received: 2025-05-30 Accepted : 2025-09-08 Published : 2025-09-15

Keywords: Data envelopment analysis, Decision making unit, cross-efficiency, return to scale.,

Abstract :

One of the main problems of DEA is the flexibility in choosing input-output weights, which leads to the selection of unfair weights. To solve this problem, the cross-efficiency method is proposed with the aim of calculating the efficiency score through peer evaluation and self-evaluation, which is also important for ranking units. The present study is applied and descriptive in nature in terms of purpose and has developed a cross-efficiency evaluation approach under fixed returns to scale and variable returns to scale in the second-cycle secondary schools of Sarab city. The required data were extracted from the opinions of experts and the school library archives in the academic year 1401-1402. GAMS software was used to analyze the data. The results show that Asbfuroshan Girls' High School was selected as the most efficient unit in terms of fixed and variable scale efficiency. In comparing the efficiency scores for all schools, we concluded that Aberghan, Shahid Ghazi, and Kalyan schools ranked second, third, and fourth, respectively, in evaluating cross-efficiency by variable-scale returns, and Shahid Ghazi, Kalyan, and Aberghan schools ranked third and fourth, respectively, in evaluating cross-efficiency by fixed-scale returns. In both cases of constant and variable returns to scale, the cross-efficiency method has almost the same results, but in most cases, the variable returns to scale method displays the ranking results more realistically and logically.

References:

Asadi, B. & Nasseri, H. & Hosseinzade-Lotfi, F. (2020). Cross-inefficiency with the Variable Returns to Scale in DEA. International Journal of Industrial Mathematics. 12, 345-355.
Badri, M. & Borzooian, S. & Mohamadian, Z. (2021). Evaluating the efficiency of education with an emphasis on resource specialization: superior efficiency (case study of the northern Khorasan education regions) Educational innovations. 80,187-208. (In Persian)
Banker, R.D. & Charnes, A. & Cooper, W.W. (1984). Some models for estimating technical and scale inefficiencies in data envelopment analysis. Management science. 30, 1078-1092.
Charnes, A. & Cooper, W.W. & Rhodes, E. (1978). Measuring the efficiency of decision making units. European journal of operational research. 2, 429-444.
Doyle, J. & Green, R. (1994). Efficiency and cross-efficiency in DEA: Derivations, meanings and uses. Journal of the operational research society. 45, 567-578.
Ganji, S.S. & Rassafi, A. & Xu, D.L. (2019). A double frontier DEA cross efficiency method aggregated by evidential reasoning approach for measuring road safety performance. Measurement. 136, 668-688.
Guo, X. & Chen, L. (2023). DEA-BWM cross efficiency target setting with preferences. Computers & Industrial Engineering. 183, 109525.
Hadi-Vencheh, A. & Khodadadipour, M. & Tan, Y. & Arman, H. & Roubaud, D. (2024). Cross-efficiency analysis of energy sector using stochastic DEA: Considering pollutant emissions. Journal of Environmental Management. 364, 121319.
Haji Hosseiny, A. & Payan, A. & Salari, A. (2020). Accurate and Imprecise Evaluation of the Relative Efficiency of the Eleventh Grade of Non-Government Schools in Sistan and Baluchestan Province Using Data Envelopment Analysis. Journal of Decision and Operational Research. 5(1), 34-47.(In Persian)
Huang, X. & Jin, H. & Bai, H. (2019). Vulnerability assessment of China's coastal cities based on DEA cross-efficiency model. International Journal of Disaster Risk Reduction. 36, 101091.
Jiang, X. & Zhan, Z. & Ren, W. & Tao, X. & Zheng, S. & Luo, M. (2025). Balancing economic and environmental strategies in regional hinterland transport: A dynamic network cross efficiency analysis. Transport Policy. 162, 128-154.
Liang, L. & Wu, J. & Cook, W.D. & Zhu, J. (2008). Alternative secondary goals in DEA cross-efficiency evaluation. International Journal of Production Economics. 113, 1025-1030.
Lim, S. & Zhu, J. (2015). DEA cross-efficiency evaluation under variable returns to scale. Journal of the Operational Research Society. 66, 476-487.
Liu, H.H. & Song, Y.Y. & Liu, X.X. & Yang, G.L. (2020). Aggregating the DEA prospect cross-efficiency with an application to state key laboratories in China. Socio-Economic Planning Sciences. 71, 100809.
Mello, J.C.C.B.S.D. & Lins, M.P.E. & Gomes, E.G. (2002). Contruction of a smoothed DEA frontier. Pesquisa operacional. 22, 183-201.
Oukil, A. (2020). Exploiting value system multiplicity and preference voting for robust ranking. Omega. 94, 102048.
Rasoulzadeh, M. & Edalatpanah, S.A. & Fallah, M. & Najafi, S.E. (2022). A multi-objective approach based on Markowitz and DEA cross-efficiency models for the intuitionistic fuzzy portfolio selection problem. Decision making: applications in management and engineering. 5, 241-259.
Sadeghi-Gavgani, S. & Zohrehbandian, M. (2014). A Cross‐Efficiency Based Ranking Method for Finding the Most Efficient DMU. Mathematical Problems in Engineering. 2014, 269768.
Sexton, T.R. & Silkman, R.H. & Hogan, A.J. (1986). Data envelopment analysis: Critique and extensions. New directions for program evaluation. 1986, 73-105.
Wu, J. & Sun, J. & Liang, L. & Zha, Y. (2011). Determination of weights for ultimate cross efficiency using Shannon entropy. Expert Systems with Applications. 38, 5162-5165.
Yang, Z. & Wei, X. (2019). The measurement and influences of China's urban total factor energy efficiency under environmental pollution: Based on the game cross-efficiency DEA. Journal of cleaner production. 209, 439-450.
Zhang, W. & Wu, X. & Shi, J. (2023). Cross efficiency model of network DEA and its application on low carbon efficiency evaluation of multimodal transport. Ocean & Coastal Management. 244, 106778.
Zhou, L. & Zhang, R. & Li, A. (2022). New concepts for bootstrap-based cross-efficiency and relative weight analysis and an application to China's governance-finance-innovation-sustainability system. Journal of Cleaner Production. 379, 134549.
Ziadi, M. & Fallah-Jelodar, M. (2015). Evaluating the efficiency and ranking of schools in Firoozkouh County using the Data Envelopment Analysis Model. Industrial Strategic Management. 37, 57-70. (In Persian)
Zohrehbandian, M. & Gavgani, S. S. (2013). Cross-efficiency evaluation under the principle of rank priority of DMUs. World Applied Sciences Journal. 21, 46-49.

Full-Text:



 

 فصلنامه مدیریت عملیات

                                            سال چهارم، شماره 14، تابستان 1403

ارزیابی کارایی متقاطع مدارس دوره دوم متوسطه شهر سراب تحت بازده به مقیاس متغیر و ثابت

تاریخ دریافت: 09/03/1404                 تاریخ پذیرش: 17/06/1404

صبا صادقی گاوگانی ¹

اکبر ولی زاده اوغانی ²*

 

چکیده:

  یکی از مشکلات اصلی تحلیل پوششی داده­ها، انعطاف­پذیری درانتخاب اوزان ورودی- خروجی است که سبب انتخاب وزن­های غیر منصفانه می­شود. در جهت حل این مساله روش­ کارایی متقاطع با هدف محاسبه نمره کارایی از طریق ارزیابی با هم­رده­ها و خود ارزیابی مطرح می­شود که این علاوه بر آن در جهت رتبه­بندی واحدها حائز اهمیت است. پژوهش حاضر از لحاظ هدف، کاربردی و با ماهیت توصیفی انجام شده است و به توسعه رویکرد ارزیابی کارایی متقاطع تحت بازده به مقیاس ثابت و بازده به مقیاس متغیر در مدارس دوره دوم متوسطه شهر سراب پرداخته است. داده­های مورد نیاز از نظرات افراد خبره و آرشیو کتابخانه­ای مدارس در سال تحصیلی 1401-1402 استخراج شده­ است. برای تجزیه و تحلیل داده­ها از نرم­افزار گمز استفاده شده است. نتایج نشان می­دهد که دبیرستان دخترانه اسبفروشان بعنوان کاراترین واحد از لحاظ بازده به مقیاس ثابت و متغیر انتخاب گردید. با مقایسه­ بین نمرات کارایی برای تمامی مدارس، به این نتیجه رسیدیم که مدارس ابرغان، شهید قاضی و کلیان در ارزیابی کارایی متقاطع توسط بازده به مقیاس متغیر و مدارس شهید قاضی، کلیان و ابرغان در ارزیابی کارایی متقاطع توسط بازده به مقیاس ثابت به­ترتیب در رتبه­های دوم، سوم و چهارم قرارگرفتند. در دو حالت بازده به مقیاس ثابت و متغیر روش کارایی متقاطع نتایج تقریبا یکسانی دارد ولی در اغلب موارد روش بازده به مقیاس متغیر، نتایج رتبه­بندی را واقعی­تر و منطقی­تری نمایش می­دهد.

واژگان کلیدي: تحلیل پوششی داده‌ها، واحد تصمیم‌گیری، کارایی متقاطع، بازده به مقیاس

1-       مقدمه

امروزه با رقابتی شدن بازار جهانی، ارزیابی عملکرد سازمان­ها جهت فرایند توسعه امری ضروری است. از طرف دیگر هر سازمانی برای ادامه حیات خود در جریان رقابت با سایر بنگاه­های موجود با توجه به رشد فزاینده تکنولوژی، موج گسترده اطلاع رسانی و توسعه خدمات متنوع همواره باید از پویایی لازم برخوردار باشد، لذا کنترل و ارزیابی مستمر فعالیت و عملکرد آن بنگاه ضرورتی اجتناب ناپذیر می‌باشد. در این رابطه شاخص‌های گوناگون و متفاوتی مورد استفاده قرار می‌گیرند که برخی از آنان عبارتند از اثر بخشی، کارایی، نوآوری، بهره‌وری و… در میان معیارهای موجود کارایی و توسعه آن اهمیت فراوانی داشته و بدون ارزیابی آن مدیران قادر به مقایسه و ارزیابی عملکرد سیستم نمی­باشند.

با توجه به اینکه مدارس به­عنوان سازمان­هایی که نقش اساسی در امر آموزش دارند و بعنوان بستری برای زیرساختهای علمی و پژوهشی هر جامعه مطرح هستند بنابراین اهمیت موضوع بیشتر نمایان می­شود و عملکرد آن­ها به­خصوص در مقطع متوسطه حائز اهمیت است، چرا که بهبود کارایی آن­ها باعث موفقیت دانش­آموزان با سطح علمی بالاتر در سیستم­های دانشگاهی و قبولی آن­ها درمراکز آموزش عالی با کیفیت بهتر و در نتیجه جذب دانش­آموزان مستعدتر برای مدارس می­شود. روش‌های متداول ارزیابی عملکرد به­ صورت سنتی و ناشیانه عمدتاً بر یک جنبه سیستم آموزشی توجه داشتند و تمامی محورهای ارزیابی حول آن متمرکز شده­اند. این طرز تفکر باعث صدمات جبران­ناپذیر بر مدارس می­شود. داشتن یک شاخص به­عنوان معیار ارزیابی باعث می­شود که واحدهای ضعیف در شاخص مورد بررسی از عملکرد خود ناامید شده و تلاشی برای افزایش آن نکنند. ولی ارزیابی با چندین معیار مسیری برای بررسی تمامی امکانات و توانایی­های سیستم را فراهم می­کند و رقابت در سیستم برای بهبود تمامی شاخص­های موجود، سبب پیشرفت چشمگیری در امر آموزش می­شود.

روش­هاي بسیاری براي اندازه­گیري کارایی وجود دارد که در مقایسه بین آنها، مدل تحلیل پوششی داده­ها روش مناسبی براي سازمان­دهی و تحلیل داده­هاست، زیرا علاوه و بر مزایای بسیاری که دارد، روشی برای ارزیابی کارایی تعداد متناهی از واحدهای تصمیم گیری متجانس در حالت چند ورودی و چند خروجی است. تحلیل پوششی داده­ها³ (DEA) یکی از ابزارهای قدرتمند مدیریتی است و با روش قدرتمندی که در دسترس دارد، قادر است مدیریت را در جهت نیل به اهداف عالی سازمان و استفاده بهینه از منابع و تخصیص آنها و در نهایت کسب سود­آوری بیشتر، یاری رساند. این تکنیک ابزاری در اختیار مدیران قرار می­دهد، تا بتوانند بوسیله آن عملکرد سازمان خود را در قبال سایر رقبا محک زنند و بر اساس نتایج آن برای آینده­ای بهتر تصمیم گیری کنند. سادگی فهم و اجرای روش و در کنار آن دقت بالا و کاربرد وسیع آن در زمینه­های مختلف اجتماعی و اقتصادی باعث شده است، محققان بسیاری از این روش برای دست یافتن به اهداف خود استفاده کنند. مدل­های تحلیل پوششی داده‌ها علاوه بر تعیین میزان کارایی نسبی، نقاط ضعف در شاخص­های مختلف را تعیین کرده و با ارائه میزان مطلوب آنها، خط مشی سازمان­ها را به سوی ارتقای کارایی و بهره‌وری مشخص می‌کند. همچنین الگوهای کارا که ارزیابی واحدهای ناکارا بر اساس آن‌ها انجام گرفته‌است به واحدهای ناکارا معرفی می‌شوند. این روش در سال 1978 توسط چارنز، کوپر و رودز⁴ با استفاده از برنامه­ریزی ریاضی غیرپارامتری فارل برای سیستمی با ورودی ها و خروجی­های چندگانه تعمیم داده شد (چارنز و همکاران، 1978). مدلی که توسط چارنز، کوپر و رودز معرفی شد به مدل CCR  معروف است، با فرض بازده به مقیاس ثابت ارائه شده و یکی از اساسی ترین مدل­های تحلیل پوششی داده­هاست. از آن زمان به بعد مطالعات زیادی در زمینه کاربرد و توسیع این روش صورت گرفت و مدل­های جدید در این زمینه ارئه شد. به عنوان نمونه، در سال 1984، بنکر، چارنز و کوپر⁵ مدل CCR را برای بازده به مقیاس متغیر بسط دادند و مدل BCC را ارائه نمودند. هر چند تحلیل پوششی داده­ها یک روش کاربردی در ارزیابی کارایی واحدهای تصمیم­گیری است، ولی ممکن است به دلیل انعطاف-پذیری بالا در انتخاب اوزان ورودی- خروجی مورد انتقاد قرار گیرد. اصلی­ترین مدل­های تحلیل پوششی داده­ها تمامی واحدهای تصمیم­گیری را در بهترین شرایط مورد بررسی قرار داده و بهترین نمره کارایی را برای هر واحد اختصاص می­دهند. مدل­ها معمولا بیش از یک واحد را به­ ­عنوان کارا انتخاب می­کنند و یا در بسیاری از مواقع در ارزیابی یک واحد تصمیم­گیری با استفاده از کارایی اولیه، اطلاعات زیادی به­دست نمی­آید و در برخی از موارد واحدهایی را کارا اعلام می­کند که حتی عملکرد ضعیف­تری نسبت به واحدهای ناکارا از نظر محاسبه­گر دارند. در این راستا در سال­های اخیر تلاش­های زیادی برای رفع نواقص روش­های تحلیل پوششی داده­ها صورت گرفته است.

کارایی متقاطع به­عنوان ابزاری مهم در گسترش تحلیل پوششی داده­ها مورد استفاده  قرار می­گیرد که واحدهای تصمیم­گیری با بهترین عملکرد را نشان داده و رتبه­بندی کاملی را نیز ارائه می­دهد. روش کارایی متقاطع اولین بار توسط سکستون و همکاران تحت بازده به مقیاس ثابت تعریف شد (سکستون⁶ و همکاران، 1986)، سپس روش کارایی متقاطع توسط لیم و همکارش برای مدل­های با بازده به مقیاس متغیر توسعه داده شد (لیم و زو⁷، 2015). از مزیت­های این روش مقایسه وضعیت عملکرد هر واحد نسبت به واحدهای دیگر است. در نتیجه نمره کارایی که به دست می­آید، نسبت به روش­های قبلی واقعی­تر است. مهمترین مزیت این روش ارائه یک رتبه­بندی کامل برای تمامی واحدهای تصمیم­گیری است که می­توان براساس نمره کارایی انجام داد و کاراترین واحد را در یک سیستم مشخص نمود. در این راستا کارایی متقاطع با بازده به مقیاس متغیر به دلیل محاسبه اوزان واقعی تر و منطقی­تر مورد توجه قرار می­گیرند. باید به این نکته نیز توجه نمود که تنها ارائه یک مدل رتبه­بندی برای یک تحقیق عملی کافی نیست و از بین روش­های موجود باید آن گزینه را انتخاب نمود که همیشه شدنی باشد محاسبات بسیار سنگین نداشته و برای گروه­های مختلف قابل درک باشد. روش کارایی متقاطع به­خصوص در حالت بازده به مقیاس متغیر علاوه بر کیفیت نمره کارایی تمامی خواص ذیل را دارد.

باتوجه به اینکه تحقیقات بسیار کمی در مورد ارزیابی و رتبه­بندی سیستم­های آموزشی با روشهای علمی انجام شده و اغلب آن­ها در مقطع متوسطه صورت نگرفته و تعداد محدودی از آنها با روش­های کلاسیک اجرا شده است و روش کارایی متقاطع در تحلیل پوششی داده‌ها تحت بازده به مقیاس ثابت و متغیر از کاربردی‌ترین روش‌های سنجش کارایی نسبی می­باشد، از این مدل برای بررسی عملکرد مدارس دوره متوسطه شهرستان سراب از لحاظ کارایی، برای یافتن بهترین واحد کارای متقاطع استفاده شده است. بر این اساس، ما در این کار تحقیقی به دنبال یافتن جواب به این سوال هستیم که، مدارس کارا و ناکارا با بازده به مقیاس ثابت و متغیر کدام است؟ و میزان نمره کارایی متقاطع با بازده به مقیاس ثابت و متغیر برای مدارس چقدر است؟ و کدام مدارس شهر سراب با استفاده از کارایی متقاطع کاراتر هستند؟

2-       پیشینه پژوهش

تحلیل پوششی داده‌ها شامل تکنیک‌هایی برای ارزیابی کارایی و سنجش بهره‌وری واحدهای تصمیم‌گیری است. در راستای بالا بردن توانایی‌های مختلف مدل‌های  آن، تحقیقات بسیاری برای رتبه‌بندی واحدهای تصمیم‌گیری صورت گرفته است. در این زمینه مقالات متنوعی وجود دارد که هر یک روش رتبه‌بندی متفاوتی را برای مجموعه‌ای از داده‌ها بکار گرفته‌اند. با توجه به تمایل رو به رشد تصمیم‌گیرنده‌ها و عوامل اجرایی به رتبه‌بندی کلی واحدها، یک مجموعه‌ی جامع از روش‌های رتبه­بندی می‌تواند نقش بسزایی در سرعت و دقت انتخاب مدیران و مجریان داشته باشد. به طوری که هر تصمیم­گیری می‌تواند با توجه به فرایند جاری و واحدهای تحت ارزیابی، روشی از روش‌های رتبه­بندی را طوری انتخاب کند که واحدهای مدنظر به صورت جامع‌تر و با دقت بیشتری متمایز شوند. روش رتبه‌بندی کارایی متقاطع از اندازه‌ی کارایی ارزیابی برای رتبه‌بندی واحدها استفاده می‌کند. یکی از مزایای این روش، رتبه بندی واحد ها به صورت منحصر به فرد و کامل است. علاوه بر این، از وزن‌های غیرواقعی که باعث محدودیت وزنی از پیش تعیین شده می‌شوند جلوگیری می­کند (وو ⁸و همکاران، 2011).

سکستون و همکاران (1986) برای اولین بار ایده روش کارایی متقاطع و همچنین نمره کارایی برای این روش را ارائه دادند. در این روش واحدها هم با خود و هم با دیگر واحدها ارزیابی می‌شوند. بنابراین در ارزیابی هر واحد تصمیم‌گیری، نه فقط وزن‌های خود واحد بلکه وزن‌های سایر واحدها با هم تلفیق می‌شوند تا روی هم رفته مقدار کارایی حاصل شود. گسترش این تکنیک در کاربردهای مختلف، کاربردی و عملی بودن این روش را در حوزه‌های مختلف نشان داده است. لیم و همکارش (2015) تحلیل کلی از کارایی متقاطع زمانی که بازده به مقیاس متغیر می­باشد ارائه دادند. گنجی و همکاران (2019) یک روش کارایی متقاطع مرزی دوگانه برای اندازه گیری عملکرد ایمنی جاده‌ها پیشنهاد کردند. آنها برای ارزیابی عملکرد ایمنی جاده‌ای ایران با پیشنهاد یک مدل کارایی متقاطع دو مرزی جدید از دیدگاه های خوش بینانه و بدبینانه به طور همزمان استفاده کردند. هوانگ⁹ و همکاران (2019) یک روش ارزیابی آسیب‌پذیری سوانح شهری ساحلی را بر اساس مدل‌های کارایی متقاطع پیشنهاد دادند. تحلیل آنها یک مرجع راهنما و روش شناختی برای شهرهای ساحلی چین به منظور بهبود توانایی این شهرها برای جلوگیری و کاهش بلایای طبیعی و بالا بردن فرصت‌های سرمایه گذاری فراهم کرد. یانگ¹⁰ و همکاران (2019) نیز به ارزیابی بهره‌وری انرژی شهری پرداختند. آنها با تاکید بر این نکته که نادیده گرفتن روابط رقابتی بین مناطق منجر به بهره وری انرژی نادرست می شود، یک رویکرد تحلیل پوششی داده‌های کارایی متقاطع بازی، که می‌تواند روابط رقابتی را در نظر بگیرد، معرفی کردند. آنها با اعمال رویکرد پیشنهادی خود بر روی 26 شهر در سطح استانی چین از سال 2005 تا 2015 تحت محدودیت های زیست محیطی نشان دادند که بهره‌وری انرژی شهری با توجه به رابطه رقابتی پایین‌تر از بهره‌وری محاسبه شده سنتی است. لیو¹¹ و همکاران (2020) با استفاده از روش کارایی متقاطع، رویکردی را برای ارزیابی آزمایشگاه های کلیدی دولتی در چین ارائه کردند. آنها از رویکرد تجمیع کارایی متقاطع تحلیل پوششی داده‌ها که شامل ترجیحات ریسک‌پذیری تصمیم گیری است، برای ارزیابی عملکرد 22 بخش اداری در مورد مدیریت آزمایشگاه‌های کلیدی دولتی چین استفاده کردند. رسول زاده و همکاران (2022) از یک تئوری چند هدفه که ریشه در روش کارایی متقاطع داشت، را برای مسائل انتخاب سبد سهام استفاده کردند و در این زمینه مدلی را پیشنهاد کردند که برای انتخاب بالاترین بازده سرمایه­گذاری در 50 شرکت در بورس اوراق بهادار تهران اجرا شد. ژانگ¹² و همکاران (2023)، کارایی متقاطع را وارد تحلیل پوششی داده­ها در شبکه کرده و عملکرد ترکیبی تولید برق و سیستم انتقال را در نظر گرفته اند. در حوزه آماری ژو¹³ و همکاران (2022)، با اشاره به این نکته که در مورد مجموعه داده های کوچک (یا متوسط)، تعداد نمونه های محدودی وجود دارد و در چنین زمینه هایی، روش کارایی متقاطع به سختی می تواند برای آزمون های آماری استفاده شود، یک روش جدید بوت استرپ کارایی متقاطع را معرفی کردند. ژانگ و همکاران (2023) به منظور ارزیابی کارایی کم کربن حمل و نقل چند منظوره، یک روش کارایی متقاطع برای ساختارهای پیچیده شبکه از دیدگاه منصفانه پیشنهاد کرده و حمل و نقل بین المللی راه آهن و آب چین را برای تحقیق انتخاب کردند. ونچه و همکاران (2024)، در مبحث انرژی تحلیل پوششی داده­های تصادفی و مدل­های کارایی متقاطع با خروجی­های نامطلوب را برای اندازه­گیری و مقایسه بازده انرژی در نیروگاه­های حرارتی استفاده کردند. زیانگ¹⁴ و همکاران (2025)، از کارایی متقاطع شبکه ای پویا جهت ارزیابی کارایی با الویت زیست محیطی برای سیستم حمل و نقل داخلی که شامل دریایی، جاده­ای و راه آهن است، استفاده کردند.

در جهت بهبود نمره کارایی متقاطع تحقیقات بسیاری انجام شده است که این نشان از جذابیت و توانایی این روش می­باشد. دویل و گرین¹⁵ (1994)، مدل سکستون و همکاران را گسترش داده و دو مدل را در حالت­های خوشبینانه و بدبینانه ارائه دادند. لیانگ¹⁶ و همکاران (2008) با توسعه کار دویل و گرین هدف­های ثانویه متفاوتی را بیان کردند و سپس آن­ها را با اهداف ثانویه­ای که در گذشته بیان شده بود مقایسه کردند. مللو¹⁷ و همکاران (2002)، رخ داد واحدهایی که کارایی منفی را در ماتریس ارزیابی متقاطع ایجاد کردند برای رتبه بندی در نظر گرفته نشدند را بررسی کردند. زهره­بندیان و صادقی (2013)، مدلی را براساس برنامه ریزی خطی صحیح صفر و یک تحت عنوان هدف ثانویه ارائه دادند و از آن برای محاسبه نمره کارایی متقاطع استفاده کردند. صادقی و زهره­بندیان (2014)، مدلی را برای محاسبه کارایی متقاطع با بازده به مقیاس متغیر ارائه دادند و از آن برای محاسبه نمره کارایی متقاطع با بازده به مقیاس متغیر استفاده کردند و کاراترین واحد را به دست آوردند. اسدی و همکاران (2020)، از یک تفسیر هندسی کارایی متقاطع استفاده کرده و سعی کردند به مشکل کارایی متقاطع منفی رسیدگی کنندو اوکیل¹⁸ (2020)، در مورد بهره برداری از تعدد نظام ارزشی و رأی ترجیحی برای رتبه بندی قوی با استفاده از کارایی متقاطع پرداخت. گو و همکارش در پژوهشی جدید به بررسی تعین هدف در کارایی متقاطع پرداختند (جئو و چن¹⁹، 2023).

3-       روش شناسی تحقیق

 با توجه به اینکه یافته‌های حاصل از این تحقیق به منظور بهبود کارایی مدارس دوره دوم متوسطه مورد استفاده عملی قرار می­گیرد، بنابراین بر اساس هدف، از نوع کاربردی محسوب می­شود. همچنین بر اساس ماهیّت انجام کار از نوع توصیفی و بصورت نیمه تجربی می‌باشد. مراحل انجام تحقیق به صورت، تعیین هدف، مطالعه مقدماتی، طراحی، توزیع و جمع آوری پرسش نامه، تجزیه و تحلیل اطلاعات می­باشد. برای مطالعه مبانی نظری تحقیق از روش کتابخانه‌ای و به منظور جمع‌آوری داده‌ها جهت پاسخ به سوألات تحقیق از روش میدانی بهره گرفته شده است. جامعه آماری مدارس متوسطه دخترانه و پسرانه شهر سراب را شامل می­شود که در سال تحصیلی 1401-1402 فعال بوده‌اند و تعداد آن­ها 14 مدرسه بوده که همه آن­ها با روش کل شماری بعنوان نمونه در نظر گرفته شده­اند. پاسخگویان به پرسشنامه عوامل موثر بر عملکرد و کارایی نسبی مدارس متوسطه دوره دوم شامل 14 مدیر و 36 معاون بوده است. از اطلاعات پرسش­نامه، چک لیست و همینطور از نظرات مدیران و معاونین مدارس و اداره آموزش و پرورش شهرستان سراب بعنوان خبره برای مقایسات اهمیت سنجی کارایی نسبی مدارس دوره دوم متوسطه استفاده شده است. در مورد انتخاب روشی برای محاسبه کارایی و رتبه‌بندی باید به این نکته نیز توجه نمود که تنها ارائه یک مدل رتبه­بندی برای یک تحقیق عملی کافی نیست و از بین روش­های موجود باید آن گزینه را انتخاب نمود که اولا شدنی باشد و ثانیا محاسبات پیچیده ای نداشته و برای گروه­های مختلف قابل درک باشد. روش کارایی متقاطع به­خصوص در حالت بازده به مقیاس متغیر علاوه بر کیفیت نمره کارایی تمامی خواص ذیل را دارد. برای همین منظور روش کارایی متقاطع استفاده شده است. در روش تحلیل پوششی داده‌ها از مدل‌های CCR و BCC ورودی محور استفاده و به منظور دستیابی به رتبه‌بندی کامل واحدها، نمره کارایی با روش کارایی متقاطع تحت بازده به مقیاس ثابت و بازده به مقیاس متغیر ورودی محور به صورت مجزا برای هر مدرسه محاسبه می­شود. برای هر کدام از مدلهای رتبه‌بندی مدلی مجزا حل شده و در راستای آن محاسباتی انجام می‌شود.

 مدل­های اساسی تحلیل پوششی داده­ها:

 مدل  CCR : اولین مدل تحليل پوششی داده­ها CCR نام دارد (چارنز و همکاران، 1978) مبنای شكل­گيری این مدل، تعريف كارایی از نسـبت مجمـوع مـوزون خروجی­ها به مجموع موزون ورودی­ها استفاده می­شود و دارای بازده ثابت به مقیاس است و با حل مدل وزن‌های بهینه، برای متغیرهای ورودی و خروجی واحد تحت بررسی به­دست می­آید. با فرض اینکه n واحد تصمیم گیری داشته باشیم بطوری که هر واحدی مانند DMUj بردار ورودی  را برای تولید بردار خروجی  مصرف کند مدل کسری CCR   بصورت مدل (1) تعریف می‌شود.

(1)

در این مدل ur وزن خروجی r ام، vi وزن ورودی iام و O نـماد واحــد تحــت بررســی اســت. اگر  جواب بهینه مدل (1) برای DMUo باشند اندازه‌ی کارایی واحد تحت اریابی بصورت زیر تعریف می­شود:

 

  با ثابت نگه داشتن مخرج تابع هدف و با استفاده از تبدیلات چارنز-کوپر مدل کسری (1) به مدل خطی (2) تبدیل می‌شود که به مدل مضربی CCR در ماهیت ورودی محور معروف است.

(2)

از حل مدل (2) مقدار كارايي نسبي واحد DMUo  بدست مي‌آيد.  واحد تحت ارزیابی كارا است اگر و فقط اگر جواب بهین یک باشد.

مدل BCC : فرم کسری مدل BCC در ماهیت ورودی به صورت مدل (3) می­باشد (بنکرو همکاران، 1984):    

                       (3)

اگر  جواب بهینه مدل (3) برای DMUo باشند اندازه‌ی کارایی واحد تحت ارزیابی بصورت :

 

می‌باشد. با استفاده از تبدیلات چارنز-کوپر مدل کسری فوق به مدل خطی (4) تبدیل می‌شود. 

(4)               

کارایی متقاطع با فرض بازده به مقیاس ثابت: 

سکستون و همکاران (1986)، روشی را برای رتبه­بندی واحدها، تحت عنوان کارایی متقاطع معرفی کردند. این روش بر پایه‌ی این ایده استوار است که واحدها با خود و با دیگر واحدها ارزیابی شوند. بنابراین در ارزیابی هر واحد تصمیم‌گیری، نه فقط وزن‌های خود واحد بلکه وزن‌های سایر واحدها با هم تلفیق می‌شوند تا روی هم رفته مقدار کارایی حاصل شود. با حل مدل کسری  (1) و با فرض اینکه  جواب‌های بهینه‌ی این مدل باشند، اندازه کارایی DMUo بصورت  محاسبه می‌شود. روش کارایی متقاطع از جواب‌های بهینه‌ی مدل کسری (1)(یا به صورت معادل مدل(2)) برای محاسبه‌ی اندازه‌ی کارایی سایر واحدها استفاده می‌کند. بدین طریق که با فرض اینکه  مجموعه وزن‌های بهینه‌ی واحد o-ام حاصل شده از مدل (1) باشد در اینصورت اندازه‌ی کارایی واحدها متناظر با این وزن‌ها بصورت   نشان داده می‌شود که از رابطه‌ی زیر بدست می‌آید:

در آخر با حل مدل (1) برای تمام واحدها، شاخص کارایی برای واحد j-ام با میانگین­گیری بصورت زیر حاصل می‌شود:

(5)

کارایی متقاطع با فرض بازده به مقیاس متغیر(لیم و ژو، 2015): با حل مدل کسری ورودی محور BCC مدل (3) و با فرض اینکه  جواب‌های بهینه‌ی این مدل باشند، اندازه کارایی DMUo بصورت  محاسبه می‌شود.  مجموعه وزن‌های بهینه‌ی واحد o-ام حاصل شده از مدل (3) یا به صورت معادل مدل(4) باشد در اینصورت اندازه‌ی کارایی واحدها متناظر با این وزن‌ها بصورت   نشان داده می‌شود که از رابطه‌ی زیر بدست می‌آید:

(6)

  و با میانگین­گیری با استفاده از رابطه (6) کارایی متقاطع واحد تحت ارزیابی با بازده به مقیاس متغیر به­دست می­آید.

4-       یافته‌های پژوهش

شناسایی شاخص‌های مربوط به محاسبه کارایی

 در این تحقیق برای شناسایی شاخصها از دو منبع استفاده شده است. ابتدا تعدادی از شاخص­ها با مطالعه مبانی نظری، تحقیقات قبلی دیگران (بدری، برزویان، محمدیان، 1400)، (حاجی حسینی، پایان، سالاری، 1399)، (زیادی، فلاح جلودار، 1394) و نیز تعدادی از آن­ها با بهره‌گیری از نظرات معاونان اداره و مدیران مدارس شناسایی شدند که در نهایت تعداد 18 شاخص طبق جدول (1) انتخاب شدند که بر عملکرد مدارس متوسطه دوم شهر سراب موثر هستند. 

در این راستا، ابتدا پرسشنامه‌اي تهيه و با مراجعه به مديريت دبيرستان‌های شهر سراب، این پرسشنامه­ها تکميل شدند. با توجه به نظرات مدیران و معاونان این مدارس، 9 شاخص اصلی (جدول2) که درجه اهمیت آنها از همه شاخص‌ها بیشتر بود برای سنجش کارایی انتخاب و در تجزیه و تحلیل فرآیند از آنها استفاده شده است. جدول‌ (2) متغیرهای تحقیق را به ترتیب در قالب متغیرهای ورودی و خروجی برای مدل کارایی نسبی نشان می‌دهد که با توجه به ماهیت هر شاخص در هر کدام از جدول دسته‌بندی شده است.

جدول 1. شاخص­های اصلی

(7)

ردیف		عوامل موثر
1	میزان بودجه‌ای که چه از طریق اداره و یا شهریه مدرسه دریافت کرده و صرف هزینه می‌کند
2	تعداد دانش‌آموزان قبول شده در دانشگاه­ها
3	تعداد دانش‌آموزانی که معدل بالای 17 دارند
4	تعداد دانش‌آموزان سال سوم که معدل بالای 15 دارند
5	فضای آموزشی مدرسه (زیر بنا)
6	تعداد سیستم‌های بهداشتی
7	تعداد دبیران با تحصیلات بیش از کارشناسی
8	تعداد کادر اداری
9	تعداد دبیرانی که طرح درس سالیانه، بخشنامه‌ها و سرفصل را رعایت می‌کنند
10	تعداد دانش‌آموزان قبول شده در المپیادهای علمی
11	تعداد کلاس‌های تقویتی و کنکوری برای جلوگیری از افت تحصیلی
12	تعداد امکانات از جمله: سایت‌های اینترنتی، کتابخانه‌ها، سایت کامپیوتری، نمازخانه، باشگاه ورزشی و سالن همایش
13	تعداد اردوهای تفریحی آموزشی در سال
14	تعداد ارزشیابی و آزمون‌های شبیه‌سازی کنکور برای کلاس‌های یازدهم و دوازدهم در سال
15	تعداد دانش‌آموزانی که ارزیابی عملکرد آنها در عملکرد اداره آموزش و پرورش از حد متوسط بیشتر است
16	امتیازی که از ارزیابی سالانه کارکنان به دست آمده است
17	تعداد دبیرانی که رشته تحصیلی و درسی که تدریس می‌کنند تناسب دارند
18	تعداد کلاس‌های آموزشی (حضوری-الکترونیکی) در مدرسه

جدول 2. شاخص‌های منتخب تحقیق در قالب ورودی و خروجی

در جدول(3) هر مدرسه بعنوان یک واحد تصمیم گیری تحت ارزیابی (DMU) در نظر گرفته شده است و برای تمامی مدارس 9 شاخص یکسان در قالب 14 واحد تصمیم‌گیری شامل 4 ورودي و 5 خروجي مورد بررسی قرار گرفته­اند و داده­های خام از مدارس اخذ شده­اند.

جدول 3. داده‌های خام ورودی و خروجی برای واحدها

شاخص‌های منتخب	نوع شاخص	نماد
میزان بودجه‌ای که چه از طریق اداره و یا شهریه مدرسه دریافت کرده و صرف هزینه می‌کند	ورودی
فضای آموزشی مدرسه (زیر بنا)	ورودی
تعداد دبیران با تحصیلات بیش از کارشناسی	ورودی
تعداد دبیرانی که طرح درس سالیانه، بخشنامه‌ها و سرفصل را رعایت می‌کنند	ورودی
تعداد دانش‌آموزان قبول شده در دانشگاه‌ها	خروجی
تعداد دانش‌آموزانی که معدل بالای 17 دارند	خروجی
تعداد دانش‌آموزان سال سوم که معدل بالای 15 دارند	خروجی
تعداد دانش‌آموزانی که ارزیابی عملکرد آموزش و پرورش از حد متوسط بیشتر است	خروجی
امتیازی که از ارزیابی سالانه کارکنان به دست آمده است	خروجی

بعد از جمع­آوری داده­ها با توجه به اینکه شاخص‌های مورد استفاده کمی هستند و برخی بسیار بزرگ و برخی بسیار کوچک هستند و همچنین شاخص­های مثبت و منفی نیز وجود دارند و واحدهای اندازه­گیری نیز یکسان نیست به منظور قابل مقایسه شدن مقیاس‌های مختلف اندازه‌گیری، باید از بی‌مقیاس سازی یا نرمال سازی استفاده شود. در این مطالعه به دلیل وجود شاخص­های منفی و مثبت از بی‌مقیاس سازی نورم دو برای نرمال سازی اطلاعات استفاده شده است (جدول4).

جدول 4. داده‌های ورودی و خروجی بی‌مقیاس شده

DMUs
DMU1(زهرا مردانی­آذر)د	20000000	1222	7	14	40	37	21	20	100
DMU2(خدیجه کبری)د	25000000	1150	6	15	35	34	20	17	99
DMU3(فدک)د	22000000	1250	8	15	30	36	25	18	100
DMU4 (استعدادهای درخشان)د	26000000	1230	6	14	35	41	19	31	100
DMU5(امام خمینی) پ	21000000	1180	8	15	31	43	16	15	100
DMU6(ابن سینا) پ	24000000	1250	7	14	28	31	22	20	99
DMU7(چمران) پ	28000000	1320	8	15	34	42	31	30	100
DMU8(امام رضا) پ	22000000	1220	7	14	30	29	33	31	99
DMU9(قاضی) پ	25000000	1120	5	14	28	30	40	25	100
DMU10(کلیان) پ	15000000	1200	3	14	29	30	35	20	100
DMU11(اسب فروشان) پ	20000000	1180	4	14	31	35	40	15	100
DMU12(بیجند) پ	18000000	1250	6	13	33	20	25	16	99
DMU13(ابرغان) پ	15000000	1300	5	14	29	18	16	25	100
DMU14(اسبفروشان) د	22000000	1100	5	12	31	25	29	39	100

به منظور دستیابی به کارایی نسبی واحدها، مدل‌های تحلیل پوششی داده­ها تحت بازده به مقیاس ثابت (CRS) و بازده به مقیاس متغیر (VRS) روي داده‌هاي جدول‌ (4) بکار گرفته شده‌اند. براي انجام کليه محاسبات، از برنامه نرم افزاري GAMS استفاده شده است.

 

جدول 5. نمره کارایی با چهار مدل و رتبه بندی(پارانتز)

DMU
D1	2434/.	2691/0	2993/0	2655/0	3353/0	2992/0	2024/0	2221/0	2680/0
D2	3042/0	2532/0	2565/0	2844/0	2934/0	2750/0	1928/0	1887/0	2653/0
D3	2677/0	2752/0	3421/0	2844/0	2515/0	2911/0	2410/0	1999/0	2680/0
D4	3164/0	2708/0	2565/0	2655/0	2934/0	3316/0	1831/0	3442/0	2680/0
D5	2555/0	2598/0	3421/0	2844/0	2599/0	3477/0	1542/0	1665/0	2680/0
D6	2921/0	2752/0	2993/0	2655/0	2347/0	2507/0	2120/0	2221/0	2653/0
D7	3407/0	2906/0	3421/0	2844/0	2850/0	3396/0	2988/0	3331/0	2680/0
D8	2677/0	2686/0	2993/0	2655/0	2515/0	2345/0	3181/0	3442/0	2653/0
D9	3042/0	2466/0	2138/0	2655/0	2347/0	2426/0	3855/0	2776/0	2680/0
D10	1825/0	2642/0	1283/0	2655/0	2431/0	2426/0	3374/0	2221/0	2680/0
D11	2434/0	2598/0	1710/0	2655/0	2599/0	2830/0	3855/0	1665/0	2680/0
D12	2190/0	2752/0	2565/0	2465/0	2767/0	1617/0	2410/0	1776/0	2653/0
D13	1825/0	2862/0	2138/0	2655/0	2431/0	1456/0	1542/0	2776/0	2680/0
D14	2677/0	2422/0	2138/0	2276/0	2599/0	2022/0	2795/0	4330/0	2680/0

DMUs	کارآیی CCR	کارایی BCC	کارایی متقاطع تحتCRS	کارایی متقاطع تحتVRS
DMU01	0.8460	0.8938	0.7189 (13)	0.503  (13)
DMU02	0.8890	0.9225	0.787 (10)	0.6079 (10)
DMU03	0.8590	0.8732	0.7755 (11)	0.6573 (8)
DMU04	0.7813	0.8562	0.7367 (12)	0.5805 (11)
DMU05	0.8915	0.9129	0.7913 (9)	0.6354 (9)
DMU06	0.9322	1	0.837 (8)	0.7884 (6)
DMU07	0.7191	0.787	0.667 (14)	0.5049 (12)
DMU08	0.9036	0.9067	0.8313 (7)	0.7702 (7)
DMU09	1	1	0.9383 (2)	0.8795 (3)
DMU10	1	1	0.9274 (3)	0.8739 (4)
DMU11	0.9414	0.9601	0.8627 (6)	0.2619 (14)
DMU12	1	1	0.8849 (5)	0.851 (5)
DMU13	1	1	0.9173 (4)	0.9361 (2)
DMU14	1	1	0.9929 (1)	0.992 (1)

اطلاعات ستون دوم جدول (5) حاکی از آن است که واحدهای 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8 و 11 ناکارا و واحدهای 9، 10، 12، 13 و 14 کارا تحت بازده به مقیاس ثابت (CRS) هستند. با استفاده از نمره کارایی می­توان واحدهای ناکارا را رتبه­بندی نمود ولی برای واحدهای کارا این نمره کارایی نمی­تواند رتبه­بندی کاملی انجام دهد و کاراترین واحد را انتخاب نماید. به منظور رتبه‌بندی کامل واحدها ملزم به استفاده از روش‌های رتبه‌بندی هستیم که در این مطالعه از روش‌ کارایی متقاطع استفاده شده است تا بلکه بتوان با استفاده از نمره کارایی متقاطع رتبه­بندی کاملی ارائه نمود. ابتدا با استفاده از اطلاعات جدول (4) برای واحد تحت ارزیابی و تمامی اوزانی که از مدل CCR کلاسیک (مدل(2)) به­دست آمده به محاسبه فرمول (5) می­پردازیم و با میانگین­گیری طبق فرمول(6) نمره کارایی برای واحد مورد نظر به­دست می­آید. این روش را برای تمامی واحدها انجام می­دهیم. اطلاعات ستون چهارم جدول (5) حاکی از آن است که این روش با موفقیت قادر به رتبه­بندی کامل می­باشد. نتایج حاصل از ستون چهارم جدول(5) نشان می‌دهد که مدل BCC نیز نتوانسته تمام واحدها را رتبه‌بندی کند. به­دست آوردن کاراترین واحد امری غیر ممکن به­نظر می­رسد زیرا واحدهای 1، 2، 3، 4، 5، 7، 8 و 11 ناکارا و واحدهای 6، 9، 10، 12، 13 و 14 کارا هستند. با استفاده از  کارایی متقاطع تحت بازده به مقیاس متغیر بر روی اطلاعات جدول (4) و تمامی اوزانی که از مدل BCC (مدل4) به­دست آمده و با محاسبه  فرمول (7) برای تمامی واحدهای تصمیم گیری و با میانگین­گیری طبق فرمول(6) نمره کارایی حاصل می­شود ستون پنجم جدول (5) نمره کارایی متقاطع با بازده به مقیاس متغیر را نشان می­دهد.

ستون دوم جدول (5) نشان می‌دهد که تحت مدل CCR، مدارس، قاضی، کلیان، بیجند، ابرغان و دخترانه اسبفروشان مدارسی کارا شناسایی شده و همگی در رتبه‌ی یک قرار دارند. در حالی که مدارس، زهرا مردانی آذر، خدیجه کبری، فدک، استعدادهای درخشان، امام خمینی، ابن سینا، چمران، امام رضا و پسرانه اسبفروشان، مدارسی ناکارا ارزیابی شدند. ستون سوم جدول (5) نشان می‌دهد که تحت مدل BCC، مدارس ابن سینا، قاضی، کلیان، بیجند، ابرغان و دخترانه اسبفروشان مدارسی کارا شناسایی شده و همگی در رتبه‌ی یک قرار دارند. در حالی که مدارس، زهرا مردانی آذر، خدیجه کبری، فدک، استعدادهای درخشان، امام خمینی، چمران، امام رضا و پسرانه اسبفروشان، مدارسی ناکارا ارزیابی شدند. با توجه به نقص مدل‌های CCR و BCC در تمییز کامل مدارس، نتایج رتبه‌بندی حاصل از بکارگیری مدلهای کارایی متقاطع تحت بازده به مقیاس ثابت و تحت بازده به مقیاس متغیر ، به ترتیب در ستون‌های چهارم و پنجم جدول (5) نشان داده شدند. نتایج حاصل به شرح زیر است.

رتبه‌بندی حاصل از بکارگیری مدل کارایی متقاطع تحت بازده به مقیاس ثابت به ترتیب، دخترانه اسبفروشان، قاضی، کلیان، ابرغان، بیجند، پسرانه اسبفروشان، امام رضا، ابن سینا، امام خمینی، خدیجه کبری، فدک، استعدادهای درخشان، زهرا مردانی آذر، چمران هستند. رتبه‌بندی حاصل از بکارگیری مدل کارایی متقاطع تحت بازده به مقیاس متغیر به­ترتیب، دخترانه اسبفروشان، ابرغان، قاضی، کلیان، بیجند، ابن سینا، امام رضا، فدک، امام خمینی، خدیجه کبری، استعدادهای درخشان، چمران، زهرا مردانی آذر، پسرانه اسبفروشان می­باشند. در مدل کارایی متقاطع تحت بازده به مقیاس ثابت مدرسه‌های دخترانه اسبفروشان و چمران به ترتیب بهترین و بدترین عملکرد را دارند. در حالی که در مدل کارایی متقاطع تحت بازده به مقیاس متغیر مدرسه‌های دخترانه اسبفروشان و پسرانه اسبفروشان به ترتیب بهترین و بدترین عملکرد را دارند. با این نتایج، مدرسه دخترانه اسبفروشان تحت هر دو مدل کارایی متقاطع به عنوان بهترین مدرسه شناسایی شده است.

نتایج نشان می‌دهند که واحدهای کارای مدل‌های سنتی در مدل‌های کارایی متقاطع نیز همچنان در رتبه‌های بالایی قرار دارند. 5 واحدی که در هر دو مدل سنتی کارا بودند در مدل‌های کارایی متقاطع نیز در رتبه‌های اول تا پنجم هستند. مدرسه ابن سینا تحت مدل BCC کارا و تحت مدل CCR ناکارا بود. در مدل کارایی متقاطع تحت بازده به مقیاس ثابت در رتبه هشتم و مدل کارایی تحت بازده به مقیاس متغیر در رتبه ششم قرار گرفت. دبیرستان امام رضا در مدلهای سنتی ناکارا بود ولی در مدل­های کارایی متقاطع در وضعیت بهتری نسبت به واحدهای کارا قرار دارد و عملکرد بهتری را نسبت به جایگاه خود در مدل‌های سنتی دارد و دلیل این است که اگر هر واحد با وزن واحدهای دیگر نیز مورد آزمون قرار می­گیرد شرایط منصفانه­تری را دارا می­شود و در شرایطی واحدهای ناکارا در رتبه­های بهتری قرار می­گیرند که این حالت در رتبه­بندی مدارس شهر سراب نیز کاملا دیده می­شود. نتایج حاکی از آن است که بازده‌ به مقیاس‌های متفاوت نتایج کمی متفاوتی خواهند داشت و انتخاب روش بستگی به اهداف تصمیم­گیرنده خواهد داشت. با توجه به ویژگی‌های مجموعه امکان تولید CCR و BCC، واحدی که در CCR کارا باشد حتما در BCC نیز کاراست. همانطور که از ستون‌های دوم و سوم جدول (5) برمی‌آید مدارس قاضی، کلیان، بیجند، ابرغان و دخترانه اسبفروشان که در CCR کارا بودند در BCC نیز کارا شناسایی شدند. از طرف دیگر، با توجه به مرز BCC تعداد واحدهای کارای BCC بیشتر از تعداد واحدهای کارای CCR است. لذا، مدرسه ابن سینا که در CCR ناکارا بود در BCC کارا شناسایی شد. با بکارگیری مدل‌های کارایی متقاطع، تمامی مدارس رتبه بندی شدند و نتایج نشان می­دهد که مدارسی که از نظر امکانات در سطح بهتری قرار داشتند در رتبه­بندی، جایگاه خوبی به­دست نیاوردند یعنی از امکانات داده شده در سطح مطلوب استفاده نکرده­اند.

5- بحث و نتیجه­گیری

برای دستیابی به توسعه، مخصوصا در بخش آموزش پایه­ای، با توجه به اینکه مدارس منابع و امکانات محدود در اختیار دارند ولی می­تواند از اهداف مهم هر کشوری جهت تدوین برنامه‌های توسعه و ترقی به شمار می‌رود و مفهوم ارتقاء کارایی از مهم‌ترین دغدغه‌های ذهنی سیاست‌گذاران و مسئولان می­باشد. در این پژوهش به شناسایی و اولویت­بندی عوامل موثر بر عملکرد مدارس دخترانه و پسرانه متوسطه دوم شهر سراب از لحاظ کارایی نسبی در سال تحصیلی 1401-1402 و در تعداد 14 مدرسه پرداخته شد. نتایج نشان می­دهد از طریق انجام مصاحبه، پرسشنامه و همچنین مطالعات نظری به تعداد 9 شاخص اصلی که درجه اهمیت آنها از همه شاخص‌ها بیشتر بود، بعنوان مهمترین عوامل موثر بر عملکرد مدارس دخترانه و پسرانه شناسایی و انتخاب شدند و در تجزیه و تحلیل و محاسبه کارایی از آنها استفاده شد. این شاخص­ها عبارتند از: میزان بودجه‌ (چه از طریق اداره و یا شهریه مدرسه و یا خیرین دریافت می­گردد.)، فضای آموزشی مدرسه (زیر بنا)، تعداد دبیران با تحصیلات بیش از کارشناسی، تعداد دبیرانی که بر اساس بخشنامه و سرفصل دروس طرح درس سالیانه دارند، تعداد دانش‌آموزان قبول شده در دانشگاه­ها، تعداد دانش‌آموزانی که معدل بالای 17 دارند، تعداد دانش‌آموزان سال سوم که معدل بالای 15 دارند، تعداد دانش‌آموزانی که ارزیابی عملکرد آنها در عملکرد اداره آموزش و پرورش از حد متوسط بیشتر است، امتیازی که از ارزیابی سالانه کارکنان به دست آمده است.

نتایج حاصل از بکارگیری مدل کارایی متقاطع تحت بازده به مقیاس ثابت نشان می­دهد که، دبیرستان دخترانه اسبفروشان، قاضی، کلیان، ابرغان در رتبه یک تا چهار قرار گرفتند. در عین حال با به­کارگیری مدل کارایی متقاطع تحت بازده به مقیاس متغیر، دخترانه اسبفروشان، ابرغان، قاضی و کلیان در رتبه یک تا چهار قرار گرفتند. یافته های حاصل از محاسبات نشان می­دهد که در دو حالت بازده به مقیاس ثابت و متغیر روش کارایی متقاطع نتایج تقریبا یکسانی دارد ولی در اغلب موارد روش بازده به مقیاس متغیر، بدلیل اینکه از تمامی جنبه­ها شاخص­ها را ترکیب و در نظر می­گیرد، رتبه­بندی را واقعی­تر نشان می­دهد، زیرا تصور بازده به مقیاس متغیر در حالات مختلف منطقی­تر است. روش کارایی متقاطع بررسی کارایی واحدها را در بهترین حالت کم­رنگتر کرده و با توجه به اینکه یک واحد با وزنهای واحدهای دیگر ارزیابی شده و میانگین کارایی را در نظر می­گیرد، مقدار نمره کارایی را واقعی­تر از مدل­های کلاسیک به­دست می­آورد. با استفاده از اطلاعات به­دست آمده می­توان مدارسی که کارایی کمتری دارند را بررسی و فاکتورهای ضعیف آن­ها را تقویت نمود و مدارسی را که رتبه بالایی دارند را تشویق نمود. نتایج دیگر حاکی از آن است که، واحدهای کارا با مدل‌های سنتی در مدل‌های کارایی متقاطع نیز همچنان در رتبه‌های بالایی قرار دارند. در اغلب موارد، مدارسی با امکانات خوب و قبولی بالا در آزمون­ها را در این روش نمی­توان به­عنوان بهترین واحد در نظر گرفت و تنها مدارسی رتبه بالاتری کسب می­کنند که از امکانات، تجهیزات و نیروی انسانی موجود خود به نحو مطلوب استفاده کنند.

با توجه به اینکه پژوهش حاضر برای مدارس دوره متوسطه شهر سراب اجرا شده است، پیشنهاد می­شود که مدیران مدارس و مسئولین اداره آموزش و پرورش برای ارتقاء کمی و کیفی عملکرد و کارایی نسبی مدارس، نسبت به مدیریت هزینه و بودجه اختصاص یافته مبادرت کنند، از فضاهای آموزشی مدارس استفاده بهینه نمایند، از دبیران با مدارج بالاتر تحصیلی بهره ببرند، مفاد اجرای بخشنامه­های صادره را رعایت کنند و نسبت به ارائه هدفمند طرح درسها از جانب معلمین اهتمام لازم را داشته باشند. همچنین پیشنهاد می­شود، تحقیق مشابهی برای سایر واحدهای صنعتی، اقتصادی و... توسط دانشجویان تحصیلات تکمیلی و پژوهشگران انجام گردد و محاسبه کارایی از روش کارایی متقاطع انجام شود. همچنین پیشنهاد می­گردد محققان در تحقیقات آتی خود مولفه­های دیگری را به مولفه­های ارائه شده در این تحقیق اضافه نمایند.

فهرست منابع

Asadi, B. & Nasseri, H. & Hosseinzade-Lotfi, F. (2020). Cross-inefficiency with the Variable Returns to Scale in DEA. International Journal of Industrial Mathematics. 12, 345-355.

Badri, M. & Borzooian, S. & Mohamadian, Z. (2021). Evaluating the efficiency of education with an emphasis on resource specialization: superior efficiency (case study of the northern Khorasan education regions) Educational innovations. 80,187-208. (In Persian)

Banker, R.D. & Charnes, A. & Cooper, W.W. (1984). Some models for estimating technical and scale inefficiencies in data envelopment analysis. Management science. 30, 1078-1092.

Charnes, A. & Cooper, W.W. & Rhodes, E. (1978). Measuring the efficiency of decision making units. European journal of operational research. 2, 429-444.

Doyle, J. & Green, R. (1994). Efficiency and cross-efficiency in DEA: Derivations, meanings and uses. Journal of the operational research society. 45, 567-578.

Ganji, S.S. & Rassafi, A. & Xu, D.L. (2019). A double frontier DEA cross efficiency method aggregated by evidential reasoning approach for measuring road safety performance. Measurement. 136, 668-688.

Guo, X. & Chen, L. (2023). DEA-BWM cross efficiency target setting with preferences. Computers & Industrial Engineering. 183, 109525.

Hadi-Vencheh, A. & Khodadadipour, M. & Tan, Y. & Arman, H. & Roubaud, D. (2024). Cross-efficiency analysis of energy sector using stochastic DEA: Considering pollutant emissions. Journal of Environmental Management. 364, 121319.

Haji Hosseiny, A. & Payan, A. & Salari, A. (2020). Accurate and Imprecise Evaluation of the Relative Efficiency of the Eleventh Grade of Non-Government Schools in Sistan and Baluchestan Province Using Data Envelopment Analysis. Journal of Decision and Operational Research. 5(1), 34-47.(In Persian)

Huang, X. & Jin, H. & Bai, H. (2019). Vulnerability assessment of China's coastal cities based on DEA cross-efficiency model. International Journal of Disaster Risk Reduction. 36, 101091.

Jiang, X. & Zhan, Z. & Ren, W. & Tao, X. & Zheng, S. & Luo, M. (2025). Balancing economic and environmental strategies in regional hinterland transport: A dynamic network cross efficiency analysis. Transport Policy. 162, 128-154.

Liang, L. & Wu, J. & Cook, W.D. & Zhu, J. (2008). Alternative secondary goals in DEA cross-efficiency evaluation. International Journal of Production Economics. 113, 1025-1030.

Lim, S. & Zhu, J. (2015). DEA cross-efficiency evaluation under variable returns to scale. Journal of the Operational Research Society. 66, 476-487.

Liu, H.H. & Song, Y.Y. & Liu, X.X. & Yang, G.L. (2020). Aggregating the DEA prospect cross-efficiency with an application to state key laboratories in China. Socio-Economic Planning Sciences. 71, 100809.

Mello, J.C.C.B.S.D. & Lins, M.P.E. & Gomes, E.G. (2002). Contruction of a smoothed DEA frontier. Pesquisa operacional. 22, 183-201.

Oukil, A. (2020). Exploiting value system multiplicity and preference voting for robust ranking. Omega. 94, 102048.

Rasoulzadeh, M. & Edalatpanah, S.A. & Fallah, M. & Najafi, S.E. (2022). A multi-objective approach based on Markowitz and DEA cross-efficiency models for the intuitionistic fuzzy portfolio selection problem. Decision making: applications in management and engineering. 5, 241-259.

Sadeghi-Gavgani, S. & Zohrehbandian, M. (2014). A Cross‐Efficiency Based Ranking Method for Finding the Most Efficient DMU. Mathematical Problems in Engineering. 2014, 269768.

Sexton, T.R. & Silkman, R.H. & Hogan, A.J. (1986). Data envelopment analysis: Critique and extensions. New directions for program evaluation. 1986, 73-105.

Wu, J. & Sun, J. & Liang, L. & Zha, Y. (2011). Determination of weights for ultimate cross efficiency using Shannon entropy. Expert Systems with Applications. 38, 5162-5165.

Yang, Z. & Wei, X. (2019). The measurement and influences of China's urban total factor energy efficiency under environmental pollution: Based on the game cross-efficiency DEA. Journal of cleaner production. 209, 439-450.

Zhang, W. & Wu, X. & Shi, J. (2023). Cross efficiency model of network DEA and its application on low carbon efficiency evaluation of multimodal transport. Ocean & Coastal Management. 244, 106778.

Zhou, L. & Zhang, R. & Li, A. (2022). New concepts for bootstrap-based cross-efficiency and relative weight analysis and an application to China's governance-finance-innovation-sustainability system. Journal of Cleaner Production. 379, 134549.

Ziadi, M. & Fallah-Jelodar, M. (2015). Evaluating the efficiency and ranking of schools in Firoozkouh County using the Data Envelopment Analysis Model. Industrial Strategic Management. 37, 57-70. (In Persian)

Zohrehbandian, M. & Gavgani, S. S. (2013). Cross-efficiency evaluation under the principle of rank priority of DMUs. World Applied Sciences Journal. 21, 46-49.

 

 

Evaluation of Cross efficiency in secondary schools of Sarab city with the variable returns to scale and constant returns to Scale

 

Saba Sadeghi Gavgani ²⁰ 

Akbar Valizadeh Oghani ²¹*

 

Abstract: 

One of the main problems of DEA is the flexibility in choosing input-output weights, which leads to the selection of unfair weights. To solve this problem, the cross-efficiency method is proposed with the aim of calculating the efficiency score through peer evaluation and self-evaluation, which is also important for ranking units. The present study is applied and descriptive in nature in terms of purpose and has developed a cross-efficiency evaluation approach under fixed returns to scale and variable returns to scale in the second-cycle secondary schools of Sarab city. The required data were extracted from the opinions of experts and the school library archives in the academic year 1401-1402. GAMS software was used to analyze the data. The results show that Asbfuroshan Girls' High School was selected as the most efficient unit in terms of fixed and variable scale efficiency. In comparing the efficiency scores for all schools, we concluded that Aberghan, Shahid Ghazi, and Kalyan schools ranked second, third, and fourth, respectively, in evaluating cross-efficiency by variable-scale returns, and Shahid Ghazi, Kalyan, and Aberghan schools ranked third and fourth, respectively, in evaluating cross-efficiency by fixed-scale returns. In both cases of constant and variable returns to scale, the cross-efficiency method has almost the same results, but in most cases, the variable returns to scale method displays the ranking results more realistically and logically.

Keywords: Data envelopment analysis, Decision making unit, cross-efficiency, return to scale.

---

[1] * نویسنده مسئول، گروه ریاضی، واحد سراب، دانشگاه آزاد اسلامی، سراب، ایران [e-mail]

[2] ** گروه مدیریت، واحد سراب، دانشگاه آزاد اسلامی، سراب، ایران  [e-mail]

[3]  Data envelopment analysis

[4]  Charnes, Cooper & Rhodes

[5]  Banker, Charnes & Cooper

[6] Sexton 

[7]  Lim and Zhu

[8]  Wu

[9]  Huang

[10]  Yang

[11]  Liu

[12]  Zhang

[13]  Zhou

[14]  Jiang

[15]  Doyle and Green

[16]  Liang

[17]  Mello

[18]  Oukil

[19]  Guo and Chen

[20] * Department of Mathematics, Sara.C., Islamic Azad University, Sarab, Iran. [e-mail] (Corresponding author)

[21] ** Department of Management, Sara.C., Islamic Azad University, Sarab, Iran. [e-mail]

---