بررسی تقریب معادلات ﺗﺎﺑﻌﯽ درﺟﻪ دوم ﺗﻮﺳﻌﻪ ﯾﺎﻓﺘﻪ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻓﻀﺎی ﺷﺒﻪ p -ﻧﺮم دار ﻓﺎزی

الموضوعات : Analyze

احسان موحدنیا ¹ , پروانه لولو ²

1 - گروه ریاضی، دانشکده علوم پایه، دانشگاه صنعتی خاتم الانبیا، بهبهان، ایران
2 - گروه ریاضی، دانشکده علوم پایه، دانشگاه صنعتی خاتم الانبیا، بهبهان، ایران

تاريخ الإرسال : 05 الثلاثاء , شوال, 1444 تاريخ التأكيد : 14 الأحد , ذو الحجة, 1444 تاريخ الإصدار : 14 الخميس , ربيع الثاني, 1446

الکلمات المفتاحية: فضای فازی&quot, پایداری معادلات تابعی&quot, قضیه نقطه ثابت&quot, , &quot, &quot,

ملخص المقالة :

در ﭘﺎﺋﻴﺰ ﺳﺎل ٠۴٩١، اوﻻمدر سخنرانی معروف خود در باﺷﮕﺎه رﻳﺎضیات داﻧﺸﮕﺎه وﻳﺴﻨﺴﻴﻦ ﺗﻌﺪادی از ﻣﺴﺎﺋﻞ ﺣﻞ ﻧﺸﺪه را اراﺋﻪ ﻧﻤﻮد. اﻳﻦ ﺳﺨﻨﺮاﻧﯽ ﻧﻘﻄﻪ آﻏﺎزی ﺑﺮ ﻧﻈﺮﻳﻪ ی ﭘﺎﻳﺪاری ﻣﻌﺎدﻻت ﺗﺎﺑﻌﯽ ﮔﺮدﻳﺪ. اوﻻم ﻣﺴﺄﻟﻪ ی ﭘﺎﻳﺪاری را در ﺣﺎﻟﺘﯽ ﻛﻠﯽ ﺑیان ﻧﻤﻮد و در ﺣﺎﻟﺘﯽ ﺧﺎص، ﻣﺴﺄﻟﻪ ی ﭘﺎﻳﺪاری ﻣﻌﺎدﻻت ﺗﺎﺑﻌﯽ را اﻳﻦ ﮔﻮﻧﻪﺑیانﻛﺮد: “... ﻣﻔﻬﻮم ﭘﺎﻳﺪاری ﻗﻀﺎﻳﺎی رﻳﺎﺿﯽ از ﻧﻈﺮﮔﺎﻫﯽ ﻛﻠﯽ اﻳﻦ ﮔﻮﻧﻪ ﻣﻄﺮح ﻣﯽ ﺷﻮد: اﮔﺮ ﻓﺮض ﻳﻚ ﻗﻀﻴﻪ ﺗﻘﺮﻳﺒﺎ ﺑﺮﻗﺮار ﺑﺎﺷﺪ، آﻳﺎ ﻣﯽ ﺗﻮان ادﻋﺎ ﻧﻤﻮد ﻛﻪ ﺣﮑﻢ ﻗﻀﻴﻪ ﻧﻴﺰ ﺗﻘﺮﻳﺒﺎ ﺑﺮﻗﺮار ﺧﻮاﻫﺪ ﻣﺎﻧدبرای ﻳﻚ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ی ﺗﺎﺑﻌﯽ ﻣﺴﺄﻟﻪ ی ﭘﺎﻳﺪاری اﻳﻨﮕﻮﻧﻪ ﻣﻄﺮح ﻣﯽ ﮔﺮدد: اﮔﺮ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ی ﺗﺎﺑﻌﯽ ﻣﻔﺮوض دارای ﺟﻮاب ﺗﻘﺮﻳﺒﯽ دﻟﺨﻮاﻫﯽ ﺑﺎﺷﺪ، آﻳﺎ اﻳﻦ ﺟﻮاب ﺗﻘﺮﻳﺒﯽ ﺑﻪ اﻧﺪازه ﻛﺎﻓﯽ ﺑﻪ ﻳﻚ ﺟﻮاب دﻗﻴﻖ از ﻣﻌﺎدﻟﻪ ی ﺗﺎﺑﻌﯽ ﻣﻔﺮوض ﻧﺰدﻳﻚ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد؟ ... اﮔﺮ ﺟﻮاب اﻳﻦ ﺳﺆال ﻣﺜﺒﺖ ﺑﺎﺷﺪ، ﻣﻌﺎدﻟﻪ ی ﺗﺎﺑعی ﻣﻔﺮوض را ﭘﺎﻳﺪار ﮔﻮﻳﻴﻢ. ٢ E ﺗﻘﺮﯾﺒﺎ ﺟﻤﻌﯽ ٢ E و ١ E : f ﺑﺮ روی ﻓﻀﺎﻫﺎی ﺑﺎﻧﺎخ ١ → E ٢ ٠ > ϵ دﻟﺨﻮاه، اﮔﺮ ﻧﮕﺎﺷﺖ ﺑﺎﺷﺪ، ﯾﻌﻨﯽ راﺑﻄﻪ ∥f(x + y) − f(x) − f(y)∥ ≤ ϵ E : A ﭼﻨﺎن ﻣﻮﺟﻮد اﺳﺖ ﮐﻪ راﺑﻄﻪ ی ١ → E ٢ ﺑﺮﻗﺮار ﺑﺎﺷﺪ، آﻧﮕﺎه ٠ > k و ﻧﮕﺎﺷﺖ ﺟﻤﻌﯽ ﯾﮑﺘﺎی ∥A(x) − f(x)∥ ≤ ϵ ﺑﺮﻗﺮار ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد. روﺷﯽ ﮐﻪ ﻫﺎﯾﺮز در اﺛﺒﺎت ﭘﺎﯾﺪاری ﻣﻌﺎدﻟﻪ ی ﺗﺎﺑﻌﯽ ﺟﻤﻌﯽ اﺳﺘﻔﺎده ﻧﻤﻮد را روش ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﻧﺎﻣﯿﺪه اﻧﺪ. اﮔﺮ ﭘﺎﯾﺪاری ﯾﮏ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ی ﺗﺎﺑﻌﯽ ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺑﺎ ﻗﻀﯿﻪ ﻫﺎﯾﺮز و ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ϵ ﺛﺎﺑ.ﺖ .ﮔﺮدد، آن را ﭘﺎﯾﺪاری ﻫﺎﯾﺮز- اوﻻم ﻣﯽ ﻧﺎﻣﻨﺪ