K - نگاشت تکانی و عمل گروه خارج قسمتی روی فضای کاهش یافته

الموضوعات :

محمد دارا ¹ , اکبر دهقان نژاد ²

1 - گروه رياضي محض (هندسه)، دانشکده علوم ریاضی، دانشگاه علم و صنعت، تهران، ايران.
2 - گروه رياضي محض (هندسه)، دانشکده علوم ریاضی، دانشگاه علم و صنعت، تهران، ايران.

تاريخ الإرسال : 11 الخميس , شوال, 1443 تاريخ التأكيد : 11 الإثنين , جمادى الأولى, 1444 تاريخ الإصدار : 22 الأربعاء , ربيع الأول, 1446

الکلمات المفتاحية: Hamiltonian Systems&lrm, &lrm, Symplectic Geometry&lrm, Moment Maps&lrm, , &lrm, Reduction&lrm,

ملخص المقالة :

کمیت‌های پایستار، اشیایی هستند که برای خرد کردن بُعد فضای دستگاه‌های دینامیکی مورد استفاده قرار می‌گرفتند. به این روش که با استفاده از تقارن‌های موجود در یک دستگاه راه‌ حل‌های اصلی آن را در یک فضا با بُعد کمتر مورد بررسی قرار می‌دهند، فروکاست گفته می‌شود. نگاشت تکانی یک بیان ریاضی از مفهوم ناورداهای مرتبط با تقارن‌های یک دستگاه همیلتونی و یک ابزار اساسی برای مطالعه نظریه فروکاست روی خمینه‌های همتافته به شمار می‌آید. در این نظریه، با داشتن یک عمل گروه لی روی یک ‎$G$-‎خمینه‌ی همیلتونی و با در نظر گرفتن یک سطح تراز از نگاشت تکانی و یک عمل آزاد و سره از زیرگروه پایاگر روی آن، یک خمینه‌ی خارج‌قسمتی جدید معرفی می‌کند. در نظر گرفتن ملاحضات توپولوژیکی نگاشت تکانی و تعمیم فضای هم‌دامنه‌ی آن منجر به تعریف ‎$k$-‎نگاشت تکانی می‌شود که خواستگاه آن را می‌توان در مطالعه ‎$k$-‎تانسورهای همورد ناوردا روی ‎$G$-‎خمینه‌ها یافت. در این مقاله ثابت می‌کنیم اگر ‎$N$‎ یک زیرگروه نرمال گروه لی ‎$G$‎ و ‎$M_{\nu}$‎ خمینه کاهش‌یافته توسط ‎$k$-‎نگاشت تکانی ‎$\mu$‎ در مقدار منظم ‎$\nu$‎ باشد، آنگاه این خمینه به همراه عمل خارج قسمتی ‎$G_{\nu}/N_{\nu}$‎ دارای یک ‎$k$-‎نگاشت تکانی است.

المصادر:

[1] Arnol’d, Vladimir Igorevich. Mathematical methods of classical mechanics, vol. 60. Springer Science & Business Media, 2013.

[2] Greiner, Walter. Classical mechanics: systems of particles and Hamiltonian dynamics. Springer Science & Business Media, 2009.

[3] Abraham, Ralph, Marsden, Jerrold E, and Marsden, Jerrold E. Foundations of mechanics, vol. 36. Benjamin/ Cummings Publishing Company Reading, Massachusetts, 1978.

[4] Audin, Michèle, Da Silva, Ana Cannas, and Lerman, Eugene. Symplectic geometry of integrable Hamiltonian systems. Birkhäuser, 2012.

[5] Ortega, Juan-Pablo and Ratiu, Tudor S. Momentum maps and Hamiltonian reduction, vol. 222. Springer Science & Business Media, 2013.

[6] Marsden, Jerrold E and Ratiu, Tudor S. Introduction to mechanics and symmetry: a basic exposition of classical mechanical systems, vol. 17. Springer Science & Business Media, 2013.

[7] Hofer, Helmut and Zehnder, Eduard. Symplectic invariants and Hamiltonian dynamics. Birkhäuser, 2012.

[8] Dwivedi, Shubham, Herman, Jonathan, Jeffrey, Lisa C, and Van den Hurk, Theo. Hamiltonian Group Actions and Equivariant Cohomology. Springer, 2019.

[9] Ma, Xiaonan and Zhang, Weiping. Geometric quantization for proper moment maps. Comptes Rendus Mathematique, 347(7-8):389–394, 2009.

[10] Kostant, B. Orbits, symplectic structures and representation theory proc. in USJapan Seminar in Differential Geometry (Kyoto, 1965)”, Nippon Hyoronsha, Tokyo, p. 71, 1966.

[11] Souriau, JM. Structure des systèmes dynamiques, dunod, paris, 1970. MR, 41:4866, 1970.

[12] Dara, M and Dehghan Nezhad, A. On the -ary moment map. International Journal of Industrial Mathematics, 13(1):53– 61, 2021.

[13] Meyer, Kenneth R. Symmetries and integrals in mechanics. in Dynamical systems, pp. 259–272. Elsevier, 1973.

[14] Marsden, Jerrold and Weinstein, Alan. Reduction of symplectic manifolds with symmetry. Reports on mathematical physics, 5(1):121–130, 1974.

[15] Marsden, Jerrold E, Misiolek, Gerard, Ortega, Juan-Pablo, Perlmutter, Matthew, and Ratiu, Tudor S. Hamiltonian reduction by stages. Springer, 2007.

[16] De Nicola, Antonio and Esposito, Chiara. Reduction of pre-hamiltonian actions. Journal of Geometry and Physics, 115:178–190, 2017.

[17] Karshon, Yael. Moment maps and noncompact cobordisms. Journal of Differential Geometry, 49(1):183–201, 1998.

[18] Guillemin, Victor, Ohsawa, TL, Karshon, Yael, and Ginzburg, Viktor L. Moment maps, cobordisms, and Hamiltonian group actions. no. 98. American Mathematical Soc., 2002.

[19] Guillemin, Victor W and Sternberg, Shlomo. Supersymmetry and equivariant de Rham theory. Springer Science & Business Media, 2013.

[20] Tu, Loring W. Introductory Lectures on Equivariant Cohomology. Princeton University Press, 2020.