انتهاهای بدیهی گراف کیلی گروه‌ها
الموضوعات :هانیه میرابراهیمی 1 , آمنه بابایی 2
1 - گروه ریاضی محض، دانشگاه فردوسی مشهد، مشهد، ایران
2 - گروه ریاضی محض، دانشگاه فردوسی مشهد، مشهد، ایران
الکلمات المفتاحية: end space, 1-complex, Cayley graph, finitely generated group, free group,
ملخص المقالة :
در این مقاله ابتدا انتهای گراف‌‌های موضعاً متناهی را به عنوان رده هم‌ارزی مسیرهای نامتناهی در گراف معرفی می‌کنیم. سپس انتهای گروه‌های متناهی تولید شده را بازگو می‌کنیم که با استفاده از گراف کیلی تعریف می‌شود. ثابت شده است که تعداد انتهاهای گروه‌ها به گراف کیلی وابسته نیست و برابر با صفر، یک، دو و یا نامتناهی است. برای هر یک از این اعداد نتایجی در ساختار گروه‌ها به دست آمده است که شناخته‌شده‌ترین آن‌ها قضیه‌ای موسوم به قضیه استالینگز است و ساختار گروه‌هایی با بیش از یک انتها را به عنوان حاصلضرب آزاد ملقمه‌ای یا توسیع HNN ارائه می‌دهد. به طور خاص‌تر ثابت شده است که گروهی با دقیقا دو انتها یک گروه مجازی Z است. بعد از آن انتهای بدیهی گراف‌ها را معرفی می‌کنیم و نشان می‌دهیم که انتهای بدیهی دقیقا وابسته به نوع خاصی از مسیر نامتناهی است. در پایان ثابت می‌کنیم وجود انتهای بدیهی برای گراف کیلی یک گروه معادل آن است که گروه آزاد باشد و این نتیجه می‌دهد که گراف کیلی یک گروه یک انتهای بدیهی دارد اگر و تنها اگر تمام انتهاهای آن بدیهی باشند.
[1] R. Diestel, Graph Theory, Springer-Verlag, Berlin, 2017.
[2] R. Diestel, P. Sprüssel, The fundamental group of a locally finite graph with ends, Advances in Mathematics, Volume 226, Issue 3, 2011, 2643–2675.
[3] R. Diestel, Ends and tangles, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, Volume 87 (2017), 223–244.
[4] R. Diestel and D. Kühn, Graph-theoretical versus topological ends of graphs, Journal of Combinatorial Theory, Series B, Volume 87 (2003), 197–206.
