مشتق تابع، تعمیم تعریف کاراتئودُری

الموضوعات :

علی پارسیان ¹

1 - گروه ریاضی، دانشگاه تفرش، تفرش، ایران

تاريخ الإرسال : 13 الجمعة , ربيع الأول, 1442 تاريخ التأكيد : 04 الإثنين , شعبان, 1443 تاريخ الإصدار : 18 الإثنين , شعبان, 1443

الکلمات المفتاحية: ", Mean value theorem", , ", Rolle', Cauchy', s mean value theorem", , ", Taylor', s theorem",

ملخص المقالة :

چکیده:تعریف متداول مشتق، مجموعة تابع های مشتق پذیر را بسیار کوچک تر از مجموعة تابع های پیوسته می سازد. بسیاری از تابع های یک متغیری با تعریف موجود مشتق پذیر نیستند و بررسی تغییرات آنها به کمک تعریف موجود مشتق میسّر نیست. در این مقاله، با استفاده از تعریف کاراتئودری، ابتدا به ارائة تعریف مشتق پذیری تعمیم یافتة یک تابع حقیقی یک متغیری, و مشتق تعمیم یافتة آن می پردازیم، به گونه ای که مجموعة تابع های مشتق پذیر افزایش می یابد و اعتبار قضیه های اساسی نظریة تابع های مشتق پذیر یک متغیری، مانند قضیة رول، قضیة مقدار میانگین کوشی، قضیة مقدار میانگین برای مشتق، و قضیة تیلور برقرار باقی می‌ماند. مقاله را با ارائة چند مثال به پایان می بریم.------------------------چکیده:تعریف متداول مشتق، مجموعة تابع های مشتق پذیر را بسیار کوچک تر از مجموعة تابع های پیوسته می سازد. بسیاری از تابع های یک متغیری با تعریف موجود مشتق پذیر نیستند و بررسی تغییرات آنها به کمک تعریف موجود مشتق میسّر نیست. در این مقاله، با استفاده از تعریف کاراتئودری، ابتدا به ارائة تعریف مشتق پذیری تعمیم یافتة یک تابع حقیقی یک متغیری, و مشتق تعمیم یافتة آن می پردازیم، به گونه ای که مجموعة تابع های مشتق پذیر افزایش می یابد و اعتبار قضیه های اساسی نظریة تابع های مشتق پذیر یک متغیری، مانند قضیة رول، قضیة مقدار میانگین کوشی، قضیة مقدار میانگین برای مشتق، و قضیة تیلور برقرار باقی می‌ماند. مقاله را با ارائة چند مثال به پایان می بریم.

المصادر:

 

[1] E. Acosta G, C. Delgado G. Frechét vs. Carathéodory. American Mathematical Monthly. 101 (4): 332-338 (1994)

 

[2] S. Kuhn. The derivative á la Carathéodory. American Mathematical Monthly. 98 (1): 40-44 (1991)

 

[3] G. B. Bartle, D. R. Sherbert. Introduction to real analysis, Hamilton Printing Company.  New York (2011)

 

[4] S. Lang. Real Analysis, second edition.  Addison-Wesley Publication Company, USA (1983)

 

[5] M. Spivak. Calculus on manifolds. Westview Press. USA (1998)

 

[6] T. M. Apostol. Mathematical analysis, Addison-Wesley Publication Company. Massachusetts (1976)

 

[7] W. Rudin. Principles of mathematical analysis. 5th edition. McGraw-Hill Book Company. New York (2016)