برآورد حداکثر درستنمایی پارامترهای توزیع نمایی-پواسون تحت سانسور فاصله ای پیش رونده نوع I با الگوریتم های نیوتن-رافسون، EM و SEM

الموضوعات : Statistics

احمد محمدی ¹ , علی شادرخ ² , مسعود یارمحمدی ³

1 - گروه آمار، دانشگاه پیام نور، تهران، ایران
2 - گروه آمار، دانشگاه پیام نور، تهران، ایران
3 - گروه آمار، دانشگاه پیام نور، تهران، ایران

تاريخ الإرسال : 24 الأحد , شوال, 1444 تاريخ التأكيد : 23 السبت , ربيع الثاني, 1446 تاريخ الإصدار : 18 الأحد , جمادى الأولى, 1447

الکلمات المفتاحية: برآورد حداکثر درستنمایی, میانگین مربع خطا , روش نیوتن-رافسون, الگوریتم EM, شبیه سازی مونت کارلو,

ملخص المقالة :

توزیع نمایی-پواسون با استفاده از ترکیب توزیع نمایی با توزیع پواسون بریده شده در صفر به عنوان مدلی برای داده های طول عمر با نرخ شکست کاهشی، تولید می شود. این مقاله به مسئله برآورد کردن پارامترهای نامعلوم توزیع نمایی-پواسون به عنوان یک مدل برای طول عمر می پردازد که نمونه ها تحت سانسور فاصله ای پیش رونده نوع I مشاهده شده اند. ما از الگوریتم های نیوتن-رافسون، بیشینه سازی کلاسیک مقادیر مورد انتظار (EM) و بیشینه سازی تصادفی مقادیر مورد انتظار (SEM) برای یافتن برآوردهای حداکثر درستنمایی (MLE) پارامترهای نامعلوم استفاده می کنیم. عملکرد برآوردگرهای SEM پیشنهادی با استفاده از یک شبیه سازی مونت کارلو نشان داده شده است و نیز روی یک مجموعه داده واقعی استفاده شده است. شبیه سازی نشان داد که عملکرد الگوریتم SEM بر مبنای میانگین مربع خطا (MSE) کاملاً رضایت بخش است و با افزایش اندازه نمونه، کارایی برآوردگرها نیز افزایش می یابد .

المصادر:

[1]حجازی، ر. ، قنبری، ی. (1390). مقدمه¬ای بر حسابداری مدیریت زیست‌محیطی، پژوهش حسابداری و حسابرسی، دوره 1، شماره 2، صص 129-150.
[2] قنبری قلعه رودخانی، م. ، وطن پرست، م. ، آزادی، ک. (1400). عملکرد مسئولیت اجتماعی و افشا اطلاعات زیست‌محیطی: آزمون نظریه توسعه پایدار با استفاده از منطق فازی، فصلنامه علمی و پژوهشی دانش حسابداری و حسابرسی مدیریت، سال دهم، شماره 40، صص 89-105.
[3] دهدار، ف. ، احمدیان، ع. (1396). گزارشگری حسابداری زیست‌محیطی، حسابدار، شماره 304-303، صص 36-41.
[4] بنی¬مهد، ب. ، طالب¬نیا، ق. ، ازوجی، ح. (1388). بررسی رابطه¬ی بین عملکرد زیست‌محیطی و عملکرد مالی، پژوهشنامه حسابداری مالی و حسابرسی، دوره 1، شماره 3، صص 149-174.
[5] حاجیان¬نژاد، ا. ، پورحیدری، ا. ، بهار مقدم، م. (1394). تدوین چارچوبی برای گزارشگری غیرمالی شرکت‌ها برمبنای چارچوب مفهومی حسابداری. فصلنامه دانش حسابداری مالی، سال دوم شماره 2 پیاپی 5، صص 7-31.
[6] Hull, J. C., Predescu, M., White, A. (2005). Bond prices, default probabilities and risk premiums. Journal of Accounting Research, 40(1), 135-172.
[7] Azizul Islam, M. (2009). Social and environmental reporting practices organizations operating in or sourcing products from, a developing country: Evidence from Bangladesh, A Thesis Submitted in Fulfilment of the Requirements for the Degree of Doctor of Philosophy, University of Dhaka.
[8] Shearer, T. (2002). Ethics and Accountability: from the for-itself to the for-the-other, Accounting, Organizations and Society, 27(6), 541-575.
[9] Gray, R. (2006), Social Environmental and Sustainability Reporting and Organizational Value Creation. Whose Value? Whose Creation?, Accounting Auditing & Accountability Journal,19(6), 793-819.
[10]نورالدین، م. ، پورزمانی، ز. (1400). افشای اطلاعات زیست‌محیطی در گزارشگری مالی، فصلنامه تحقیقات حسابداری و حسابرسی، گواهی پذیرش مقاله در شماره 55 پاییز 1401.
[11] Jenkins, H., Yakovleva, N. (2008). Corporate social responsibility in the mining industry: Exploring trends in social and environmental disclosure. Journal of Cleaner Production. 14(3-4), 271-284.
[12] Guthrie. J. E., Parker, L. D. (1990). Corporate social disclosure practice: A comparative international analysis. Advances in Public Interest accounting, 3(1-3), 159-175.
[13] مران¬جوری، م. ، علی‌خانی، ر. (۱۳۹۰). تحقیق حساب دهی اجتماعی و محیطی، مجله دانش و پژوهش حسابداری، شماره 24، صص 24- 29.
[14] O'Donovan, G., (2002). Environmental Disclosures in the Annual Report: Extending the Applicability and Predictive Power of Legitimacy Theory. Accounting, Auditing & Accountability Journal. 15(3), 344- 371.
[15] Jamil, C. Z. M., Alwiand, K., Mohammed, R. (2003). Corporate social responsibility disclosure in the annual reports of Malaysia companies: A longitudinal study. Analysis, 10(1), 139-159.
[16] Gray, R., Javad, M., Power, D. M., Sinclair C. D. (2001). Social and Environmental Disclosure and Corporate Characteristics: A Research Note and Extension. Journal of Business Finance and Accounting, 28(3-4): 327-356.
[17] Mathuva, D. M., Kiweu, M. K. (2016). Cooperative social and environmental disclosure and financial performance of savings and credit cooperatives in Kenya. Advances in accounting, incorporating. Advances in International Accounting, 35, 197–206.
[18] Cormier, D., Ledoux, M. J., Magnan, M. (2011). The Informational Contribution of Social and Environmental Disclosures for Investors. Management Decision, 49(8), 1276-1304.
[19] Nooreddin, M., Poorzamani, Z. (2021). A Model for Environmental Management Information Disclosure Requirement in Financial Reporting, International Journal of Finance and Managerial Accounting, 6, 20, 67-82.
[20] عزلتی، ف. ، نوری¬فرد، ی. ، امام¬وردی، ق. ، دارابی، ر. ، حاجیها، ز. (1400). نقش سازوکارهای نظارتی بر افشای داوطلبانه اطلاعات غیرمالی، فصلنامه علمی و پژوهشی دانش حسابداری و حسابرسی مدیریت، سال دهم، شماره 40، صص 59-70.
[21] فیضی، م. ، پورآقاجان، ع. ، نسل موسوی، س. ح. (1400). نقش قدرت شرکت در ارتباط افشای داوطلبانه اطلاعات غیرمالی و عملکرد پایداری، فصلنامه علمی و پژوهشی دانش حسابداری و حسابرسی مدیریت، سال دهم، شماره 40، صص 39-57.
[22] جامعی، ر. ، نجفی، ق. (1398). بررسی رابطه بین افشای مسئولیت اجتماعی شرکت و حق¬الزحمه حسابرسی. دانش حسابداری مالی، دوره 6 شماره 1، صص137-161.
[23] فخاری، ح. ، ملکیان، ا. ، جفایی رهنی، م. (1396). تبیین و رتبه¬بندی موالفه¬ها و شاخص¬های گزارشگری زیست¬محیطی، اجتماعی و راهبری شرکتی به روش تحلیل سلسله مراتبی در شرکت¬های پذیرفته‌شده در بورس اوراق بهادار. حسابداری ارزشی و رفتاری، سال 2، شماره 4، صص 153-187.
[24] Saaty, T. L. (1980). The analytic hierarchy. New York: McGraw-Hill.
[25] Rezaei, J. (2015). Best- worst multi criteria decision making methods. OMEGA, 53, 49–57.
[26] سلطانی‌فر، م.، زرگر، س. م. (1400). ارزیابی و رتبه‌بندی ریسک‌های امنیتی رایانش ابری بر اساس یک رویکرد ترکیبی مبتنی بر مقایسه‌های زوجی، پژوهشنامه پردازش و مديريت اطلاعات، ۳۷(۱)، ۵۸-۲۷.
[27] Rezaei, J. (2016). Best-worst multi-criteria decision-making method: Some properties and a linear model, Omega, 64, 126-30.
[28] Rezaei, J. (2020). A Concentration Ratio for Nonlinear Best Worst Method, International Journal of Information Technology & Decision Making, 19, DOI: 10.1142/S0219622020500170.
[29] Mohammadi, M., & Rezaei, J. (2020). Bayesian Best-Worst Method: A Probabilistic Group Decision Making Model, Omega, 96, 102075.
[30] Liang, F., Brunelli, M., Rezaei, J. (2020). Consistency issues in the Best Worst Method: Measurements and thresholds, Omega, 96, 102175.
[31] Liang, F., Brunelli, M., Rezaei, J. (2022). Best-Worst Tradeoff Method, Information Sciences, 610, 957-976.
[32] Liang, Y., Ju, Y., Tu, Y., & Rezaei, J. (2022). Nonadditive best-worst method: Incorporating criteria interaction using the Choquet integral. Journal of the Operational Research Society, https://doi.org/10.1080/01605682.2022.2096504.
[33] Khaira, A., Dwivedi, R. K. (2018). A State of the Art Review of Analytical Hierarchy Process, Materials Today: Proceedings, 5(2-1), 4029-4035.
[34] Abastante, F., Corrente, S., Greco, S., Ishizaka, A., Lami, I.M. (2019). A new parsimonious AHP methodology: assigning priorities to many objects by comparing pairwise few reference objects. Expert Systems With Applications, doi:https://doi.org/10.1016/j.eswa.2019.02.036.
[35] Tavana, M., Soltanifar, M., Santos-Arteaga, F. J. (2021). Analytical hierarchy process: revolution and evolution, Annals of Operations Research, https://doi. org/10. 1007/s10479-021-04432-2.

نص كامل:



دسترسي در سايتِ http://jnrm.srbiau.ac.ir

سال یازدهم، شماره پنجاه و هفتم، آذر و دی 1404

شماره شاپا: X588-2588

 

 

 

 

برآورد حداکثر درست­نمایی پارامترهای توزیع نمایی-پواسون تحت سانسور فاصله­ای پیش­رونده نوع I با الگوریتم­های نیوتن-رافسون، EM و SEM

 

 

احمد محمدی1، علی شادرخ2*¹، مسعود یارمحمدی3

 

 (1و2و3)    گروه آمار، دانشگاه پیام نور، تهران، ایران

 

 

تاريخ ارسال مقاله: 24/02/1402 تاريخ پذيرش مقاله: 05/08/1403

چکيده

توزیع نمایی-پواسون با استفاده از ترکیب توزیع نمایی با توزیع پواسون بریده شده در صفر به عنوان مدلی برای داده­های طول عمر با نرخ شکست کاهشی، تولید می­شود. این مقاله به مسئله برآورد کردن پارامترهای نامعلوم توزیع نمایی-پواسون به عنوان یک مدل برای طول عمر می­پردازد که نمونه­ها تحت سانسور فاصله­ای پیش رونده نوع I مشاهده شده­اند. ما از الگوریتم­های نیوتن-رافسون، بیشینه­سازی کلاسیک مقادیر مورد انتظار (EM) و بیشینه­سازی تصادفی مقادیر مورد انتظار (SEM) برای یافتن برآوردهای حداکثر درست­نمایی (MLE) پارامترهای نامعلوم استفاده می­کنیم. عملکرد برآوردگرهایSEM  پیشنهادی با استفاده از یک شبیه­سازی مونت کارلو نشان داده شده است و نیز روی یک مجموعه داده واقعی استفاده شده است. شبیه­سازی نشان داد که عملکرد الگوریتمSEM  بر مبنای میانگین مربع خطا (MSE) کاملاً رضایت­بخش است و با افزایش اندازه نمونه، کارایی برآوردگرها نیز افزایش می­یابد.

 

 

 

واژه‌هاي کليدي: برآورد حداکثر درست­نمایی، میانگین مربع خطا، روش نیوتن-رافسون، الگوریتم EM، شبیه­سازی مونت کارلو.

1.       مقدمه

آزمایش‌های بقاء و قابلیت اطمینان روش‌های مؤثری برای ارزیابی طول عمر محصول در شرایط عملیاتی مشخص شده هستند. چنین آزمایشاتی در کل بر روی واحدهای یکسان قبل از عرضه محصول، انجام می­شوند و زمان‌های خرابی مشاهده شده ثبت می­شوند و به منظور ارزیابی و پیش‌بینی ویژگی­های محصول مورد بررسی قرار می‌گیرند. با توجه به محدودیت­های زمانی، هزینه­های مالی، یا خرابی سهوی، چنین آزمایشاتی قبل از اینکه همه اجزای آزمایش شده در طول عمر خراب شوند، قطع می­شوند. در چنین شرایطی از تکنیک­های سانسور کلاسیک استفاده می­شود. سانسور نوع I و نوع II دو روش متدوال هستند که در آن­ها آزمایش به ترتیب پس از مدتی که از قبل تعیین شده و یا پس از مشاهده تعداد از قبل مشخص شده، خرابی­ها متوقف می­شود در نتیجه داده­های جمع­آوری شده اصطلاحاً ناقص هستند. با این حال، هیچ یک از این سیستم­های سانسور یاد شده، به پژوهشگر اجازه نمی­دهد تا قبل از پایان آزمایش، واحدی زنده را از آزمایش حذف کند. علاوه بر این در بسیاری از سناریوهای دنیای واقعی، برای مثال در تحقیقات پزشکی و بالینی، آزمایش‌­کنندگان قادر به نظارت مستمر بر آزمون­ها نیستند. در چنین حالاتی از روش سانسور فاصله­ای استفاده می­شود که در آن، داده­های طول عمر یا زمان­های خرابی اغلب در فواصل زمانی از قبل مشخص شده، ثبت می­شوند. این سانسور نیز اجازه حذف واحدهای بین آزمایش را نمی­دهد. مفهوم سانسور پیش­رونده، که شامل حذف واحدهای تحت آزمایش است، اخیراً مطرح و مورد توجه واقع شده است. آگاروالا با ترکیب مفاهیم سانسور پیشرونده، سانسور نوعI  و سانسور فاصله­ای، پیشگام سانسور فاصله­ای پیش­رونده نوعI  شد[2] . این سانسور به صورت زیر مدل­بندی آماری می­شود.

فرض کنید در زمان  یک نمونه تصادفی از  واحد تحت آزمایش بقاء قرار می­گیرند و برای  در زمان بازرسی  تعداد کل خرابی­های مشاهده شده در بازه زمانی  برابر  باشد. در این صورت تعداد واحدهای سالم (یا زنده) در زمان بازرسی  که با  نشان خواهیم داد، یک متغیر تصادفی است. بعلاوه فرض کنید تعداد کل واحدهای حدف شده از آزمایش در زمان بازرسی  برابر  باشد بنابراین . برای تعیین  ها  می­توانیم نسبت معین شده از قبل مانند  از واحدهای سالم در زمان بازرسی  را  بگیریم؛ یعنی  و یا کمترین مقدار بین تعداد مشخص شده از قبل و  را می­توانیم به عنوان  در نظر بگیریم. روشن است ؛ یعنی در زمان  همه واحدهای سالم از آزمایش حذف و آزمایش تمام می­شود. داده­های حاصل از این نوع سانسور را می­توان به صورت  نشان داد.

بسیاری از مجموعه داده­های طول عمر از نظر آماری با استفاده از سانسور فاصله­ای پیش رونده نوع I تجزیه و تحلیل شده­اند. به عنوان نمونه می­توانیم به داده­های مطالعه112  بیمار مبتلا به میلوم سلول پلاسما در [5]، مجموعه داده­های مطالعه HMO-HIV، در [18] و داده­های زمان بقاء از عمل جراحی گروهی متشکل از 374 بیمار در [13] اشاره کنیم. بعلاوه برای خانواده توزیع­های وایبل نمایی شده در [3]، برای توزیع وایبل در [12]، برای توزیع رایلی تعمیم­یافته در [11[، برای توزیع گاما در [21]، برای توزیع نمایی تعمیم­یافته در [6] و [14[، برای توزیع وایبل و توزیع­های نمایی تعمیم­یافته در [15]، برای توزیع لاگ-نرمال در [16]، و برای توزیع بور12 در [1] روش­های استنتاج آماری تحت این سانسور مطالعه شده است. این مقاله توزیع نمایی-پواسون (Exponnential-Poisson) را تحت سانسور فاصله­ای پیش ­رونده نوعI  مورد بحث قرار می­دهد. توزیع نمایی-پواسون(EP)  به ­صورتی که در ادامه آمده است با ترکیب توزیع نمایی با توزیع پواسون بریده شده در صفر به عنوان مدلی برای داده­های طول عمر با نرخ شکست کاهشی، در سال 2007 توسط جوشکون کوش معرفی شد [10].

فرض کنید  یک نمونه تصادفی از توزیع نمایی با پارامتر  با تابع چگالی احتمال
 باشد و  یک متغیر تصادفی با توزیع پواسن بریده شده در صفر با پارامتر  باشد؛ یعنی. قرار دهید  که در آن  و  مستقل از همند. در این صورت داریم  و تابع چگالی احتمال و تابع توزیع تجمعی کناری (حاشیه­ای)  به ترتیب به صورت زیر است.

 

                  (1)

 

               (2)

 

تعریف1. یک متغیر تصادفی با تابع چگالی احتمال (1) و تابع توزیع تجمعی (2) را دارای توزیع نمایی-پواسون می­نامیم و با  نشان می­دهیم که در آن پارامترهای  و  به ترتیب پارامتر مقیاس و پارامتر شکل توزیع هستند.

در اینجا باید به خوانندگان این مقاله خاطر نشان کرد که توزیع دیگری برای طول عمر، موسوم به توزیع پواسن-نمایی (Poisson-Exponential) در سال 2011 توسط کانچو و همکارانش با تعریف  ارایه شده است [4] که مورد بحث این مقاله نیست. توزیع نمایی-پواسون کاربرد گسترده­ای در اقتصاد، پزشکی، تجارت و علوم مالیه یا اکچواری پیدا کرده است. احتمال مشاهده مقدار صفر در توزیع‌هایی مانند گاما، وایبل و لاگ-نرمال که اغلب در آزمایش‌های طول عمر یا بقاء استفاده می‌شوند، صفر است اما در توزیع EP برای هر و  مشاهده مقدار صفر، احتمال غیر صفر دارد؛ یعنی . این خاصیت اجازه می­دهد تا این توزیع به یک گزینه مناسب برای استفاده در مسائلی تبدیل شود که شامل مقادیر صفر است؛ مثلا در مطالعات محیطی وقوع مقادیر صفر در طول مطالعه بارش، به ­ویژه در فصول خشک معمول است. چنین رفتاری در مطالعات قابلیت اطمینان نیز یافت می­شود که خرابی­های آنی ممکن است به دلیل کیفیت پایین­تر یا مشکلات در طول ساخت قطعات رخ دهد. برای شرح جزئیات این توزیع و خواص آن خواننده را به [10] ارجاع می­دهیم. این مقاله با فرض اینکه که داده­ها با استفاده از سانسور فاصله­ای پیش­رونده نوع I جمع­آوری شده­اند، بر مساله روش­های برآورد پارامترهای ناشناخته توزیع EP می­پردازد. بخش 2 به روش برآورد حداکثر درست­نمایی (MLE) و مشکلات پیش رو می­پردازد. بخش3  روش نیوتن رافسون را مورد بحث قرار می­دهد. در بخش 4 برآوردگرها را با استفاده از روش مشهور بیشینه­سازی مقادیر مورد انتظار (EM) و بیشینه­سازی تصادفی مقادیر مورد انتظار (SEM) به دست می­آوریم. در بخش 5 تجزیه و تحلیل بر مبنای یک مجموعه داده واقعی و شبیه­سازی شده انجام و نتایج در بخش 6 ذکر شده است.

 

2.       برآورد حداکثر درست­نمایی

هدف این بخش یافتن برآوردگرهای حداکثر درست­نمایی (MLE) برای پارامترهای نامعلوم توزیع EP است، هنگامی که داده­ها با سانسور فاصله­ای پیش­رونده نوع I مشاهده می­شوند. فرض کنید n واحد که طول عمر آنها توزیع  دارند در زمان ، برای آزمایش بقاء استفاده می­شوند. بعلاوه با قراردادهای بخش 1 فرض کنید  مشاهدات ما تحت سانسور فاصله­ای پیش­رونده نوع  Iدر زمان­های از پیش تعیین شده  باشند. در این صورت مشاهدات، دارای تابع درست­نمایی (3) خواهند بود که در آن  تابع توزیع تجمعی (2) است.

 

                      (3)

 

 

با استفاده از  ، برآوردهای حداکثر درست­نمایی  ، جواب معادلات (4) و (5) زیر است.

 

 

     (4)

 

 

                                                                             (5)

 

با این حال، از آنجایی که معادلات بالا جواب با فرم بسته ندارند، روش­های عددی باید اعمال شود. روش نیوتن-رافسون(NR)  رایج­ترین رویکردی است که در حال حاضر مورد استفاده قرار می­گیرد. عیب اصلی این تکنیک این است که به مشتق دوم برای هر تکرار نیاز دارد که به دلیل ساختار پیچیده تابع درست­نمایی می­تواند محاسباتی سخت و خسته­کننده داشته باشد.

 

3.       نیوتن-رافسون

با روش نیوتن-رافسون (NR) می­توانیم مقدار برآورد حداکثر درست­نمایی پارامترهای نامعلوم را به طور تقریبی پیدا کنیم. فرض کنید . اگر  را به عنوان یک تخمین اولیه در این روش در نظر بگیریم، برآورد مرحله بعد عبارت است از که در آن

 

 

 

و نیز  و  که در معادلات (4) و (5) آمده­اند. علاوه بر آن­ها

 

 

 

که مشتق­های جزیی در آن به­صورت (6) و (7) و (8) است که در زیر به دست می­آیند.  برای تکرار بعدی، به جای  قرار می­گیرد و این چرخه ادامه پیدا می­کند تا  یعنی جواب­های تقریبی معادلات (4) و (5) به دست آید.

 

                                                                                                 (6)

 

 

 

           (7)

 

 

  (8)

 

4.       الگوریتم­های بیشینه­سازی مقادیر مورد انتظار

1.4. الگوریتم EM

دمپستر و همکاران در سال 1977 تکنیک بیشینه­سازی مقادیر مورد انتظار شرطی (الگوریتم EM) را برای پیدا کردن برآورد حداکثر درست­نمایی پارامترهای نامعلوم ارائه کردند[8]. از این روش وقتی استفاده می­شود که با مشاهدات ناقص (داده­های گم شده) کار می­کنیم مثل داده­های سانسور فاصله­ای که ناقص ثبت شده­اند. الگوریتم EM شامل دو مرحله است؛ مرحله  Eیا پیدا کردن مقادیر مورد انتظار (Eexpectation) و مرحله M یا بیشینه­سازی (Maximization). مرحله E در هر تکرار، داده­های گم شده را با مقادیر مورد انتظار شرطی (توسط مشاهدات ثبت شده و پارامترهای برآورد شده تکرار قبل) در تابع درست­نمایی مشاهدات کامل جایگزین می­کند و مرحله M، شامل پیدا کردن برآوردهای حداکثر درست­نمایی پارامترها از روی لگاریتم تابع درست­نمایی حاصل از محاسبات مرحله E. در واقع برآوردهای الگوریتم EM به شکل برآوردهای حداکثر درست­نمایی پارامترهای داده­های کامل است با این تفاوت که به جای مقدارهای ثبت نشده یا ناقص ثبت شده، از مقدار برآورد شده آنها در تکرار قبل استفاده می­کنیم.

فرض کنید فرض کنید n واحد که طول عمر آنها توزیع  دارند در زمان ، برای آزمایش بقاء استفاده می­شوند. بعلاوه با قراردادهای بخش 1 فرض کنید  مشاهدات ما تحت سانسور فاصله­ای پیش­رونده نوع  Iدر بازه زمان­های از پیش تعیین شده  باشند. یادآوری می­شود که در این سانسور به جای زمان دقیق خرابی­ها،  ها که تعداد خرابی­ها در بازه زمانی  هستند، ثبت می­شود و بنابراین داده­های جمع­آوری شده به نوعی ناقص هستند. حال فرض کنید برای  و  طول عمر دقیق کل خرابی­های مشاهده شده را با  ها نشان دهیم همچنین  ها برای  و  طول عمر دقیق کل واحدهای سانسور شده باشند. بنابراین داده­های کامل را می­توان ترکیبی از  های ناقص ثبت شده و  های ثبت نشده در نظر گرفت. با استفاده از (2)، لگاریتم تابع درست­نمایی برای نمونه کامل را به شکل زیر داریم.

 

 

 

 

 

 

با مساوی صفر قرار دادن معادلات حاصل از مشتقات جزیی  نسبت به  و   به ترتیب روابط (9) و (10) زیر نتیجه می­شوند.

 

                      (9)

 

                                                                                     (10)

بنابراین در مرحله E ابتدا مقادیر مورد انتظار شرطی زیر برای تخمین مقادیر به اصطلاح گم شده محاسبه
می­شوند.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

حال اگر  را به عنوان یک تخمین اولیه برای مقدار واقعی  در نظر بگیریم، برآورد  در تکرار  الگوریتم EM را با  نشان دهیم، مرحله M با استفاده از روابط (9) و (10) برآورد پارامترها در تکرار  به صورت (11) و (12) زیر خواهد بود.

زمانی که  برای یک مقدار خیلی کوچک و مثبت صدق کند، همگرایی مطلوب وجود دارد و این الگوریتم می­تواند خاتمه یابد.

ملاحظه می­شود که مقادیر مورد انتظار بالا، فرم بسته ندارند و روش­های عددی لازم است اما به هر حال با نرم­افزارهایی مانند R قابل محاسبه هستند. در زیربخش بعد به عنوان راه حل دیگر، الگوریتم بیشینه­سازی تصادفی مقادیر مورد انتظار (SEM) را استفاده می­کنیم.

 

            (11)

 

                                                                                              (12)

 

2.4. الگوریتم SEM

در اجرای مرحله E الگوریتم EM ممکن است محاسبات پیچیده و غیرقابل حل دستی وجود داشته باشد.
روش­های مختلفی از طرف پژوهشگران برای کم کردن هزینه­های محاسباتی موجود پیشنهاد شده است. به ­عنوان نمونه ­می­توانیم به استفاده از روش انتگرال­­گیری مونت کارلو در [19] اشاره کنیم. با این وجود، اغلب در مرحله M، مساله بیشینه­کردن همچنان پیچیده و زمان بر باقی می­ماند [20]. در [9] خواص مجانبی برآورد­های حاصل از الگوریتم SEM با ایده جایگزینی مرحله E با یک مرحله تصادفی (Stochastic) و اجرای آن از طریق شبیه­سازی ارایه شد. در این الگوریتم به جای ماکزیمم کردن امید ریاضی شرطی لگاریتم تابع درست­نمایی مشاهدات کامل، ابتدا داده­های گم شده را از توزیع شرطی داده­های گم شده (به شرط مشاهدات ثبت شده و پارامترهای برآورد شده تکرار قبل) تولید می­کنیم سپس مرحله M اجرا می­شود. نشان داده شده است که روشSEM  از نظر بار محاسباتی از روش EM مناسب‌تر است [22] و [23]. در اینجا از این ایده استفاده خواهیم کرد.

ابتدا فرض کنید تعداد  مقدار مستقل  را برای  و  از توزیع شرطی زیر داریم.

 

 

 

 

بعلاوه تعداد  مقدار مستقل  را برای  و  از توزیع شرطی زیر داریم.

 

 

 

 

حال با استفاده از روابط (9) و (10) برآورد MLE پارامترها در تکرار  در روش  SEMاز روابط (13) و (14) به دست خواهد آمد. ما در بخش 1.5 ابتدا با استفاده از 10000 بار شبیه­سازی مقادیر گم شده از
توزیع­های شرطی بالا، مقادیر مورد انتظار را با روش میانگین­گیری مونت کارلو حساب و سپس برآورد پارامترها را به دست آورده­ایم. در ضمن این چرخه را 100 بار تکرار کرده­ایم و میانگین برآوردها را گزارش کرده­ایم.

اگر برآورد پارامترها را بعد از خاتمه یافتن الگوریتم­ها با  نشان دهیم، ماتریس اطلاع فیشر مشاهده شده را به صورت زیر می­توان به دست آورد که درایه­های آن با روابط (6) تا (8) که در بخش 3 داده شده است، محاسبه می­شوند.

 

 

 

فاصله­های اطمینان تقریبی  برای  و  به ترتیب  و  خواهند بود که منظور از ، صدک  توزیع نرمال استاندارد است.

 

(13)

 

  (14)

 

5.       تحلیل داده­های شبیه‌سازی و واقعی

1.5. شبیه‌سازی

هدف این بخش بررسی عملکرد برآوردگرهای پیشنهادی از طریق یک مطالعه شبیه‌سازی است. ابتدا برایm  و n معلوم، زمان‌های بازرسی  از پیش تعیین شده و  های از پیش تعیین شده، داده­های  را تحت سانسور فاصله‌ای نوع I با استفاده از الگوریتمی که در [2] پیشنهاد شده است، به شرح زیر تولید می­کنیم.

بر طبق این الگوریتم ابتدا  را تولید می­کنیم. سپس  تولید می­شود. بعلاوه با  ها ها برای  از توزیع دو جمله­ای زیر تولید می­شوند.

 

 

 

 

در شبیه­سازی، برای تعداد واحدهای تحت آزمایش مقادیر  و زمان­های  را در نظر گرفتیم. همچنین سه طرح زیر را برای سانسور استفاده کردیم.

 

 

 

 

 

 

 

توجه کنید که طرح  همان سانسور فاصله­ای معمولی نوعI است. با استفاده از این مقادیر بالا و توزیع­های EP(0.5,2.5) و EP(2,1)، داده­های مورد نیاز را تولید کردیم. میانگین برآوردهای حداکثر درست­نمایی پارامترها و مقادیر میانگین مربعات خطای (MSE) آن­ها به­دست آمده بر اساس 100 تکرار با استفاده از الگوریتم­هایNR ،EM  وSEM  در جدول (1) و جدول (2) به ترتیب برای هر دو توزیع گزارش شده است.

 

 

 

جدول(1) برآوردهای MLE برای پارامترهای توزیع EP(0.5 , 2.5) از سه الگوریتم با 100 تکرار

 

 

 

 

 

جدول(2) برآوردهای MLE برای پارامترهای توزیع EP(2 , 1) از سه الگوریتم با 100 تکرار

	الگوریتم	SEM				EM						NR
	n	20	30	50	100	150	200	20	30	50	100	150	200	20	30	50	100	150	200
طرح		0.5179	0.5127	0.5167	0.4888	0.4931	0.4954	0.8395	0.6997	0.7974	0.5555	0.7009	0.6309	2.0787	1.2514	1.0459	0.9235	0.9064	0.8832
		0.0629	0.0555	0.0573	0.0006	0.0014	0.0003	0.9813	0.5128	0.6833	0.1573	0.3743	0.2571	0.8513	0.0611	0.0324	0.3935	0.7058	0.0678
		2.6906	2.5658	2.4847	2.553	2.4802	2.5075	2.5379	2.4718	2.3423	2.5187	2.3621	2.4478	3.0129	2.8877	2.7774	2.7297	2.6565	2.6191
		0.834	0.2694	0.151	0.0897	0.0495	0.0374	1.1434	0.4359	0.3967	0.1607	0.1983	0.1451	10.08	5.2579	1.4416	4.3872	7.7222	7.7135
طرح		0.5637	0.4906	0.4945	0.4848	0.4928	0.4924	0.8632	0.8252	0.7415	0.7312	0.5913	0.6074	0.8262	0.81	0.8223	0.8056	0.8055	0.8096
		0.1816	0.0046	0.002	0.0009	0.0005	0.0003	0.9317	0.7732	0.6126	0.515	0.2012	0.1978	7.3298	2.4317	0.0086	0.6628	1.7693	12.689
		2.5552	2.544	2.583	2.5066	2.506	2.5012	2.4328	2.3778	2.464	2.3757	2.5051	2.4952	2.6785	2.683	2.6695	2.6621	2.6437	2.6275
		0.6085	0.2647	0.214	0.0683	0.0617	0.0513	0.9754	0.5834	0.4663	0.3018	0.1768	0.1513	0.2125	13.773	12.546	0.5896	1.5333	0.3366
طرح		0.6001	0.5989	0.4877	0.4871	0.4918	0.4991	0.849	1.0981	0.6703	0.7397	0.6319	0.5678	0.7641	0.7854	0.7728	0.7636	0.7639	0.7544
		0.2803	0.2499	0.0012	0.0005	0.0003	0.0002	1.092	1.3513	0.4407	0.5285	0.2597	0.121	12.916	2.5614	0.0468	0.8437	0.309	0.315
		2.5304	2.5371	2.4851	2.4982	2.5296	2.5074	2.4338	2.2784	2.396	2.3613	2.4501	2.4604	2.6629	2.6471	2.6405	2.6332	2.621	2.6149
		0.4267	0.3517	0.1666	0.0752	0.0427	0.038	0.7422	0.7607	0.3565	0.2821	0.155	0.0956	12.325	0.0103	6.3219	8.656	1.8806	5.561

 

 

در این جدول­ها برآوردهای به دست آمده با استفاده از الگوریتم­هایEM  وSEM  تقریباً برای همه طرح­های در نظر گرفته شده به هم نزدیک هستند. با این حال، برآورد‌های روش NR اندکی بیشتر از برآورد‌های روش­های دیگر است. MSE برآوردگرها با استفاده از روش SEM در مقایسه با روش­های دیگر کوچکتر است. از سوی دیگر، روش NR دارای کمترین کارایی بین روش­های دیگر است. نتایج نشان می­دهد که با افزایش حجم نمونه، مقادیر برآورد شده پارامترها به مقادیر واقعی نزدیکتر شده و کارایی نیز افزایش می­یابد.

جدول (3) و جدول (4) که به ترتیب از جدول (1) و جدول (2) به‌دست‌ آمده­اند، میانگین مقادیر برآورد پارامترها و میانگین MSE های آن­ها را برای سه الگوریتم را نشان می­دهند. جدول (3) نشان می­دهد که نتایج روش SEM نزدیک‌ترین تخمین‌ها (یعنی 0.511561 ،2.531422) را به مقدار واقعی‌ پارامترها (یعنی0.5 ، 2.5) دارد و میانگین مقادیر MSE برای این الگوریتم، حداقل است. جدول (4) نیز نشان می­دهد که نتایج روش SEM نزدیک‌ترین تخمین‌ها (یعنی 1.9799 ،1.024122) را به مقدار واقعی‌ پارامترها (یعنی 2 ،1) دارد همچنین میانگین مقادیر MSE نیز برای این الگوریتم، حداقل است.

 

جدول (3) میانگین برآوردهای پارامترهای توزیع EP(0.5 , 2.5) از سه الگوریتم با 100 تکرار

	الگوریتم	SEM						EM						NR
	n	20	30	50	100	150	200	20	30	50	100	150	200	20	30	50	100	150	200
طرح		1.8106	1.9215	1.9835	2.0132	2.0169	2.0141	1.5564	1.7435	1.7833	1.811	1.828	1.8853	1.5677	2.1743	2.2905	2.2168	2.0856	2.0142
		0.3551	0.169	0.0834	0.0251	0.0095	0.0079	1.4338	1.2677	0.4472	0.3446	0.2545	0.1736	2.4551	0.4235	2.6584	7.7856	1.4356	0.6324
		1.1255	1.0688	1.0317	1.0011	0.9907	0.9865	1.2884	1.1853	1.1265	1.1014	1.0756	1.0408	1.7261	1.5776	1.4859	1.4324	1.3954	1.3608
		0.1738	0.1245	0.043	0.0143	0.0053	0.0044	0.4093	0.2649	0.1169	0.1105	0.0618	0.0303	0.9809	2.1193	11.139	0.2507	1.5681	0.1182
طرح		1.9307	1.9586	2.0308	1.9936	2.0281	2.002	1.7699	1.7516	1.7913	1.8357	1.8973	1.8784	2.6177	2.7228	2.7294	2.7525	2.6377	2.5575
		0.1989	0.196	0.0291	0.0189	0.0129	0.0093	1.2597	1.0446	0.3735	0.2448	0.1806	0.175	0.149	0.0001	0.6559	1.3266	0.0065	0.1357
		1.0569	1.0531	1.0036	0.9731	0.9998	0.9772	1.1901	1.1931	1.1235	1.0527	1.061	1.0349	1.3993	1.434	1.438	1.4197	1.4105	1.3938
		0.1359	0.1218	0.0161	0.0116	0.0069	0.0057	0.3492	0.3214	0.1277	0.0886	0.0502	0.0477	12.575	8.4211	1.1836	1.3706	0.4117	0.6881
طرح		1.9138	1.9686	1.9776	2.0162	2.025	2.0334	1.793	1.9248	1.7016	1.8172	1.8136	1.9303	2.965	3.0505	3.0197	2.9586	2.9141	2.8663
		0.2723	0.1668	0.0406	0.0139	0.0121	0.0093	1.2394	0.6003	0.4645	0.2814	0.2858	0.1403	15.366	0.9574	0.4108	2.6016	0.6358	16.606
		1.098	1.0756	1.0061	0.9894	0.9939	1.0032	1.1871	1.1217	1.1503	1.0831	1.0916	1.0498	1.4026	1.4013	1.4011	1.3934	1.3846	1.3729
		0.1321	0.0802	0.0323	0.0081	0.0066	0.005	0.2417	0.1631	0.1878	0.0798	0.0772	0.0366	2.1271	3.6771	1.1819	0.0082	3.2348	0.4609

 

جدول (4) میانگین برآوردهای پارامترهای توزیع EP(2 , 1) از سه الگوریتم با 100 تکرار

الگوریتم	SEM	EM	NR
هامیانگین	0.511561	0.730028	0.920694
هامیانگین	0.050017	0.555044	2.444167
هامیانگین	2.531422	2.428400	2.692622
هامیانگین	0.211133	0.418178	5.574900

 

2.5. تحلیل یک مجموعه داده واقعی

برای نشان دادن عملکرد روش­های مورد استفاده در این مقاله، داده­های جمع­آوری شده در تحقیقی را بررسی می­کنیم که شامل زمان بقاء برای 112 بیمار مبتلا به سرطان پوست بدخیم با منشا سلول­های خونی است که در موسسه ملی سرطان (N.C.I) درمان شده بودند .[7] این مجموعه داده در جدول )5( ارائه شده است که در آن تعداد بیمارانی را که در پایان بازه­های زمانی  به علت زنده ماندن از مطالعه کنار گذاشته شده­اند را با  ها نشان داده­ایم. همچنین تعداد بیمارانی که به میل خودشان از ادامه درمان انصراف داده­اند را با  ها نشان داده­ایم. اگر چه این اعداد سانسور پیش­رونده قبل از تحقیق تعیین نشده­اند، این داده­ها برای برازش توزیع وایبل با پارامتر شکل  و پارامتر مقیاس  در [12] استفاده شده است. ما نیز در این مقاله استنباط­های آماری را بر اساس آن­ها انجام داده­ایم. نتایج برازش توزیع  به داده­ها شرح زیر است.

برآوردهای پارامترها در جدول (6) داده شده­اند. آماره آزمون نیکویی برازش کلموگروف-اسمیرنوف (K-S) را در اینجا به صورت  گرفته­ایم که در آن  و  برآورد پارامترها از روش SEM است و نیز توزیع تجربی برای مشاهدات را به صورت زیر گرفته­ایم.

 

که در آن  و همچنین  برای . مقدار آماره آزمون کلموگروف-اسمیرنوف برای برازش توزیع EP به مشاهدات 0.0961 و همچنین مقدار شاخص منفی لگاریتم تابع درست­نمایی مشاهدات 194.55 به دست آمد که این مقادیر برای برازش توزیع وایبل در [12] به ترتیب 0.0972 و 198.43 گزارش شده است. همچنین بر اساس مشاهدات جمع­آوری شده جدول (5) بازه­های اطمینان  تقریبی برای  و  به ترتیب (0.8153, 0.8578) و (0.0334, 0.0368) به دست آمد.

 

جدول (5) داده­های جمع­آوری شده بیماران در موسسه ملی سرطان (N.C.I)

الگوریتم	SEM	EM	NR
هامیانگین	1.979900	1.806233	2.563383
هامیانگین	0.090561	0.567294	3.013444
هامیانگین	1.024122	1.119828	1.434967
هامیانگین	0.051533	0.153594	2.862017

 

جدول (6) برآوردهای پارامترهای توزیع  برای داده­های جدول (5) از سه الگوریتم

بازه زمانی درمان (برحسب ماه)	تعداد بیماران تحت درمان
	112	18	1
	93	16	1
	76	18	3
	55	10	0
	45	11	0
	34	8	1
	25	13	2
	10	4	3
	3	1	2
	0	0	0

 

6.       نتیجه­گیری

در این مقاله ما داده­های طول عمر را که دارای توزیع EP هستند، تحت سانسور بازه­ای پیش رونده نوع I در نظر گرفتیم. مشاهده کردیم که MLEهای پارامترهای ناشناخته توزیع، فرم بسته­ای ندارند و اجرای الگوریتم EM در مرحله E نیاز به روش­های عددی دارد. به عنوان یک راه حل این مشکلات، الگوریتم SEM را با استفاده از روش مونت کارلو برای بدست آوردن ­MLEها در نظر گرفتیم. شبیه­سازی نشان داد که در مقایسه بین برآوردهای به دست آمده توسط الگوریتم SEM و برآوردهای الگوریتم­های NR وEM. ، عملکرد الگوریتم SEM براساس میانگین مربعات خطا کاملاً رضایت­بخش است و با افزایش حجم نمونه، مقادیر برآورد شده پارامترها به مقدار واقعی آن­ها نزدیکتر می­شود و کارآیی برآوردکننده­ها نیز افزایش می­یابد. یک مجموعه داده واقعی نیز به ­عنوان یک مثال در نظر گرفتیم و مشاهده کردیم با برآوردهای روش SEM، توزیع EP به داده­های جمع­آوری شده برازش قابل قبول دارد.

COPYRIGHTS

© 2022 by the authors. Lisensee PNU, Tehran, Iran. This article is an open access article distributed under the terms and conditions of the Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY4.0) (http:/creativecommons.org/licenses/by/4.0)

 

 

فهرست منابع

 [1] Arabi Belaghi, R. & Noori Asl, M. & Sukhdev Singh. (2017). On estimating the parameters of the Burr XII model under progressive type-I interval censoring. Journal of Statistical Computation and Simulation, 87(16), 3132-3151.

[2] Aggarwala, R. (2001). Progressive interval censoring: Some mathematical results with applications to inference. Communications in Statistics-Theory and Methods, 30, 1921–1935.

[3] Ashour, S.K., & Afify, W.M. (2007). Statistical analysis of exponentiated Weibull family under type I progressive interval censoring with random removals. Journal of Applied Sciences Research 3(12), 1851–1863.

[4] Cancho, V.G., & Louzada-Neto, F., & Barriga, G.D.C. ( 2011). The Poisson-Exponential lifetime model. Computational Statistics and Data Analysis, 55(1), 677–686.

[5] Chen, D.G, & Lio Y.L. (2010). Parameter estimations for generalized Exponential distribution under progressive type-I interval censoring. Computational Statistics and Data Analysis, 54(6), 1581–1591.

[6] Chen, D.G, & Lio Y.L, & Jiang, N. (2013). Lower confidence limits on the generalized Exponential distribution percentiles under progressive type-I interval censoring. Communications in Statistics-Simulation and Computation, 42(9), 2106–2117.

[7] Carbone, P.P., & Kellerhouse, L.E. & Gehan, E.A. (1967). Plasmacytic myeloma: A study of the relationship of survival to various clinical manifestations and anomalous protein type in 112 patients. The American Journal of Medicine, 42(6), 937–948.

[8] Dempster, A.P., & Laird, N.M., & Rubin, D.B. (1977). Maximum likelihood from incomplete data via the EM algorithm. Journal of Royal Statistical Society series B (Methodological), 39(1), 1–22.

[9] Diebolt, J., & Celeux, G. (1993). Asymptotic properties of a stochastic EM algorithm for estimating mixing proportions. Communications in Statistics-Stochastic Models, 9(4), 599–613.

[10] Kus, C. (2007). A new lifetime distribution. Computational Statistics and Data Analysis, 51(9), 4497–4509.

[11] Lio, Y.L, & Chen, D.G., & Tsai, T.R. (2011). Parameter estimations for generalized Rayleigh distribution under progressively type-I interval censored data. Open Journal of Statistics, 1(2), 46– 57.

[12] Ng, H.K.T, & Wang, Z. (2009). Statistical estimation for the parameters of Weibull distribution based on progressively type-I interval censored sample. Journal of Statistical Computation and Simulation, 79(2), 145–159.

[13] Pradhan, B., Gijo, E. (2013). Parameter estimation of lognormal distribution under progressive type-I nterval censoring. Technical report no. sqcor-2013-02.

[14] Peng, X.Y., & Yan, Z.Z. (2013). Bayesian estimation for generalized Exponential distribution based on progressive type-I interval censoring. Acta Mathematicae Applicatae Sinica, English Series , 29, 391–402.

[15] Lin, Y.J., & Lio, Y.L. (2012) Bayesian inference under progressive type-I interval censoring.  Journal of Applied Statistics, 39, 1811–1824.

[16] Lin, C.T., & Wu, S.J.S., & Balakrishnan, N. (2009). Planning life tests with progressively type-I interval censored data from the lognormal distribution. Journal of Statistical Planning and Inference, 139(1), 54–61.

[17] Wingo, D.R. (1993). Maximum likelihood estimation of burr xii distribution parameters under type II censoring. Microelectronics Reliability, 33(9), 1251–1257.

[18] Singh, S., & Tripathi, Y.M. (2018). Estimating the parameters of an inverse Weibull distribution under progressive type-I interval censoring. Statatical Papers, 59, 21-56.

[19] Wei, G.C.G., & Tanner, M.A. (1990). A Monte Carlo implementation of the EM algorithm and the poor man’s data augmentation algorithms. Journal of the American Statistical Association, 85, 699–704.

[20] Wang, F.K., & Cheng, Y.F. (2010). EM algorithm for estimating the burr XII parameters with multiple censored data. Quality and Reliability Engineering, 26(6), 615–630.

[21] Xiuyun, P., & Zaizai, Y.L. (2011). Parameter estimations with gamma distribution based on progressive type-I interval censoring. 2011 IEEE International Conference on Computer Science and Automation Engineering, Shanghai, China, 1, 449-453.

[22] Tregouet, D.A, & Escolano, S., & Tiret L, et al. (2004). A new algorithm for haplotype-based association analysis: the stochastic EM algorithm. Annals of Human Genetics, 68(2), 165–177.

[23] Zhang, M., & Ye, Z., & Xie, M. (2014). A stochastic EM algorithm for progressively censored data analysis. Quality and Reliability Engineering International, 30(5), 711–722.

 

الگوریتم	SEM	EM	NR
	0.83657	0.83664	0.89872
	0.03512	0.03511	0.034314

---

[1] *. عهده­دار مکاتبات:                                                                                                               Email: [e-mail] 

---