حل مسائل چندهدفه هندسی با رویکرد اعداد صحیح

الموضوعات :

الهه حاجی محمدی ¹ ( گروه ریاضی، واحد اهواز، دانشگاه آزاد اسلامی، اهواز، ایران )
منصور سراج ² ( گروه ریاضی، دانشکده علوم ریاضی و کامپیوتر، دانشگاه شهید چمران اهواز، اهواز، ایران )
مریم مومنی ³ ( گروه ریاضی، واحد اهواز، دانشگاه آزاد اسلامی، اهواز، ایران )
فاطمه کیانی ⁴ ( گروه ریاضی، واحد اهواز، دانشگاه آزاد اسلامی، اهواز، ایران )

تاريخ الإرسال : 08 السبت , ربيع الثاني, 1443 تاريخ التأكيد : 22 الثلاثاء , ذو القعدة, 1443 تاريخ الإصدار : 06 الخميس , رجب, 1445

الکلمات المفتاحية: Integer Programming&quot, &quot, , &quot, Multi objective programming&quot, , &quot, Approximation piecewise linear&quot, Geometric Programming&quot,

ملخص المقالة :

ترکیب مسائل چندهدفه هندسی با متغیرهای صحیح یکی از موضوعات جالب و قابل توجه در بسیاری از زمینه ­های بهینه ­سازی است که توجه بسیاری از محققین را در چند دهه اخیر به خود جلب کرده است. با توجه به اینکه در مسائل عملی و کاربردی نمی ­توان فقط متغیرهای حقیقی را در نظر گرفت، لذا در نظر گرفتن متغیرها به شکل صحیح از اهمیت ویژه ­ای در این نوع از مسائل برخوردار می ­باشد. هدف ما در این مقاله بررسی یک مسئله برنامه ­ریزی هندسی چندهدفه با متغیرهای عدد صحیح است. با استفاده از تکنیک تقریب تکه خطی مسئله را به یک مسئله برنامه­ ریزی غیرخطی عدد صحیح آمیخته تبدیل می ­کنیم. سپس با روش وزن­ دهی مسئله را حل کرده و با استفاده از روش غیرخطی شاخه و کران، جواب صحیح را پیدا می­ کنیم. 

المصادر:

1. Dinkel J.J, Ellott W.H, and Kochenberger G. A. Computational aspects of cutting – plane algorithms for geometric programming problems. Springer, Mathematical programming, 13 (1): 200-220 (1977)

2. Alves M.J., and Climaco J. An interactive reference point approach for multi-objective mixed-integer programming using branch-and-bound. Elsevier, European journal of operational research, 124(31): 478-494 (2000).

3. Leyffer J., Linderoth J., Luedtke J., Andrew M., and Muson M. Application and algorithms for mixed integer non-linear programming. Journal of physics, conference series 180(1),(2009)

4. Melo W., Fampa M., and Raupp F. Integrating non-linear branch-and-bound and outer approximation for convex mixed integer non-linear programming. Springer, Journal of global optimization 60(2): 373-389(2014)

5. Dua V. Mixed integer polynomial programming. Computer and chemical engineering, 72:387-394(2015)

6. Lundell A., and Westerlund T. solving global optimization problems using reformulations and signomial transformation. Elsevier, Computer and chemical engineering, 116: 122-134(2018)

7. Shen P., and Zhang K. Global optimization of signomial geometric programming using linear relaxation. Elsevier, Applied mathematics and computational, 150(1): 99-114(2004)

8. Lundell A., Westerlund J., and Westerlund T. Some transformation techniques with applications in global optimization. Springer, Journal of global optimization, 43 (2-3): 391-405(2009)

9. Ansari M.A., and Hasanifard F. Solution of mixed integer nonlinear and non-convex optimization problem by convexification methods based on special ordered sets. (1):71-85(2017)

10. Lundell A., Skjӓl A., and Westerlund T. A reformulation framework for global optimization. Springer, Journal of global optimization, 57(1):115-141(2013)

11. Ali F.M. Technique for solving multi-objective nonlinear programming using differential equations approach. Journal of information and optimization sciences, 18 (3): 351-357(1977)

12. Roy T.K. Multi-objective geometric programming and its application in an inventory model. Fuzzy Multi-Criteria Decision Making: 539-566(2008)
13. Ehrott M.A discussion of secularization techniques for multiple objective integer programming .Annals of operation research 147(1): 343-360(2006)

14. Ojha A, and Biswal K. Multi-objective geometric programming problem with weighted mean method. arXiv preprint arXiv: 1003.1477(2010)

15. Bazikar F, and saraj M .solving linear multi-objective geometric problems via reference point approach.Sains Malaysian 43(8): 1271-1274(2014)

16. Tsai J.F., and Lin M.H. An efficient global approach for posynomial geometric programming problems. Informs journal on computing23 (3): 483-492(2011)

17. Forest J, and Tomlin J. Branch-and bound, integer and non-integer programming. Annals of operation research 149(1): 81-87(2007)

18. Hemmeck R, Koppe M, Lee J, and Weismantel R. Non-linear integer programming.50 Years of integer programming: 561-618(2010)

19. Belotti P, Kriches C, Leyffer S, Linderott J, Luedtke J, and Mahajon A. mixed integer non-linear optimization. Publish by Cambridge University (2013)

20. Tsang C.L., Zhan Y, Zheng Q.P., and Kumar M. A mixed integer linear programming formulation generalized geometric programming using piece-wise linear approximation. European journal of operational research 245(2):360-370(2015)

21.Boyd S, Kim S.J., Vandenbergh L, and Hassibi A. A tutorial on geometric programming. Optimization and engineering8 (1): 1-67(2007)

22. Steure R.E., and Wiley. Multiple criteria optimization: theory, computation, and application. New York,(1986)

23.Hatami-Marbini A ,Rostamy-Malkhalifeh M, Agrell PJ,Tavana M.Extended symmetric and asymmetric weight assignment methods in data envelopment analysis. computers and industrial engineering 8(7):621-631(2015)

24.Razipour-Ghalehjough S, Hosseinzadeh lotfi F ,jahanshahloo G.Finding closest target for bank branches in the presence of weight restrictions using data envelopment analysis.

25. Z. Mousavi1, M. Saraj , Multi Objective Geometric Programming with Interval Coefficients: A Parametric Approach. Earthline Journal of Mathematical Sciences,Volume 2, Number 2, 2019, Pages 395-407

نص كامل:



دسترسي در سايتِ http://jnrm.srbiau.ac.ir

سال نهم، شماره چهل و چهارم، مهر و آبان 1402

شماره شاپا: -588X2588

 

 

 

 

 

حل مسائل چند­هدفه هندسی با رویکرد اعداد صحیح

 

 

الهه حاجی­محمدی1، منصور سراج2¹، مریم مومنی1، فاطمه کیانی1

 

 

(1) گروه ریاضی، واحد اهواز، دانشگاه آزاد اسلامی، اهواز، ایران

(2)  گروه ریاضی، دانشکده علوم ریاضی و کامپیوتر، دانشگاه شهید چمران اهواز، اهواز، ایران

 

 

 

تاريخ ارسال مقاله: 22/08/1400   تاريخ پذيرش مقاله: 31/03/1401

چکيده

ترکیب مسائل چندهدفه هندسی با متغیرهای صحیح یکی از موضوعات جالب و قابل توجه در بسیاری از زمینه­های بهینه­سازی است که توجه بسیاری از محققین را در چند دهه اخیر به خود جلب کرده است. با توجه به اینکه در مسائل عملی و کاربردی نمی­توان فقط متغیرهای حقیقی را در نظر گرفت، لذا در نظر گرفتن متغیرها به شکل صحیح از اهمیت ویژه­ای در این نوع از مسائل برخوردار می­باشد. هدف ما در این مقاله بررسی یک مسئله برنامه­ریزی هندسی چندهدفه با متغیرهای عدد صحیح است. با استفاده از تکنیک تقریب تکه خطی مسئله را به یک مسئله برنامه­ریزی غیرخطی عدد صحیح آمیخته تبدیل می­کنیم. سپس با روش وزن­دهی مسئله را حل کرده و با استفاده از روش غیرخطی شاخه و کران، جواب صحیح را پیدا می­کنیم.

 

واژه‌هاي کليدي: برنامه­ریزی هندسی، برنامه­ریزی چندهدفه، برنامه­ریزی عدد صحیح، تقریب تکه خطی.

---

[1]  عهده­دار مکاتبات:                                                                                                 Email: [e-mail]  

مقدمه:

مسائل چند هدفه هندسی، نوع خاصی از مسائل بهینه­سازی می­باشد که برای حل نوع خاصی از مسائل برنامه­ریزی غیرخطی با محدودیت­های خطی و یا غیرخطی کاربرد دارند. یکی از اهداف فرمول­بندی مسائل هندسی تبدیل مسائل عملی و کاربردی مانند مسائل مهندسی و یا طراحی به فرم هندسی آنها می­باشد. با توجه به اینکه در مسائل عملی و کاربردی نمی­توان فقط متغیرهای حقیقی را در نظر گرفت، در نظر گرفتن متغیرها به شکل صحیح از اهمیت ویژه­ای برخوردار می­باشد. بنابراین مسائل برنامه­ریزی هندسی با متغیرهای صحیح از دسته مسائل مهم در ریاضیات می­باشد. برای حل مسائل هندسی با متغیرهای صحیح تحقیقات بیشماری صورت گرفته است. در سال 1960، کاربردهای زیادی در زمینه­های ریاضی، شیمی، مهندسی، آمار و اقتصاد و .... از مسائل هندسی مطرح شده است. بسیاری از مقالات بهینه­سازی در زمینه مهندسی، علمی و کاربردهای آنها که شامل مسائل سیستم­های غیرخطی با متغیرهای تصمیم گسسته و یا دینامیکی می­باشند، نیز ارائه شده­اند. همچنین در نظر گرفتن متغیرهای صحیح و سیستم­های غیرخطی مسائل بهینه­سازی در فضای گسسته را حل می­نماید. امروزه بسیاری از مقالات مهم بهینه­سازی شامل متغیرهای دو دویی و صحیح با سیستم­های غیرخطی برای حل اینگونه مسائل ارئه شده­اند. در مقالات متعددی روش­هایی برای حل اینگونه از مسائل ارائه شده است. در سال 1977،دینکل و همکارانش یک الگوریتم صفحه برشی را ارائه کردند که برای مسائل برنامه­ریزی هندسی با توابع پوزینومیال کاربرد دارد.[1] در سال 1999، آلوس یک مسئله چندهدفه هندسی با متغیرهای صحیح را با روش نقطه مرجعی و با استفاده از الگوریتم شاخه و کران حل نمود.[2] همچنین الگوریتم­ها و کاربردهای متفاوتی برای مسائل برنامه­ریزی غیرخطی صحیح آمیخته توسط لیفر در سال 2009 بیان شد.[3] وندل ملو و همکارانش در سال 2014 الگوریتمی ارائه کردند که تعمیم­یافته الگوریتم شاخه و کران برای مسائل برنامه­ریزی خطی می­باشد.[4] همچنین وسترلوند و همکارانش در مقاله­ای در سال 2008 الگوریتمی برای حل مسائل برنامه­ریزی هندسی با اعداد صحیح ارائه کردند که در آن از مجموعه مرتب خاص نوع دوم¹استفاده نموده است.[5] در سال­های اخیر برخی روش­های نسبی و سراسری برای حل مسائل هندسی در مقالات متعددی مطرح شده است. شن و همکارانش در مقاله­ای در سال 2004 بهینه­سازی سراسری برای مسائل هندسی با توابع سیگنومیال مطرح کردند که در آن از آزادسازی خطی استفاده شده است. [6] همچنین لاندل روش بهینه­سازی سراسری برای مسائل برنامه­ریزی غیرخطی با متغیرهای صحیح در سال 2018 ارائه داد. [7]

 

تقریب محدب توابع پوزینومیال:

تقریب محدب تابع پوزینومیال یکی از مباحث مهم و کاربردی در روش‌های بهینه‌سازی است. بهترین تقریب محدب باید شامل حداقل تعداد متغیرها و محدودیت­ها باشد .تقریب توانی منفی یکی از روش­های مهم و کاربردی محدب­سازی توابع پوزینومیال می­باشد.برای بیان این روش گزاره­ی زیر را بیان می­نماییم.

 

گزاره 1:

تابع مونومیال دو بار مشتق­پذیر زیر را در نظر بگیرید   که . این تابع محدب می­باشد اگر .

با توجه به گزاره­ی فوق، برای محدب کردن یک تابع مونومیال می­توان از تبدیل توانی منفی با توجه به تبصره زیر استفاده کرد.

 

تبصره 1:

اگر  و  اگر 𝛾j>0 آنگاه می­توان  را به تبدیل کرد بطوریکه  و  و  تابع تقریب تکه خطی  می­باشد. آنگاه  به ازای xi>o, , j طبق گزاره ی فوق یک تابع محدب می­باشد.

 

گزاره 2:

فرض کنید  به ترتیب یک کران بالا و پایین باشند و 𝜀 دقت کامپیوتر باشد. کمترین مقدار ممکن به گونه­ای که فاصله محاسباتی بین تابع تبدیل معکوس و تقریب تکه خطی وجود داشته باشد را به صورت زیر می­توان بدست آورد:

i) If ( j.j) <=0 then αj>= 2√𝜀/ (𝐿𝑛 ( j/j)).

ii) If ( j.j)>0 then αj>=(4 𝐿𝑛( j/j)- √𝐺/(2 𝐿𝑛( j/j). ( j. j). G=16 ( j/j). ( j. j)-2√𝜀 ( j.j) and 𝜀<= (𝐿𝑛 ( j/j)/ 𝐿𝑛 ( j.j)) 2.

 

پس از یافتن کمترین مقدار ، باید تابع تبدیل معکوس را با  تکنیک تقریب تکه خطی تقریب بزنیم. یک تابع مزدوج برای مدل‌سازی تابع تقریب تکه خطی به صورت زیر می­باشد:

 

 

تبصره 2:

تابع مزدوج  که در آن بردارهای B وB(p+1)  حداکثر در یک مولفه به ازای  متفاوت هستند، را می­توان ساخت بطوریکه

 ، 

 

برخی از اصطلاحات مورد نیاز در تبصره 2 به صورت زیر تعریف می­شوند:

S+

S-

 

برای تقریب یک تابع تک متغیره با روش پیشنهادی ویلما، قضیه زیر را بیان می­کنیم:

 

 

قضیه1: تابع تک متغیره f(x) را در نظر می­گیریم به طوریکه a0xam .تقریب تکه خطی تابع f(x) را با  نشان می­دهیم که a0<a1<…<am،m+1 نقطه شکست  می­باشد.را
می­توان به صورت زیر در نظر گرفت:

)) =p) p                      pp p=1 (1)

pk                               pk p+, k

 

 

الگوریتم شاخه و کران:

الگوریتم شاخه و کران مسائل غیرخطی توسط داکین در سال 1965 مطرح گردید. قبل از بیان این الگوریتم فرضیات زیر را در نظر می­گیریم:

مسئله برنامه­ریزی غیرخطی زیر را در نظر بگیرید:

 

    i       

         i                                         (2)

         n      m

بطوریکه

i.        یک مجموعه محدب فشرده و Y  مجموعه اعداد صحیح متناهی می­باشد.

ii.        توابع محدب و مشتق­پذیری از  و  توابع خطی از  می­باشد.

iii.       برخی از مشخصه­های قیدی برنامه­ریزی غیرخطی صدق می­کنند.

الگوریتم با حل آزادسازی مسئله برنامه­ریزی غیرخطی 2 آغاز می­شود. فرض­هایi,ii  بیان می­کند که هر جواب نسبی از مسئله غیرخطی یک جواب مطلق نیز می­باشد که این نتیجه با بکارگیری شرایط KKT بطور مستقیم نیز بدست می­آید. یک شرط کافی برای فرض iii این است که جواب بهینه هر زیرمسئله شدنی غیرخطی یک نقطه منظم می­باشد و این بدین معنی است که بردارهای گرادیان محدودیت­های فعال مستقل خطی می­باشد.

 

انشعاب:

اگر جواب  از مسئله  یک جواب غیرصحیح شدنی باشد آنگاه روی هر متغیر غیرصحیح انشعاب صورت می­گیرد و آنها را  می­نامیم، که شاخه­های دو گره غیرخطی جدید را نشان می­دهد. دو کران جدید را به صورت  نشان می­دهیم. سپس کران­های مربوطه را برای متغیرهای انشعاب به صورت زیر تصحیح می­کنیم: .

 

شرایط توقف:

شرایط توقف الگوریتم برای روش شاخه و کران مسائل غیرخطی بر اساس بهینه بودن و شدنی بودن مسائل غیرخطی است. فرض می­کنیم u یک کران بالا برای مسئله بهینه است. در ابتدا u=∞ را در نظر می­گیریم.

 

 

·       گره شدنی:

اگر هر گره NLP(l,u)  شدنی باشد، پس هر مسئله در زیردرختی که در این گره ریشه دارد نیز شدنی است. بنابراین می­توان آن را قطع کرد و یا به عبارت دیگر می­توان گفت که این گره به عمق رسیده است.

 

·       گره شدنی صحیح:

اگر جواب  از  صحیح باشد آنگاه یک جواب جدید به دست می­آوریم اگر  آنگاه قرار می­دهیم :

 و

 

·       کران بالای گره­های مسائل برنامه­ریزی غیرخطی:

اگر جواب بهینه  برابر با  باشد (یعنی کران پایین مقدار بهینه)،آنگاه توسط کران بالا محصور می­شود اگر  ، سپس این گره به­عمق رسیده است زیرا جواب صحیح بهتری پیدا نمی­شود.

 

الگوریتم شاخه و کران مسائل غیرخطی صحیح آمیخته:

قضیه2: جواب مسئله شاخه و کران زیر را در نظر بگیرید:

 

 

 

 

فرض کنید که f و g دو مسئله محدب، پیوسته و دو بار مشتق­پذیر باشند، و X مجموعه­ای چند وجهی کران­دار باشد، آنگاه می­توان نتیجه گرفت که الگوریتم شاخه و کران پس از تعداد متناهی جستجو به یک جواب بهینه
می­رسد و متوقف می­شود و یا نشان می­دهد که مسئله نشدنی است.

 

الگوریتم 1:

برای  قرار دهید U = , و    (NLP(-)) را به پشته    اضافه کنید. تا زمانیکه  انجام بده         مسئله  را از پشته    حذف کنید.         مسئله () را حل کنید و جواب را  قرار دهید.     اگر ( نشدنی بود آنگاه        گره را می­توان به دلیل نشدنی بودن قطع کرد. در غیر این صورت اگر  آنگاه      گره را می­توان قطع کرد زیرا کران بالایی بر آن غالب است. در غیر اینصورت اگر   صحیح باشدآنگاه      جواب  را بروز رسانی کنید در غیر اینصورت روی متغیر  شاخه زنی کنید. به الگوریتم 2 مراجعه کنید. انشعاب روی متغیرهای کسری: الگوریتم 2: روی متغیر  شاخه زنی کنید     S    // روی قسمت کسری  شاخه زنی کنید// قرار دهید :   و  را به پشته  اضافه کنید.   مسئله برنامه­ریزی چند هدفه هندسی صحیح آمیخته: فرم کلی یک مسئله برنامه­ریزی هندسی چند هدفه به صورت زیر می­باشد:                                                                   j     روش­های متعدی برای حل مسائل چند هدفه وجود دارد از جمله روش اپسیلون قید و ورش وزن­دهی. در این مقاله به بررسی روش وزن­دهی برای حل این دسته از مسائل می­پردازیم:   روش وزن­دهی: یک مسئله وزن­دهی به صورت زیر فرموله می­شود: I i(x) 1k)   روش وزن­دهی برای مسائل غیرمحدب جوابگو نمی­باشد زیرا در مسائل غیرمحدب بردارهای وزنی عمود بر صفحه منحصر به فرد نخواهند بود لذا این روش برای مسائل غیرمحدب کاربرد نخواهد داشت و باید با احتیاط استفاده شود..   قضیه3: اگرx*  یک جواب بهینه برای مسئله وزن­دهی به ازای w>0 باشد، x* یک جواب بهینه پاراتو برای برنامه­ریزی چند هدفه می­باشد.[22]   قضیه 4: اگرx*  یک جواب بهینه پاراتو برای مسئله برنامه­ریزی چند هدفه باشد، آنگاهx*  یک جواب بهینه برای مسئله وزن­دهی به ازای W= ()≥0 است.[22] در روش وزن­دهی، تصمیم­گیرنده نقش مهمی را در به دست آوردن مقدار تابع هدف ایفا می­کند. در این فرآیند، زمانی که تصمیم­گیرنده مقادیر مختلف وزن­های مختلف را نشان می­دهد، مسئله مربوطه برای تولید جواب بهینه پاراتو حل می­شود، تصمیم­گیرنده می­تواند بهترین جواب بهینه را که در مرز پاراتو قرار دارد، انتخاب کند. مثال های عددی: مثال 1: 10.67 7-0.67+40.679-0.67+1-2 571    35-1+23-0.715-1+3-1.37 4x6-1+4-0.716-1+0.05884-1.38 0.1i          x1, x3, x4 is integer   مسئله محدب با روش تقریب توانی منفی و تقریب تکه خطی به صورت زیر می­باشد:  1-0.67 7-0.67 +2-0.678-0.67+12  5 -17-11 s.t 3 -15-13-0.715-13-1.3 7-1<=1         4 -16-14-0.716-14-1.38-1<=1      0.1 <= i<=10      0.1<=i<=10       i=i-βj)    i= 1, 3,4,5,7    1, 3, 4   عبارت=i-βj)    تابع تکه خطی  می باشد. مطابق با گزاره 2 مقدار   را محاسبه می­کنیم (در این مسئله  در نظر می­گیریم). پس از حل مسئله از روش وزن­دهی و بکارگیری الگوریتم شاخه و کران غیرخطی، با استفاده از نرم افزار لینگو داریم: جدول 1: نتایج حاصل از مثال 1 W1=0.5 W2=0.5 W1=0.4 W2=0.6 W1=0.6 W2=0.4 W1=0.3 W2=0.7 W1=0.7 W2=0.3 W1=0.8 W2=0.2 W1=0.2 W2=0.8 W1=0.1 W2=0.9 W1=0.9 W2=0.1   -3.341927 -2243440 -4.459886 -1.14971 -5.599932 -6.767616 0.8961249 1.0138 -7.970580 Objective value I=1,2,4,6,7,8,10 I=1,2,4,6,7,8,10 I=1,2,4,6,7,8,10 I=1,2,4,6,7,8 I=1,2,4,6,7,8,10 I=1,2,4,6,7,8,10 I=,2,4,6,7,8,10 I=1,2,4,6,7,8,10 I=,,2,4,6,7.8,10 Ui=0 I=3,5, 9 I=3,5, 9 I=3,5,9 I=3,5, 9,10 I=3,5,9 I=3,5,9 I=1,3,5, 9 I=,3,5, 9 I=1,3,5,9 Ui=1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.25 0.25 0.1 Y1 10 10 10 10 10 10 10 10 10 Y2 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.1 Y3 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Y4 0.1036065 0.1039349 0.1030258 0.103935 0.1022372 0.1010011 0.103935 0.1039350 0.1 Y5 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 Y6 0.4744156 0.5 0.4353113 0.5 0.3919344 0.3397378 0.5 0.5 0.3071937 Y7 1.506141 1.506141 1.506141 1.506141 1.506141 1.506141 1.506141 1.506141 1.506141 Y8 10 10 10 10 10 10 7 7 10 X1 10 10 10 10 2 10 10 10 10 X2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 X3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 X4 9.711478 9.685210 9.757339 9.685210 9.821027 9.919912 9.685211 9.685201 0.1 X5 10 10 10 10 10 10 10 10 10 X6 0.4744156 2 2.5117509 2 2.864525 3.282097 2 2 3.542451 X7 10 10 10 10 10 10 10 10 10 X8 0 0 0 0 0 0 0.375 0.375 0 λ0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 λ1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 λ 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 λ 3 1 1 1 1 1 1 0.625 0.625 1 λ4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 λ5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 λ 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 λ 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 λ 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 λ 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 λ 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 λ 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 λ 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 λ 13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 λ 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 λ 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 λ 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 λ 17 0.1442610 0.1573949 0.1210303 0.157395 0.8948655E0-1 0.4004383E-01 0.157394 0.1573995 0 λ 18 0.8557390 0.8426051 0.8789697 0.842605 0.9105134 0.9599562 0.842605 0.8426005 1 λ 19 0.8976624 1 0.7412453 1 0.567737 0.3589513 1 1 0.2287746 λ 20 0.1023376 0 0.2587547 0 0.4322625 0.64104887 0 0 0.7712254 λ 21 0 0 0 0 0 0 0 0 0 λ 22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 λ 23 0 0 0 0 0 0 0 0 0 λ 24   طبق جدول 1 موثرترین وزن ها w1=0.9 و w2=0.1 است، و این بدین معنی است که اولویت تابع هدف اول بیشتر از تابع هدف دوم است.   نتیجه­گیری: در این مقاله، از روش تقریب تکه خطی برای تبدیل یک مسئله برنامه‌ریزی چند هدفه هندسی مختلط غیرمحدب به یک مسئله برنامه‌ریزی غیرخطی محدب صحیح آمیخته استفاده شده است. پس از محدب­سازی، مسئله با روش وزن­دهی حل می­شود. سپس از الگوریتم شاخه و کران غیرخطی برای بدست آوردن جواب­های صحیح استفاده می­کنیم.   فهرست منابع   1. Dinkel J.J, Ellott W.H, and Kochenberger G. A. Computational aspects of cutting – plane algorithms for geometric programming problems. Springer, Mathematical programming, 13 (1): 200-220 (1977)   2. Alves M.J., and Climaco J. An interactive reference point approach for multi-objective mixed-integer programming using branch-and-bound. Elsevier, European journal of operational research, 124(31): 478-494 (2000).   3. Leyffer J., Linderoth J., Luedtke J., Andrew M., and Muson M. Application and algorithms for mixed integer non-linear programming. Journal of physics, conference series 180(1),(2009)   4. Melo W., Fampa M., and Raupp F. Integrating non-linear branch-and-bound and outer approximation for convex mixed integer non-linear programming. Springer, Journal of global optimization 60(2): 373-389(2014)   5. Dua V. Mixed integer polynomial programming. Computer and chemical engineering, 72:387-394(2015)   6. Lundell A., and Westerlund T. solving global optimization problems using reformulations and signomial transformation. Elsevier, Computer and chemical engineering, 116: 122-134(2018)   7. Shen P., and Zhang K. Global optimization of signomial geometric programming using linear relaxation. Elsevier, Applied mathematics and computational, 150(1): 99-114(2004)   8. Lundell A., Westerlund J., and Westerlund T. Some transformation techniques with applications in global optimization. Springer, Journal of global optimization, 43 (2-3): 391-405(2009)   9. Ansari M.A., and Hasanifard F. Solution of mixed integer nonlinear and non-convex optimization problem by convexification methods based on special ordered sets. (1):71-85(2017)   10. Lundell A., Skjӓl A., and Westerlund T. A reformulation framework for global optimization. Springer, Journal of global optimization, 57(1):115-141(2013)   11. Ali F.M. Technique for solving multi-objective nonlinear programming using differential equations approach. Journal of information and optimization sciences, 18 (3): 351-357(1977)   12. Roy T.K. Multi-objective geometric programming and its application in an inventory model. Fuzzy Multi-Criteria Decision Making: 539-566(2008) 13. Ehrott M.A discussion of secularization techniques for multiple objective integer programming .Annals of operation research 147(1): 343-360(2006)   14. Ojha A, and Biswal K. Multi-objective geometric programming problem with weighted mean method. arXiv preprint arXiv: 1003.1477(2010)   15. Bazikar F, and saraj M .solving linear multi-objective geometric problems via reference point approach.Sains Malaysian 43(8): 1271-1274(2014)   16. Tsai J.F., and Lin M.H. An efficient global approach for posynomial geometric programming problems. Informs journal on computing23 (3): 483-492(2011)   17. Forest J, and Tomlin J. Branch-and bound, integer and non-integer programming. Annals of operation research 149(1): 81-87(2007)   18. Hemmeck R, Koppe M, Lee J, and Weismantel R. Non-linear integer programming.50 Years of integer programming: 561-618(2010)   19. Belotti P, Kriches C, Leyffer S, Linderott J, Luedtke J, and Mahajon A. mixed integer non-linear optimization. Publish by Cambridge University (2013)   20. Tsang C.L., Zhan Y, Zheng Q.P., and Kumar M. A mixed integer linear programming formulation generalized geometric programming using piece-wise linear approximation. European journal of operational research 245(2):360-370(2015)   21.Boyd S, Kim S.J., Vandenbergh L, and Hassibi A. A tutorial on geometric programming. Optimization and engineering8 (1): 1-67(2007)   22. Steure R.E., and Wiley. Multiple criteria optimization: theory, computation, and application. New York,(1986)   23.Hatami-Marbini A ,Rostamy-Malkhalifeh M, Agrell PJ,Tavana M.Extended symmetric and asymmetric weight assignment methods in data envelopment analysis. computers and industrial engineering 8(7):621-631(2015)   24.Razipour-Ghalehjough S, Hosseinzadeh lotfi F ,jahanshahloo G.Finding closest target for bank branches in the presence of weight restrictions using data envelopment analysis.   25. Z. Mousavi1, M. Saraj , Multi Objective Geometric Programming with Interval Coefficients: A Parametric Approach. Earthline Journal of Mathematical Sciences,Volume 2, Number 2, 2019, Pages 395-407   [1]  special ordered set (SOS2)