یک رویکرد جدید در استفاده از توابع بی-اسپلاین مکعبی برای حل معادله بلک-شولز

الموضوعات :

حسین امینی خواه ¹ , سیدجواد علوی ²

1 - هیات علمی دانشکده علوم ریاضی/دانشگاه گیلان
2 - دانشجوی دکتری/دانشگاه گیلان

تاريخ الإرسال : 13 السبت , ذو القعدة, 1438 تاريخ التأكيد : 02 الأحد , شعبان, 1440 تاريخ الإصدار : 26 الأربعاء , شعبان, 1440

الکلمات المفتاحية: European and American option difference schemes, Convergence, Stability, B-spline function, Black-Scholes equation,

ملخص المقالة :

امروزه قراردادها متداول‌ترین ابزارهای مالی هستند. به همین دلیل با افزایش تقاضا برای این ابزار مالی، مساله قیمت گذاری قراردادها یکی از مهم ترین مسائل اقتصادی است. با گسترش مدل های تصادفی، نیاز به روش های محاسباتی باعث ایجاد رشته ای جدید به نام مهندسی مالی شد. در مهندسی مالی ارائه مدل بلک-شولز در سال 1973، معادلات دیفرانسیل جزئی را بیش از پیش مورد توجه اقتصاددانان قرار داد. بنابراین برای تعیین قیمت قراردادهای اختیار نیاز به راه حلی ساده و دقیق برای این دسته از معادلات دیفرانسیل جزئی هستیم. در این مقاله روش هم مکانی بی-اسپلاین مکعبی به شکل یک روش تفاضلی برای حل معادله دیفرانسیل پاره‌ای بلک-شولز به کار گرفته شده است. استفاده از این روش به سادگی روش تفاضلات متناهی است و پیچیدگی محاسباتی معمول روش هم مکانی بی-اسپلاین را ندارد. این روش منجر به حل یک دستگاه معادلات جبری سه قطری می‌شود که برای برنامه نویسی کامپیوتری بسیار مناسب است. پایداری و همگرایی روش مورد بحث قرار گرفته‏ و نتایج عددی برای اختیار معامله اروپایی و آمریکایی ارائه شده است.

المصادر:

[1] F. Black, M. Scholes. The pricing of options and corporate liabilities. J. Pol. Econ 81: 637-659(1973).

 

[2] P. Wilmott, J. Dewynne, S. Howison. Option Pricing: Mathematical Models and Computation. Oxford Financial Press. Oxford, UK (1993).

 

[3] Y. Hon, X. Mao. A Radial Basis Function Method For Solving Options Pricing Model. JFE 8: 31-44(1999).

 

[4] S. M. M. Kazemi, M. Dehghan, A. F. Bastani. Asymptotic expansion of solutions to the Black-Scholes equation arising from American option pricing near the expiry. Journal of Computational and Applied Mathematics 311: 11-37(2017).

 

[5] Z. Cen, A. Le. A robust and accurate finite difference method for a generalized Black-Scholes equation. Journal of Computational and Applied Mathematics 235(13): 3728-3733(2011).

 

[6] S. Vahdatia, M. Fardib, M. Ghasemi. Option Pricing Using a Computational Method Based on Reproducing Kernel. Journal of Computational and Applied Mathematics 328: 252-266(2018).

 

[7] Z. Cen, J. Huang, A. Xu, A. Le. Numerical approximation of a time-fractional Black-Scholes equation. Computers & Mathematics with Applications 75(8):2874-2887 (2018).

 

[8] J. Rashidinia, S. Jamalzadeh. Collocation method based on modified cubic B-spline for option pricing models. Math. Commun. 22: 89-102(2017).

[9] M. K. Kadalbajoo, L. P. Tripathi, A. Kumar. A cubic B-spline collocation method for a numerical solution of the generalized Black-Scholes equation. Mathematical and Computer Modelling 55:1483-1505(2012).

 

[10] H. B. Curry, I. J. Schoenberg. On spline distributions and their limits: The polya distribution functions. Bull. Amer. Math. Soc. 53:11-14(1947).

 

[11] E. N. Houstisf, E. A. Vavalis, j. R. Rice. Convergence of O(h4) cubic spline collocation methods for elliptic partial differential equations. siam j. Numer. Anal. 25: 54-74(1988).

 

[12] H. Caglar, N. Caglar. Fifth-degree B-spline solution for a fourth-order parabolic partial differential equations. Applied Mathematics and Computation 201: 597-603(2008).

 

[13] R.C. Mittal, R.K. Jain. Redefined cubic B-splines collocation method for solving convection-diffusion equations. Applied Mathematical Modelling 36(11):5555-5573 (2012).

 

[14] C. C. Wang, J. H. Huang, D. J. Yang. Cubic spline difference method for heat conduction. 569 Int. Commun. Heat Mass Transfer 39(2): 224-230(2012).

 

[15] C. D. Boor. A Practical Guide to Splines. Springer Verlag New York Inc. Applied mathematical sciences 27: (2001).

 

[16] M. Dehghan, M. Abbaszadeh, A. Mohebbi. The numerical solution of nonlinear high dimensional generalized

Benjamin-Bona-Mahony-Burgers equation via the meshless method of radial basis functions. Comput. Math. Appl. 68(3): 212-237(2014).

 

[17] Q. Liu, Y. T. Gu, P. Zhuang, F. Liu, Y. F. Nie. An implicit RBF meshless approach for time fractional diffusion equations. Comput. Mech. 48(1):1-12(2011).