استفاده از توابع پایه شعاعی با پارامتر شکلی متغیر برای حل معادلات دیفرانسیل جزیی

الموضوعات :

حنانه نوجوان ¹ , سعید عباسبندی ² , توفیق الهویرنلو ³

1 - گروه ریاضی، دانشکده علوم پایه، واحد علوم و تحقیقات، دانشگاه آزاد اسلامی، تهران، ایران
2 - گروه ریاضی کاربردی، دانشکده علوم پایه، دانشگاه بین المللی امام خمینی (ره)، قزوین، ایران
3 - گروه ریاضی، دانشکده علوم پایه، واحد علوم و تحقیقات، دانشگاه آزاد اسلامی، تهران، ایران

تاريخ الإرسال : 02 الأحد , جمادى الثانية, 1439 تاريخ التأكيد : 08 السبت , ربيع الثاني, 1440 تاريخ الإصدار : 25 الإثنين , رجب, 1440

الکلمات المفتاحية: Local meshless method, Method of lines, Newton basis functions, Variably scaled radial kernel, Burgers’ equation,

ملخص المقالة :

در این مقاله از روش­های بدون شبکه مبتنی بر توابع پایه­ای نیوتن موضعی برای حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی وابسته به زمان استفاده شده است. به منظور پایداری بیشتر از هسته­های شعاعی به طور متغیر مقیاس شده برای ساخت توابع پایه­ای نیوتن استفاده شده است. در ادامه با در نظر گرفتن توابع پایه­ای معرفی شده به عنوان توابع آزمون، تابع جواب در راستای متغیر مکان با استفاده از توابع آزمون به روش هم مکانی تقریب زده می­شود. سپس با استفاده از روش خطوط، به دستگاهی از معادلات با مشتقات معمولی بر حسب تابع جواب در راستای متغیر زمان دست یافتیم. روش­های معرفی شده را برای حل معادله غیرخطی برگرز به کار گرفته و با مشاهده نتایج عددی دقت و کارآیی روش مشخص خواهد شد.  

المصادر:

[1] Belytschko, T., Lu, Y.Y., Gu, L. (1994).” Element-free Galerkin methods”. Int. J. Numer. Methods Engrg. 37, 229-256.

[2] Liu, W.K., Jun, S., Zhang, Y.F. (1995). ”Reproducing kernel particle

methods”. Int. J. Numer. Methods Fluids 21, 1081-1106.

[3] Kansa, E.J. (1990).”Multiquadrics–a scattered data approximationscheme with application to computational fluid dynamics, part I”. Comput. Math Appl. 19, 127–145.

 [4] Mukherjee, Y.X., Mukherjee, S. (1997). ”The boundary node method for potential problems”. Int. J. Numer. Methods Eng.40,797-815.

[5] Zhu, T., Zhang, J.D., Atluri, S.N.(1998).”A local boundary integralequation (LBIE) method in computational mechanics and a meshless discretization approach”. Comput. Mech. 21, 223-235.

[6] Sladek, J., Sladek, V., Atluri, S.N. (2000). ”Local boundary integral equation (LBIE) method for solving problem of elasticity with nonhomogeneous material properties”. Comput. Mech. 24, 456-462.

[7] Dehghan, M., Mirzaei, D. (2008). ”Numerical solution to the unsteady two-dimensional Schrodinger equation using meshless local boundary integral equation method”. Int. J. Numer. Methods Eng.76,501-520.

[8] Mohebbi, A., Dehghan, M. (2008). ” High order compact solution of the one-space-dimensional linear hyperbolic equation”. Numer Methods Partial Differential Equations 24, 1222-1235.

[9] Atluri, S.N., Shen,S.,"The Meshless Local Petrov-Galerkin Method, (MLPG)".Tech Science Press, 2002.

[10] Dehghan, M., Mirzaei, D. (2009).” Meshless Local Petrov-Galerki method (MLPG) for the unsteady magnetohydrodynamic (MHD) flow through pipe with arbitrary wall conductivity”. Appl. Numer.Math. 59, 1043-1058.

 [11] Dehghan, M., Mirzaei, D. (2008). ”The meshless local Petrov Galerkin (MLPG) method for the generalized two-dimensional nonlinear Schrodinger equation”. Engineering Analysis with Boundary Elements. 32, 747-756.

[12] Mazarei M.M., A. Aminataei A. (2012). ”Numerical Solution of Poisson’s Equation Using a Combination of Logarithmic and Multiquadric Radial Basis Function Networks”. Journal of Applied Mathematics. dx.doi.org/10.1155/286391.

 [13] Liu, G.R. (2003). ”Mesh Free Methods: Moving beyond the Finite Element Method”. CRC press.

[14]Nguyen, V.P., Rabczuk, T., Bordas, S.,

 Duflot, M. (2008). ”Meshless methods: A review and computer implementation aspects," Math. Comput. Simul. 79, 763-813.

[15] Sarler, B. (2007). ”From global to local radial basis function collocation method for transport phenomena”. Berlin: Springer, 257-282.

 [16] Yun, D.F., Hon, Y.C. (2016). ”Improved localized radial basis function collocation method for multi-dimensional convectiondominated problems”. Eng. Anal. Bound. Elem. 67, 63–80.

[17] Sarra, S. (2012). ”A local radial basis function method for advection-diffusion-reaction equations on complexly shaped domains". Appl. Math. Comp. 218, 9853–9865.

[18] Sarler, B. (2007). ”From global to local radial basis function collocation method for transport phenomena”. Berlin: Springer, 257-282.

 [19] Lee, C., Liu, X., Fan, S. (2003). ”Local multiquadric approximation for solving boundary value problems”. Comput. Mech. 30, 396–409.

[20] Abbasbandy, S., Darvishi, M.T. (2005). ”A numerical solution of Burgers’ equation by time discretization of Adomian’s  decomposition method”. Appl. Math. Comput. 170,95–102.

[21] Asaithambi, A. (2010).”Numerical solution of the Burgers’ equation by automatic differentiation”.Appl. Math. Comput. 216, 2700-2708.

 [22] Dag, I., Irk, D., Saka, B. (2015).”A numerical solution of the Burgers’equation using cubic B- splines”.  Appl. Math. Comput. 163(1),199-211.

[23] Hashemian, A. Shodja, H.M. (2008).”A meshless approach for solution of Burgers’ equation”. J. Comput. Appl. Math. 220, 226–239.

[24] Jiwari, R. (2012). ”A haar wavelet quasi linearization approach for numerical simulation of Burgers’ equation”. Comput. Phys. Commun.

183,2413-2423.

[25] Jiwari, R. (2015). ”A hybrid numerical scheme for the numerical solution of the Burgers’ equation”. Comput. Phys. Commun. 188,59-67.,

[26] Mittal, R., Jain, R. (2012). ”Numerical solutions of nonlinear burgers equation with modified cubic b-splines collocation method". Appl. Math. Comput. 218(15), 7839–7855..

[27] Xie, H., Zhou, J., Jiang, Z., Guo, X. (2016). ”Approximations for Burgers’ equations with C-N scheme and RBF collocation methods". J. Nonlinear Sci. Appl. 9, 3727–3734.

[28] Bozzini, M., Lenarduzzi, L., Rossini, M., Schaback, R. (2015). ”Interpolation with variably scaled kernels”. IMA J. Numer. Anal. 35,199-219.

 [29] L.T. Luh, The shape parameter in the Gaussian function, Comput. Math. Appl. 63 (2012) 687–694..

 [30] Sarra, S., Sturgill, D. (2009). ”A random variable shape parameter

strategy for radial basis function approximation methods”. Eng. Anal. Bound. Elem. 33, 1239–1245

[31] Muller, S., Schaback, R. (2009). ” A Newton basis for kernel spaces”. J. Approx. Theory. 161, 645–655.

[32] Pazouki, M., Schaback, R. (2011). Bases for kernel-based spaces". J. Comput. Appl. Math. 236, 575–588

[33] Schaback, R. (2011). ”Matlab Programming for Kernel -Based methods”. Technical Report, http://num.math.unigoettingen  de/schaback/research/papers/MPfKBM.pdf.

[34] Caldwell, J. Smith, P. (1982). ”Solution of Burgers’ equation with a large Reynolds number”. Appl. Math. Model. 6, 381–385

[35] Hon, Y.C., Mao, X.Z. (1998 )."    An efficient numerical scheme for Burgers’ equation”. Appl.Math.Comp.95,37-50.