بررسی ارتباط بین وجود بردارهای پذیرفتنی با میانگین‌پذیری و فشردگی یک گروه موضعاٌ فشرده

الموضوعات :

جواد سعادتمندان ¹ (دانشجوی دکتری، گروه ریاضی، دانشکده علوم پایه، دانشگاه قم، قم، ایران)
علیرضا باقری ثالث ² (گروه ریاضی، دانشکده علوم پایه، دانشگاه قم، قم، ایران (نویسنده مسئول).)

تاريخ الإرسال : 09 الإثنين , ربيع الأول, 1439 تاريخ التأكيد : 26 الإثنين , جمادى الأولى, 1439 تاريخ الإصدار : 19 الأربعاء , ذو القعدة, 1439

الکلمات المفتاحية: Property(T), Admissible vector, Locally compact group, amenability, Discrete series representation,

ملخص المقالة :

وجود بردارهای پذیرفتنی برای یک گروه موضعاً فشرده، با خواص آن گروه، کاملاً در ارتباط است. در گروه‌های فشرده طبق قضیه پیتر ویل هر نمایش تحویل‌ناپذیر دارای بردار پذیرفتنی است. در این مقاله، شرایطی که طبق آنها عکس این قضیه برقرار باشد مورد برررسی قرار گرفته است. شرایطی نظیر وجود نمایش‌هایی که هم ‌بردار پذیرفتنی و هم بردار پایا دارند، فشردگی گروه مربوطه را نتیجه می‌دهند. همچنین SIN- گروه‌هایی که دارای نمایش تحویل‌ناپذیر با بردار پذیرفتنی هستند فشرده هستند. مطالعه‌ی این قسمت ازآنالیز هارمونیک مارا به بررسی خواص جبرهای راژمن، AR گروه‌ها، SIN گروه‌ها می‌رساند. با توجه به این‌که با داشتن بردار پذیرفتنی، یک ایزومتری از فضای هیلبرت نمایش در  ایجاد می‌شود و این امر ایجاب می‌کند که به نمایش مربوطه به عنوان زیر نمایشی از  نگاه شود بررسی خواص زیر نمایش‌های  از پیامدهای وجود بردار پذیرفتنی برای نمایش مورد مطالعه می‌باشد. یکی از مسائل مهم در آنالیز هارمونیک نوشتن نمایش منظم چپ به صورت مجموع مسقیم از نمایش‌های تحویل‌ناپذیر است. ما در این مقاله این مسأله مهم را با وجود بردار پذیرفتنی تلفیق و از آن برای خاصیت فشردگی گروه استفاده نموده‌ایم. طبق مرجع (1) که به بررسی میانگین‌پذیری نمایش‌ها پرداخته است، خاصیت شمول ضعیف نمایش‌ها در  مطرح می‌شود لذا در مرحله اول وجود بردار پذیرفتنی برای نمایش‌های تحویل‌ناپذیر، میانگین‌پذیری را نتیجه می‌دهد. فشردگی گروه، خاصیت قوی‌تری نسبت به میانگین‌پذیری آن است. در این ‌مقاله ضمن اثبات این‌ که فشردگی نیز شرط لازم برای فرض فوق است، شرط ضعیف‌تری نیز بررسی شده است.