الگوی برنامه‌ریزی آرمانی و تحلیل پوششی داده‌های معکوس به منظور تخمین ورودی‌ها

محورهای موضوعی : تحقیق در عملیات

محمدتقی یحیی پور شیخ زاهدی ¹ , علیرضا امیرتیموری ^{2 *} , سهراب کردرستمی ³ , سید احمد عدالت پناه ⁴

1 - گروه ریاضی، واحد لاهیجان، دانشگاه آزاد اسلامی، لاهیجان، ایران
2 - گروه ریاضیات کاربردی، واحد رشت، دانشگاه آزاد اسلامی، رشت، ایران
3 - گروه ریاضی، واحد لاهیجان، دانشگاه آزاد اسلامی، لاهیجان، ایران
4 - گروه ریاضی کاربردی، موسسه آموزش عالی آیندگان، تنکابن، ایران

تاریخ دریافت : 1401/08/22 تاریخ پذیرش : 1402/11/28 تاریخ انتشار : 1403/05/23

کلید واژه: تحلیل پوششی داده‌های معکوس, بهبود کارایی هزینه, افزایش خروجی‌ها, برنامه‌ریزی آرمانی, صنعت خودروسازی,

چکیده مقاله :

هدف: تخمین مقادیر ورودی‌ها وقتی که مقادیر خروجی‌ها را به اندازه دلخواه تغییر می‌دهیم یکی از کاربردهای مهم تحلیل پوششی داده‌های معکوس ‌می‌باشد. اگر در میان دسته‌ای از واحدهای تصمیم گیرنده DMUها) بخواهیم سطح ورودی‌های (خروجی‌های) یک DMUرا تخمین بزنیم، وقتی که برخی یا همه خروجی‌های (ورودی‌‌ها) آن تغییر نماید به‌طوری‌که کارایی هزینه حفظ یا بهبود یابد، از تحلیل پوششی داده‌های معکوس استفاده ‌می‌شود. روش‌شناسی پژوهش: در روش و مدل جدید، تحلیل پوششی داده‌های معکوس به کمک برنامه‌ریزی آرمانی برای تخمین مقادیر ورودی‌ها وقتی که مقادیر خروجی‌ها را به اندازه دلخواه تغییر می‌دهیم با حفظ یا بهبود کارایی هزینه DMU‌ها ارایه ‌می‌شود. همچنین در این ارتباط نتایج مدل پیشنهادی در یک مثال عددی و یک مطالعه‌ موردی شرکت خودروسازی بررسی ‌می‌شود. یافته‎ها: در این پژوهش کارایی هزینه با افزایش خروجی‌های دلخواه مورد بررسی قرار ‌می‌گیرد. مدل جدید تحلیل پوششی داده‌های معکوس به کمک برنامه‌ریزی آرمانی برای حفظ یا بهبود کارایی هزینه DMU‌ها ارایه ‌می‌شود. اصالت/ارزش افزوده علمی: در این تحقیق، تخمین مقادیر ورودی‌ها وقتی که مقادیر خروجی‌ها به اندازه دلخواه تغییر می‌کند به صورت یکی از کاربردهای مهم تحلیل پوششی داده‌های معکوس، به کمک برنامه‌ریزی آرمانی برای حفظ یا بهبود کارایی هزینه DMU‌ها ارایه ‌می‌شود. همچنین در این ارتباط نتایج مدل پیشنهادی در یک مثال عددی و یک مطالعه‌ موردی شرکت خودروسازی بررسی ‌می‌شود.

چکیده انگلیسی:

Purpose: Estimating the values of the inputs when we change the values of the outputs as desired is one of the important applications of inverse data envelopment analysis. If we want to estimate the level of inputs (outputs) of a DMU among a group of decision-making units (DMUs), when some or all of its outputs (inputs) change so that cost efficiency is maintained or improved, inverse data envelopment analysis is used. Methodology: In the new method and model, inverse data envelopment analysis is presented with the help of goal programming to estimate the values of inputs when we change the values of outputs as desired by maintaining or improving the cost efficiency of DMUs. Also, in this connection, the results of the proposed model are examined using a numerical example and a case study of an automobile company. Findings: In this research, cost efficiency is investigated by increasing desired outputs. A new model of inverse data envelopment analysis is presented with the help of goal programming to maintain or improve the cost efficiency of DMUs. Originality/Value: In this research, estimating the values of inputs when changing the values of outputs as desired, one of the important applications of inverse data envelopment analysis is presented with the help of goal programming to maintain or improve the cost efficiency of DMUs. Also, in this connection, the results of the proposed model are examined in a numerical example and a case study of an automobile company.

متن کامل:



دسترسي در سايتِ http://jnrm.srbiau.ac.ir

سال یازدهم، شماره پنجاه و سوم، فروردین و اردیبهشت  1404

شماره شاپا: X588-2588

 

 

 

 

        

الگوی برنامه‌ریزی آرمانی و تحلیل پوششی داده‌های معکوس به منظور تخمین ورودی‌ها

 

محمدتقی یحیی­پور شیخ زاهدی1، علیرضا امیرتیموری2¹، سهراب کردرستمی3، سیداحمد عدالت­پناه4 

 

 (1و3) گروه ریاضی، واحد لاهیجان، دانشگاه آزاد اسلامی، لاهیجان، ایران

(2) گروه ریاضیات کاربردی، واحد رشت، دانشگاه آزاد اسلامی، رشت، ایران

(4) گروه ریاضی کاربردی، موسسه آموزش عالی آیندگان، تنکابن، ایران

 

تاريخ ارسال مقاله: 22/08/1401    تاريخ پذيرش مقاله: 28/11/1402

چکيده

تخمین مقادیر ورودی‌ها وقتی که مقادیر خروجی‌ها را به اندازه دلخواه تغییر می‌دهیم یکی از کاربردهای مهم تحلیل پوششی داده‌های معکوس ‌می‌باشد. اگر در میان دسته‌ای از واحدهای تصمیم­گیرنده (ها) بخواهیم سطح ورودی‌های (خروجی‌های) یک  را تخمین بزنیم، وقتی که برخی یا همه خروجی‌های (ورودی‌‌ها) آن تغییر نماید به طوری­که کارایی هزینه حفظ یا بهبود یابد، از تحلیل پوششی داده‌های معکوس استفاده ‌می‌شود که در این مقاله کارایی هزینه با افزایش خروجی‌های دلخواه مورد بررسی قرار ‌می‌گیرد. روش و مدل جدید به کمک برنامه‌ریزی آرمانی برای حفظ یا بهبود کارایی هزینه ها ارایه ‌می‌شود. همچنین در این ارتباط نتایج مدل پیشنهادی در یک مثال عددی و یک مطالعه‌ موردی شرکت خودروسازی بررسی ‌می‌شود.

 

 

واژه‌هاي کليدي: تحلیل پوششی داده‌های معکوس، بهبود کارایی هزینه، افزایش خروجی‌ها، برنامه‌ریزی آرمانی، صنعت خودروسازی

1- مقدمه

یکی از مهمترین دسته‌بندی مدل‌های تصمیم­گیری چند هدفه، برنامه‌ریزی آرمانی است که برای تجزیه و تحلیل و حل مسائل کاربردی با چندین هدف متفاوت به کار ‌می‌رود. برنامه‌ریزی آرمانی در دهه 1960 توسط چارنز و همکارانش معرفی شد[21]. در این مدل برای هریک از توابع هدف یک مقدار آرمانی تعیین می­شود و با توجه به اولویت اهداف مختلف در پی حداقل نمودن انحرافات مجاز هدف­ها از مقادیر آرمانی مشخص شده است. در دهه‌های اخیر با توسعه و پیشرفت روش‌های محاسباتی، کاربردهای گسترده‌ای در رشته‌های علوم مهندسی و علوم اجتماعی یافته است. چند هدفه بودن مسائل دنیای واقعی از مشکلات مدل‌سازی است. برنامه‌ریزی آرمانی از مفیدترین و کاربردی­ترین روش‌های ریاضی است که برای تجزیه و تحلیل و حل مسائل چند هدفه به کار ‌می‌رود.

تحلیل پوششی داده‌ها یک روش غیرپارامتری براساس برنامه‌ریزی ریاضی برای اندازه­گیری کارایی نسبی واحدهای تصمیم­گیرنده است که توسط چارنز و همکارانش در سال 1978 ارائه گردید،[2] تحلیل پوششی داده‌ها برای محاسبه کارایی هر واحد در مقایسه با سایر واحدها به کار ‌می‌رود. هدف اصلی آن، مقایسه و سنجش کارایی تعدادی از واحدهای تصمیم گیرنده مشابه است که چندین ورودی و چندین خروجی دارند. منظور از مقایسه و سنجش کارایی نیز این است که یک واحد تصمیم­گیرنده در مقایسه با سایر واحدهای تصمیم­گیرنده، چقدر خوب از منابع خود در راستای تولید استفاده کرده است. کارایی نسبی ها از تقسیم مجموع وزن­دار شده خروجی‌ها به مجموع وزن­دار شده ورودی‌ها تعریف ‌می‌شود. تحلیل پوششی داده‌ها کاربردهای زیادی دارد که شامل زمینه‌های آموزشی، اقتصاد، مدیریت، بهداشت و حمل و نقل و ... ‌می‌باشند [1]. در سال 1984 این تکنیک توسط بنکر و همکارانش توسعه داده شد[3] و تحلیل پوششی داده‌هاي معکوس یکی از موضوعات قابل توجه در بخش‌های عملی و نظری ‌می‌باشد که در آن کارایی نسبی DMU تحت ارزیابی داده شده است و هدف تعیین سطوح ورودي و خروجی یک واحد تصمیم­گیرنده است تا مقدار کارایی نسبی آن ثابت بماند یا بهبود بیابد.

تحلیل پوششی داده‌هاي معکوس اولین بار در سال 1999 توسط زانگ و کوی [4] مورد مطالعه و بررسی قرار گرفت. ویی و همکاران[5]  در سال 2000 مدلی را براي پاسخگویی به پرسش زیر پیشنهاد کردند.

«اگر در میان گروهی از DMUها یک یا چند ورودی در یک واحد خاص را افزایش دهیم و فرض کنیم که DMU تحت ارزیابی کارایی خود را در مقایسه با دیگر واحدها حفظ کند، تا چه میزان خروجی‌های DMU تحت ارزیابی افزایش ‌می‌یابند؟»

یان و همکارانش[6] در سال 2002 یک مساله برنامه‌ریزی خطی برای واحدهای کارای ضعیف تحت ارزیابی، ارائه کردند و همچنین یک مدل MOLP برای واحدهای ناکارای تحت ارزیابی ارائه دادند.

علاوه بر این، در ادامه هادی وینچه و همکارانش[7] در مطالعات خود، مدل ارائه شده بوسیله ویی و همکارانش[5]  را برای جواب سوال زیر توسعه دادند. «اگر در میان گروهی از DMUها چندین خروجی را در یک واحد خاص افزایش دهیم و فرض کنیم که DMU کارایی نسبی خود را در مقایسه با دیگر واحدها حفظ کند، تا چه میزان ورودی‌های DMU افزایش ‌می‌یابند؟» برای جواب پرسش فوق ساوانی و همکارانش [8] نیز مدلی پیشنهاد نمودند. تحلیل پوششی داده­ها تکنیکی غیرپارامتری برای ارزیابی کارایی نسبی واحدهای تصمیم­گیرنده بر اساس ماهیت آن است. ماکزیمم نمودن درآمد یا سود، مینیمم کردن هزینه، هدف‌های رفتاری همراه با قیمت ورودی‌ها و خروجی‌ها ‌می‌باشند. اولین بار فارل [9] در سال 1957 تعریف کارایی هزینه را معرفی کرد که نقش معناداری در توسعه مفهوم تحلیل پوششی داده­ها بازی کرده است. سپس کارایی هزینه توسط فار و همکاران [10] توسعه داده شد. آنها کارایی هزینه را با استفاده از تکنیک برنامه­ریزی خطی به دست آوردن این مدل برنامه­ریزی خطی علاوه بر داده­های ورودی و خروجی به قیمت­های ورودی واحدهای تصمیم­گیرنده نیاز دارد. کارایی هزینه(CE)، به عنوان یک مدل DEA، ابزار اندازه­گیری توانایی یک DMU برای رسیدن به خروجی فعلی با حداقل هزینه است. هیوفونی و همکارش در سال 2002 [10] از نسبت ورودی توابع شبه فاصله مستقیم و غیرمستقیم برای اندازه­گیری کارایی تخصیص خروجی استفاده کردند. میگ لان لین و همکارانش [12] با یکپارچه­سازی تحلیل پوششی داده‌ها (DEA) و تحلیل سلسله مراتبی AHP به بررسی اقتصادی دولت‌های محلی چین پرداختند. بنی هاشم و همکارانش [13] کارایی سود، هزینه و درآمد زنجیره‌های تامین چند مرحله­ای را در سه مرحله ارزیابی نمودند. تخصیص عادلانه هزینه درآمد ثابت مشترک توسط تحلیل پوششی داده‌ها توسط خدابخشی و همکارش [14] بررسی شد. مدل‌های کارایی هزینه درآمد در DEA_R توسط مظفری و همکارانش [15] ارائه گردید. در سال 2014 ساهو [16] با یک روش تابع فاصله جهت­دار کارایی هزینه درآمد و سود در DEA را اندازه­گیری نمودند. روش متمرکز شده برای تخصیص دوباره منابع بر اساس کارایی درآمد در بین مجموعه­ای از واحدهای تصمیم­گیری در یک محیط متمرکز شده توسط لی فانگ و همکارش [17] ارائه گردید. کارایی هزینه درآمد شرکت‌ها با اندازه راسل اصلاح شده توسط جان آپاریکو و همکارانش [18] اندازه­گیری و تجزیه و تحلیل شد. قیاسی [22] تحلیل پوششی داده‌های معکوس بر پایه کارایی هزینه و درآمد با ساختار برنامه‌ریزی خطی چند هدفی را بررسی نمود. سلیمانی و همکارانش [23] حفظ کارایی هزینه و درآمد از طریق مدل­های تحلیل پوششی معکوس داده­ها را ارائه کردند. امین و همکارانش [24] یک مدل تحلیل پوششی داده معکوس جدید را بر اساس یک مدل کارایی هزینه برای تخمین سود بالقوه از ادغام معرفی می‌کند.

در این مقاله یک روش جدید به کمک برنامه‌ریزی آرمانی برای تخمین ورودی‌های ها بر اساس حفظ یا بهبود اندازه کارایی هزینه ها پیشنهاد ‌می‌گردد. به عبارتی دیگر، به این پرسش پاسخ خواهیم داد: تحت حفظ یا بهبود کارایی هزینه، وقتی که برخی یا همه خروجی‌های یک  افزایش داده ‌می‌شود ورودی‌های آن  چه میزانی ‌می‌باشد ؟ برای رسیدن به این هدف، با استفاده از برنامه‌ریزی آرمانی یک روش تحلیل پوششی داده‌های معکوس معرفی می‌شود. همچنین به منظور بررسی اعتبار روش ارایه ‌شده، دو مجموعه داده استفاده و نتایج تحلیل می‌شوند.

در این مقاله ابتدا در بخش2 تحلیل پوششی داده‌ها و کارایی هزینه معرفی خواهد شد. سپس در بخش 3 بهبود کارایی هزینه با افزایش خروجی‌ها مورد بررسی قرار خواهد گرفت و پس از ارایه مثال عددی و مطالعه موردی در بخش 4، مقاله با نتیجه­گیری از موارد ذکر شده به اتمام خواهد رسید.

2- تحلیل پوششی داده‌ها و کارایی هزینه

2-1- تحلیل پوششی داده‌ها

تحلیل پوششی داده‌ها یک مدل برنامه‌ریزی خطی جهت ارزیابی عملکرد مجموعه‌ای از واحدهای تصمیم‌گیری متجانس است. بهره‌وری از مفاهیم مورد توجه انسان است چون هر انسان عاقل و خردمندی دوست دارد که بهترین کار را برای بدست آوردن بهترین محصول انجام دهد. کارایی را ‌می‌توان نسبت بین بازده (خروجی) و نهاده (ورودی) بیان نمود. دو دسته اصلی برای اندازه­گیری کارایی روش‌های پارامتری و غیرپارامتری هستند که در روش‌های پارامتری حتما باید تابعی به طور پیش فرض وجود داشته باشد و واحدهای تصمیم­گیری که یک خروجی دارند به کار ‌می‌رود. ولی در روش­های غیرپارامتری هیچ تابعی از قبل وجود ندارد و سعی ‌می‌شود یک تابع تجربی به کمک مشاهدات به دست آورد. از مهمترین روش‌های غیرپارامتری برای ارزیابی عملکرد واحدهای تصمیم­گیری که بر اساس برنامه‌ریزی خطی مطرح ‌می‌شود تحلیل پوششی داده‌ها DEA است. چارنز و همکارانش در سال 1978 مدل CCR را برای ارزیابی کارایی واحد تصمیم گیرنده ارائه کردند.[2] 

2-2- کارایی هزینه

مفهوم کارایی به مفهوم عدم اتلاف منابع و بهره­برداری مناسب منابع و حداکثر نمودن خروجی‌های مطلوب است. به عبارتی دیگر معنی کارایی‌ مصرف کمترین ورودی‌ها برای‌ به دست آوردن بیشترین خروجی‌ها است. کارایی هزینه علاوه بر استفاده از مقادیر ورودی‌ها و خروجی‌ها، از قیمت و ارزش ورودی‌ها در محاسبه کارایی بهره می‌گیرد.

فرض کنید  و  و  به ترتیب ماتریس‌های ورودی، خروجی و ماتریس هزینه‌ی ورودی‌ها ‌می‌باشند. مدل کارایی هزینه جهت محاسبه‌ی کارایی هزینه ، در پی یافتن واحدی است که کمترین هزینه را برای تهیه ورودی‌های کوچک­تر یا مساوی با ورودی‌های واحد تحت ارزیابی، جهت تولید خروجی‌های برابر با خروجی‌های واحد تحت ارزیابی، مصرف ‌می‌کند. لذا با در نظر گرفتن  به عنوان هزینه­ی متناظر با ورودی  ام ، مدل به شکل زیر است:

 

 

 

 

 

اگر (   و ) و  جواب بهینه­ی مساله­ی فوق باشد کارایی هزینه کلی واحد تحت ارزیابی j ام با تقسیم مینیمم هزینه­ی کلی  بر هزینه مشاهده شده  تعریف ‌می‌شود.

 

که در آن  برای  .

تعریف:  را کارای هزینه­ی کلی ‌می‌نامند ، اگر و فقط اگر  .

پس

 

با ضرب طرفین نامعادله (3) در  به نامعادله  ‌می‌رسیم که در آن  هزینه مشاهده شده یک آرمان برای هدف  خواهد بود. با اضافه نمودن متغیرهای انحراف از آرمان به نامعادله  معادله آرمان زیر را داریم:

 

چون نامعادله  همواره شدنی است پس در معادله (4) متغیر  خواهد بود. با اضافه کردن متغیر‌های انحراف از آرمان به قیود مدل (1) معادلات آرمان زیر را داریم:

 

 

 

 

 

 

 

لذا مدل برنامه‌ریزی آرمانی به صورت زیر ‌می‌باشد:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

مدل (8) فرم برنامه­ریزی آرمانی مدل(1)است. اگر  جواب بهینه مدل (8) باشد آنگاه می­توان به کمک (2) کارایی هزینه  را محاسبه نمود.

3- بهبود کارایی هزینه با افزایش خروجی‌ها

اکنون مساله تحلیل پوششی داده‌های معکوس را بر کارایی هزینه واحد تحت ارزیابی به صورت زیر مطرح ‌می‌کنیم.

در واقع می­خواهیم میزان تغییرات ورودی‌های واحد تصمیم­گیرنده تحت ارزیابی را با افزایش خروجی‌ها تخمین بزنیم به طوری­که کارایی هزینه واحد تحت ارزیابی بهبود بیابد. به عبارتی با آشفته نمودن بردار خروجی‌ها میزان آشفتگی بردار ورودی‌ها را با حفظ مقدار کارایی هزینه محاسبه می­کنیم. اگر خروجی واحد تحت ارزیابی  از  بهتغییر کند  به طوری که کارایی هزینه آن ثابت بماند یا بهتر شود، ورودی آن چقدر است؟ برای پاسخ به پرسش فوق فرض ‌می‌کنیم برای واحد تحت ارزیابی  خروجی از  به  تغییر کند  و ورودی از  به تغییر کند به طوری که  باشد. با جایگزین کردن بردار  به جای  در مدل کارایی هزینه (1) که مقدار  معلوم است و کارایی هزینه را محاسبه می‌کنیم. در این راستا  از مجموعه مشاهدات را حذف می­کنیم و بجای آن از یک  جدید که بردار ورودی آن   مجهول است و بردار خروجی آن مقدار   معلوم است جایگزین می­کنیم.

 

 

 

 

 

 

 

که در آن  جواب بهینه‌ی مدل (1) است.  قیمت یا هزینه ورودی ام واحد تصمیم گیرنده تحت ارزیابی ام است و  جدید با ورودی‌ها و خروجی‌های جدید  جایگزین با ورودی‌ها و خروجی‌های معلوم  شده است. مدل (9) ‌می‌کوشد ورودی‌های  را مینیمم کند و این مدل همواره دارای جواب شدنی است زیرا  برای  و  جواب شدنی نامساوی‌های

 

است و تساوی  برقرار است و بطور مشابه در نامساوی

 

صدق ‌می‌کند و تساوی  برقرار است. مدل (9) دارای یک محدودیت نامساوی  بیشتر از مدل (1) دارد که این محدودیت بهبود دهنده مقدار کارایی هزینه  نسبت به  است و این نامساوی همواره شدنی است چون  برای  و   جواب شدنی مدل (1) نیز ‌می‌باشد.

  برای  و  یک جواب شدنی مدل(9) خواهد بود. بنابراین در بهینه­گی  است. مدل (9) غیرخطی است که به فرم زیر بازنویسی می‌کنیم.

 

 

 

 

 

 

 

لم 1- در قیود (10) و (11) مقدار  نامنفی است ()

اثبات: اگر  باشد آنگاه قید (10) نشدنی است زیرا  مجموع حاصل ضرب  و  ‌می‌باشد که  خواهد بود حال اگر  باشد  خواهد بود که قید (10) نشدنی است. بنابراین است.

لذا  است سپس طرفین نامعادلات (10) و (11) بر  تقسیم نموده و داریم

 

 

 

 

 

 

اکنون با تغییر متغیر   برای و  داریم:

 

 

 

 

 

 

 

با ساده کردن و باز نویسی مدل (13) ، مدل برنامه‌ریزی خطی زیر را خواهیم داشت: (برای سهولت از  به جای  و  و  و تغییر متغیر برای  استفاده ‌می‌کنیم) داریم:

 

 

 

 

 

 

 

با اضافه کردن متغیرهای انحراف از آرمان به مدل (14) مدل برنامه‌ریزی آرمانی به صورت زیر ‌می‌باشد:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

که در آن  جواب بهینه مدل (1) ‌می‌باشد. در مدل (14) قید نامساوی   داریم که برای حفظ و بهبود کارایی هزینه واحد تحت ارزیابی می­باشد که در آن  مقدار بهینه تابع هدف مدل(1)، یک آرمان برای هدف مدل (14) است. تابع هدف مدل (14) به صورت محدودیت جدید به همراه متغیر انحراف و مقدار بهینه مورد نظر دوباره فرمول­بندی می­شود، از این­رو با اضافه کردن متغیرهای انحراف از آرمان به مدل (14) مدل برنامه‌ریزی آرمانی (15) به دست می­آید.

4- مثال عددی و مثال کاربردی

4-1- مثال عددی

جدول شماره 1 شامل ده واحد تصمیم­گیری با دو ورودی  و  و قیمت‌های (هزینه‌های) هر ورودی  و  و یک خروجی  را در نظر بگیرید.

 

 

 

جدول 1. مجموعه داده‌ها برای 10 تا واحد تصمیم­گیرنده
کارایی هزینه	خروجی‌ها	هزینه یک واحد ورودی		ورودی‌ها
0.2743	1.0000	9	8	3	6	DMU1
0.9055	7.0000	5	3	8	9	DMU2
0.5862	3.0000	9	6	7	4	DMU3
0.6718	2.0000	3	7	3	4	DMU4
0.2190	1.0000	10	9	6	5	DMU5
0.7066	3.0000	4	10	1	7	DMU6
0.3226	2.0000	2	6	4	9	DMU7
0.3908	2.0000	3	2	9	1	DMU8
0.2333	1.0000	7	2	2	8	DMU9
0.5393	2.8000	5	3	3	10	DMU10

 

در جدول شماره 1، ستون آخر کارایی هزینه بر اساس مدل (1) و (2) برای هریک از واحدهای تصمیم گیری محاسبه و بیان شده است.

در جدول شماره 2 با در نظر گرفتن خروجی‌های جدید  برای هر واحد تصمیم­گیری و به کارگیری مدل (15) ورودی‌های جدید تخمین زده شده و سپس کارایی هزینه هریک از DMUها با ورودی‌ها و خروجی‌های جدید مجدد با مدل (1) و (2) محاسبه شده است.

در جدول 1 کارایی هزینه 10 تا DMU دارای دو ورودی و یک خروجی محاسبه شد سپس برای هر DMU خروجی جدید (  ) در مجموعه DMUها جایگزین خروجی (  ) شد که توانستیم با پیشنهاد مدل (15) ورودی‌های (  و  ) را برآورد کنیم به طوری که کارایی هزینه بهبود بیابد. و در جدول 2، کارایی هزینه با ورودی‌های برآورد شده و خروجی‌های جدید مشاهده ‌می‌شود. در مثال کارایی هزینه تمامی DMUها بعد از افزایش خروجی‌ها و محاسبه ورودی‌ها با روش پیشنهادی بهبود یافته‌اند. به عنوان مثال می­توان به  اشاره نمود که با افزایش 10 درصدی خروجی آن از  به   منجر به کاهش 65درصدی  به  و کاهش 27 درصدی  به  و و افزایش 79.43 درصدی کارایی هزینه از  به  گردید.

4-2- مثال کاربردی از یک شرکت خودروسازی

در ادامه، داده‌های یک شرکت خودروسازی ترکیه که هردو ماشین سواری و وسیله نقلیه سبک تجاری را تولید ‌می‌کند[18]، در نظر گرفته شده و عملکرد مدل پیشنهادی جدید برای بهبود کارایی هزینه با افزایش خروجی‌ها بررسی می‌شود. شرکت در سال ۲۰۱۰ ۲۸.۵ درصد کل خودروها را با ۳۱۲۰۰۰ واحد تولید کرد و به عنوان بزرگترین تولید­کننده‌ی وسایل نقلیه تجاری در ترکیه شناخته شد. این شرکت ترکیه‌ای یکی از پیشگامان صنعت خودروی این کشور است، که محصولات خود را در سال ۲۰۱۱ به ۸۰ کشور صادر نمود و سهم کل صادرات صنعت خودرو با ۱۸۰۶۹۸ واحد در سطح ۲۲.۸ درصد بود. این شرکت مطمئنا به این آگاهی و بینش رسیده است که موفقیت درازمدت بدون همکاری با ذینفعان امکان‌پذیر نیست. این شرکت به طور مرتب رضایت مشتری، توزیع کننده و تامین کننده را اندازه گیری ‌می‌کند و همیشه علاقه‌مند افزایش رضایت و همکاری است. در این پژوهش ها نمایندگی‌های فروش در این شرکت خودروسازی است. () همان‌طور که در جدول 3 نمایش داده ‌می‌شود، این مجموعه اطلاعات شامل هفت ورودی با هزینه یا قیمت مشخص و پنج خروجی است و عوامل ورودی و خروجی به صورت زیر معرفی می‌شوند:

ورودی 1 (x1): تعداد شعب.
ورودی 2 (x2): تعداد کل وسایل نقلیه نمایشگاه (شامل شعبه).
ورودی 3 (x3): تعداد کل وسایل نقلیه آزمایشی.
ورودی 4 (x4): تعداد کل مشاور فروش.
ورودی 5 : (x5) تعداد کل کارکنان فروشندگان.
ورودی 6 (x6): تعداد نمایشگاه‌ها و فعالیت‌های ارائه شده توسط فروشندگان.
ورودی 7 (x7): تعداد پخش تبلیغات توسط چند رسانه ای.
خروجی 1 (y1): تعداد وسایل نقلیه فروخته شده.
خروجی 2 (y2): مقدار رضایت متوسط برای همه فروشندگان تعیین شده توسط کل مشتریان.
خروجی 3 (y3): تأیید خدمات فروشندگان پس از فروش (در لیره ترکیه TL).
خروجی 4 (y4):  : تایید اعتبار از طریق موسسه مالی برای مشتری وام گرفته شده است.(TL)
خروجی 5 (y5):  تأیید فروش فروشنده بر روی قطعات یدکی.(TL)

 قیمت یا هزینه ورودی  برای  در جدول 4 است. ‌می‌خواهیم مقدار ورودی‌های ‌ها را طوری تخمین بزنیم که خروجی‌های و  و   به میزان 10 درصد افزایش یابند و کارایی هزینه ‌ها بدتر نشود. مدل (15) محاسبه شده و نتایج در جدول 5 ارائه ‌می‌شود.

 

جدول 2. نتایج
کارایی هزینه جدید	خروجی‌های جدید	ورودی‌های جدید
0.5442	2.0000	2.2857	2.5714	DMU1
1.0000	7.5000	2.5000	17.5000	DMU2
0.8036	4.0000	1.3333	9.3333	DMU3
0.9962	3.0000	3.4286	3.8571	DMU4
0.5668	2.0000	2.2857	2.5714	DMU5
0.9000	5.0000	5.7143	6.4286	DMU6
0.7500	4.0000	4.5714	5.1429	DMU7
0.7143	3.0000	1.0000	7.0000	DMU8
0.6303	1.7000	0.5667	3.9667	DMU9
0.9677	3.1000	1.0333	7.2333	DMU10

جدول 3. توصیف آماری 73 نمایندگی فروش شرکت خودرو­سازی ترکیه‌ای
Vendors	ورودی‌ها							خروجی‌ها
	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	y1	y2	y3	y4	y5
کمترین مقدار	1	3	1	3	13	10	21	37	65	18,798	280,500	63,096
بیشترین مقدار	6	31	25	21	107	80	340	5,923	92	8,308,527	13,186,358	34,259,621
میانگین داده­ها	2	13	6	8	42	34	90	1,133	86	2,512,892	3,074,610	5,043,173
انحراف معیار	0/94709	5/401882	3/920729	4/553141	17/53193	15/19105	59/14659	1009/217	8/794711	1681790	2557994/8	6990522/9

 

 

 

 

جدول4.توصیف آماری قیمت یا هزینه ورودی‌های () نمایندگی فروش شرکت خودرو­سازی ترکیه‌ای
Vendors	توصیف آماری قیمت یا هزینه ورودی‌ها
	P1	p2	p3	p4	p5	p6	p7
کمترین مقدار	1,859,486	334,293	383,178	128,674	105,642	253,570	301,621
بیشترین مقدار	27,206,006	7,671,397	5,590,642	1,087,982	1,099,072	537,924	648,648
میانگین داده­ها­	15,224,198	3,738,610	2,894,304	607,421	582,936	395,288	455,740
انحراف معیار	7807632/2	2184374	1478486	276791/3	294961/6	83883/08	106349/6

 

 

 

در هنگام تغییر خروجی­ها و محاسبه ورودی­های جدید، حفظ کارایی هزینه واحد تحت ارزیابی دارای اهمیت بالایی است. که این امر با افزایش ده درصدی بعضی از خروجی­ها و محاسبه مقادیر ورودی­های جدید برای هر یک از های تحت ارزیابی گردید. که در این فرآیند به کمک حل مدل برنامه­ریزی خطی تک هدفه مدل 15 کارایی هزینه های تحت ارزیابی نسبت به قبل تغییرات حفظ و حتی بهبود یافته­اند. در جدول شماره 5  کارایی هزینه را با در نظر گرفتن ورودی‌ها و خروجی‌های جدول شماره 3 نشان می‌دهد که از مدل (2) به دست آمده است و دارای مینیمم 0.9964 و میانگین 0.999420833 و واریانس  است و ورودی‌های جدید بعد از افزایش 10 درصدی خروجی‌های و  و  با مدل (15) برآورد شده و   کارایی هزینه داده‌های جدید با استفاده از مدل (2) محاسبه شده است و دارای مینیمم 0.9983 و میانگین 0.999643836 و واریانس  است. به وضوح مشاهده می شود میانگین کارایی هزینه افزایش و واریانس آن کاهش یافته است و این بیانگر افزایش و همگون­تر شدن کارایی هزینه DMUها بعد از افزایش 10 درصدی خروجی‌های و محاسبه ورودی‌های جدید است و از طرفی دیگر در این مثال بعد از اعمال تغییرات کارایی هزینه 42 تا از DMUها بدون تغییر و مابقی بهبود یافته‌اند. یعنی کارایی هزینه بیش از 57درصد DMUها ثابت باقی مانده و مابقی بهبود یافته‌اند.

 

5-نتیجه‌گیری

هدف از این تحقیق ارائه­ی دیدگاهی در زمینه بکارگیری روش تحلیل پوششی داده‌های معکوس به کمک برنامه‌ریزی آرمانی بوده است. برآورد ورودی‌ها با تغییر در مقدار خروجی‌ها و بهبود کارایی هزینه DMUها بسیار پیچیده و حساس است. در این مقاله با تغییر مقدار برخی یا همه خروجی‌ها بهطوری­که منجر به حفظ یا بهبود کارایی هزینه شود یک رویکرد و روش جدید در محاسبه مقدار ورودی‌های DMU تحت ارزیابی ارائه شد. با توجه به مطالب بیان شده با تغییر مقدار خروجی‌های واحد تحت ارزیابی، در هر صورت ‌می‌توان ورودی‌ها را طوری برآورد نمود که کارایی هزینه آن حفظ یا بهبود یابد. با استفاده از تحلیل پوششی داده‌های معکوس و به کمک برنامه‌ریزی آرمانی یک مدل جدید برای تخمین ورودی‌ها با حفظ یا بهبود کارایی هزینه ارائه گردید و توانستیم به این پرسش پاسخ دهیم:
" تحت حفظ یا بهبود کارایی هزینه، وقتی که برخی یا همه خروجی‌های یک  افزایش داده ‌می‌شود ورودی‌های آن  چه میزانی ‌می‌باشد ؟"

برای بررسی صحت مدل یک مثال عددی و یک مطالعه موردی در یک شرکت خودروسازی ترکیه مورد بررسی قرار گرفت. هدف یافتن مقدار ورودی‌های جدید با افزایش مقادیر بعضی از خروجی‌ها است به طوری­که کارایی هزینه DMU تحت ارزیابی حفظ یا بهبود یابد. نتایج مدل پیشنهادی در شرکت خودروسازی ترکیه­ای نشان ‌می‌دهد که کارایی هزینه بیش از 57 درصد DMUها ثابت باقی مانده و مابقی نیز بهبود یافته­اند. توصیه ‌می‌شود در پژوهش‌های آتی از ترکیب روش‌های فراابتکاری مانند الگوریتم ژنتیک و PSO و غیره به همراه مدل مذکور استفاده شود. همچنین پیشنهاد ‌می‌شود که روش مذکور را برای حالت DEA شبکه‌ای تعمیم داد.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

فهرست منابع

1.Cooper, W., Seiford. LM and Tone, K.(2000) Data Envelopment Analysis: A Comprehensive Text with Models, Applications, References and DEA-Solver Software. 2007, Boston: Kluwer Academic Publishers.

2.Charnes, A., W.W. Cooper, and E. Rhodes, Measuring the efficiency of decision making units. European journal of operational research, 1978. 2(6): p. 429-444.

3.Banker, R.D., A. Charnes, and W.W. Cooper, Some models for estimating technical and scale inefficiencies in data envelopment analysis. Management science, 1984. 30(9): p. 1078-1092.

4.Zhang, X.S. and J.C. Cui, A project evaluation system in the state economic information system of china an operations research practice in public sectors. International Transactions in Operational Research, 1999. 6(5): p. 441-452.

5.Wei, Q., J. Zhang, and X. Zhang, An inverse DEA model for inputs/outputs estimate. European Journal of Operational Research, 2000. 121(1): p. 151-163.

6.Yan, H., Q. Wei, and G. Hao, DEA models for resource reallocation and production input/output estimation. European Journal of Operational Research, 2002. 136(1): p. 19-31.

7.Hadi-Vencheh, A., A.A. Foroughi, and M. Soleimani-damaneh, A DEA model for resource allocation. Economic Modelling, 2008. 25(5): p. 983-993.

8.Lertworasirikul, S., P. Charnsethikul, and S.-C. Fang, Inverse data envelopment analysis model to preserve relative efficiency values: The case of variable returns to scale. Computers & Industrial Engineering, 2011. 61(4): p. 1017-1023.

9.Farrell, M.J., The measurement of productive efficiency. Journal of the Royal Statistical Society. Series A (General), 1957. 120(3): p. 253-290.

10.Fare, R., Grosskopf , S, Lovell C.A.K. The measurement of efficiency of production, Dordrecht MA: Kluwer Academic Publisher; (1985).

11.Fukuyama, H. and W.L. Weber, Estimating output allocative efficiency and productivity change: Application to Japanese banks. European Journal of Operational Research, 2002. 137(1): p. 177-190.

12.Lin, M.-I., Y.-D. Lee, and T.-N. Ho, Applying integrated DEA/AHP to evaluate the economic performance of local governments in China. European Journal of Operational Research, 2011. 209(2): p. 129-140.

13.Banihashem, S., M. Sanei, and Z.M. Manesh, Cost, revenue and profit efficiency in supply chain. African Journal of Business Management, 2013. 7(41): p. 4280.

14.Khodabakhshi, M. and K. Aryavash, The fair allocation of common fixed cost or revenue using DEA concept. Annals of Operations Research, 2014. 214(1): p. 187-194.

15.Mozaffari, M., et al., Cost and revenue efficiency in DEA-R models. Computers & Industrial Engineering, 2014. 78: p. 188-194.

16.Sahoo, B.K., M. Mehdiloozad, and K. Tone, Cost, revenue and profit efficiency measurement in DEA: A directional distance function approach. European Journal of Operational Research, 2014. 237(3): p. 921-931.

17.Fang, L. and H. Li, Centralized resource allocation based on the cost–revenue analysis. Computers & Industrial Engineering, 2015. 85: p. 395-401.

18.Aparicio, J., et al., Measuring and decomposing firm׳ s revenue and cost efficiency: The Russell measures revisited. International Journal of Production Economics, 2015. 165: p. 19-28.

19.Toloo, M. and T. Ertay, The most cost efficient automotive vendor with price uncertainty: A new DEA approach. Measurement, 2014. 52: p. 135-144.

20.Kornbluth J. "Analysing policy effectiveness using cone restricted data envelopment analysis",Journal of the Operational Research Society. 1991. 42: p. 1097–1104

21.Charnes, A., W.W. Cooper "Management Models and Industrial Applications of Linear Programming", New York, John Wiley & Sons. 1961
22.Ghiyasi, M, "Inverse DEA based on cost and revenue efficiency", Computers & Industrial Engineering. 2017.114: p. 258–263

23.Soleimani-Chamkhorami, K., Hosseinzadeh Lotfi, F., Jahanshahloo, G. R., & Rostamy-Malkhalifeh, M, "Preserving cost and revenue efficiency through inverse data envelopment analysis models", INFOR: Information Systems and Operational Research. 2020, 58(4), 561-578.

24.Gholam R. Amin . , Mustapha Ibn Boamah., 'A new inverse DEA cost efficiency model for estimating potential merger gains: a case of Canadian banks' , Annals of Operations Research. 2020 volume 295, pages 21–36.

 

 

---

[1] · . عهده­دار مکاتبات:                                                                                      Email: [e-mail]

---