حل مساله ی غیرخطی نوسانگرهای سخت شونده و نرم شونده با روش تجزیه ی آدومین

Subject Areas : Journal of Simulation and Analysis of Novel Technologies in Mechanical Engineering

بهرام گل محمدی ¹ ( مربی، دانشکده فنی مهندسی، دانشگاه آزاد اسلامی واحد سلماس )
قاسم اسعدی کردشولی ² ( مربی، دانشکده علوم پایه، دانشگاه آزاد اسلامی واحد شهر ری )
علیرضا وحیدی ³ ( استادیار، دانشکده علوم پایه، دانشگاه آزاد اسلامی واحد شهر ری )

Received: 2015-09-27 Accepted : 2015-09-27 Published : 2013-06-22

Keywords: نوسانگرهای سخت شونده, نوسانگرهای نرم شونده, معادلات دیفرانسیل غیرخطی, روش تجزیه ی آدومین,

Abstract :

یکی از عوامل ایجاد اثرات غیرخطی در سیستمهای نوسانی، غیرخطی بودن تابع نیروی بازگرداننده است که طیف وسیعی از آن­ها با تابع چندجمله­ای درجه سه و انتخاب ضرایب مناسب مدل­سازی می­شوند. در این مقاله یک سیستم نوسانگر جرم - فنر تحت تاثیر چنین نیروی بازگرداننده­ای درنظر گرفته­ شده و دو دسته پارامتر طوری انتخاب شده­اند که معادلات حرکت دو نوسانگر سخت شونده و نرم شونده از کاربرد قانون دوم نیوتن به­دست آیند. این معادلات دیفرانسیل غیرخطی مرتبه دو ابتدا با استفاده از روش تجزیه­ی آدومین حل شده­اند. در مرحله­ی بعد ابتدا معادلات به دستگاه معادلات مرتبه یک تبدیل و سپس مجددا با روش آدومین حل شده­اند. با توجه به این­که طرف دوم معادلات دیفرانسیل حل شده، برابر با صفر است، برای مقایسه­ی نتایج، پاسخ­ها در معادله قرارگرفته و انحراف آن­ها از صفر به عنوان خطا درنظر گرفته شده­است. مقایسه­ی نتایج نشان می­دهد که روش به­کار رفته برای هر دو مساله از دقت مناسب برخوردار است و همچنین تبدیل معادله به  دستگاه معادلات مرتبه­ی پایین­تر منجر به حصول پاسخ­های دقیق­تر می شود.  

References:

[1]Adomian G., Applied Stochasti, Processes, Academic Press, 1983.

[2] Adomian G. Bellman R., Partial Differential Equations, D.Reidel Publishing Co., 1985.

[3] Adomian G., “Nonlinear Stochastic Systems Theory and Applications to Physics”, Kluwer, 1989.

[4] Adomian G., Solving Frontier Problems of physics: The Decomposition Method, Kluwer, 1994.

[5] Cherruault Y., Convergence of Adomin’s method, Kybernetes,Vol. 9 (2), 1988, pp. 31-38.

[6] Cherruault Y., Adomian G., Decomposition method: A new proof of convergence, Mathematical and ComputerModeling,Vol. 18(12), 1993, pp. 103-106.

[7] Babolian E.,Biazar J., Solving Concrete Examples by Adomian Method, Application mathematics And Computation, Vol. 135, 2003, pp. 161-167.

[8] Babolian E., Vahidi A.R.,AsadiCordshooliGh., Solving differential equations by decomposition Method, Application mathematics And Computation, Vol. 167, 2005, pp. 1150-1155.

[9] Wazwaz A.M., The modified decomposition method and Pade approximations for solving Thomas Fermi equations, Application mathematics And Computation, Vol. 105 ,1999, pp. 11-19.

[10] Wazwaz A.M., A comparison between Adomian decomposition method and Taylor series metod in the series solution, Application mathematics And Computation, Vol. 97,1998, pp. 37-44.

[11] BellomoN.,SarafyanD., On a Comparison between Adomian’sDecomposision Method and Picard Iteration, JournalMathematics and Analysis Application, Vol. 123, 1987, pp. 389–400.

[12] Vahidi A.R., AsadiCordshooliGh., Modifying Adomian Decomposition Method for Ordinary Differential Equations, Journal of Applied Mathematics, Vol. 3(10), 2006, pp. 49-54.

 [13]Vahidi A.R., AsadiCordshooliGh., AzimzadehZ., Comparing numerical methods for the solution of the damped forced oscillator problem, Iranian Journal of Optimization, Vol. 2,2009, pp. 1-12.

[14] Vahidi A.R., Babolian E., AsadiCordshooliGh., Samiee F., Restarted Adomian’s Decomposition Method for Duffing’s Equation, InternationalJournal of Mathematics Analysis, Vol. 3(15), 2009, pp. 711-717.

[15] Vahidi A.R., Babolian E., AsadiCordshooliGh., Numerical solutions of Duffing’s oscillator problem, Indian Journal Physics, Vol. 86(4),2012, pp. 311-315.

[16] AsadiCordshooliGh., Vahidi A.R., Solutions of Duffing - van der Pol equation using Decomposition Method, Adv. Studies Theorist Physics, Vol. 5) 3(, 2011, pp. 121-129.

[17] Siddiqui A.M., Hameed M., Siddiqui B.M., Ghori Q.K., Use of Adomian decomposition method in the study of parallel plate flow of a third grade fluid, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, Vol. 15(9), 2010, pp. 2388-2399. 

[18] Wu Guo-cheng, Adomian decomposition method for non-smooth initial value problems, Mathematical and Computer Modeling, Vol. 54(9-10), 2011, pp. 2104-2108.

[19] Sweilam N.H., Khader M.M.,  Approximate solutions to the nonlinear vibrations of multiwalled carbon nanotubes using Adomian decomposition method, Applied Mathematics and Computation, Vol. 217 (2),  2010, pp. 495-505.

[20] Duan J., ChaoluT., Rach R.,  Solutions of the initial value problem for nonlinear fractional ordinary differential equations by the Rach–Adomian–Meyers modified decomposition method, Applied Mathematics and Computation, Vol. 218(17), 2012, pp. 8370-8392.

[21] Mao Qibo, Free vibration analysis of multiple-stepped beams by using Adomian decomposition method, Mathematical and Computer Modelling, Vol. 54, (1-2), 2011, pp. 756-764.

[22] Srinivasan P., Nonlinear Mechanical Vibrations, New Age International Publishers, 2008