رهیافتی نو برای حل معادلات انتگرالی فردهولم و ولترا
محورهای موضوعی : مطالعات موردی و کاربردی
1 -
کلید واژه: سریهای فوریه, پرنامه ریز خطی, مسئله گشتاور با بعد نامتناهی, معادله انتگرالی ولترا و فردهولم,
چکیده مقاله :
در سالهای اخیر، معادلات انتگرالی مورد توجه بسیاری از پژوهشگران قرار گرفته است. این معادلات، در حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات چزئی و معادلات دیفرانسیل معمولی استفاده می شوند. یک نوع خاص از معادلات انتگرالی، معادلات انتگرالی ولترا است که در جمعیت شناسی به عنوان معادله انتگرال لوتکا، مطالعه مواد ویسکوالاستیک، در علم اکچوئری از طریق معادله تجدید و در مکانیک سیالات برای توصیف رفتار جریان در نزدیکی مرزهای با اندازه محدود کاربرد پیدا می کنند. در این مقاله رویکردی نو برای حل عددی معادلات انتگرالی ولترا ارائه شده است. در این روش، ابتدا معادلات انتگرالی ولترا به یک مسئله گشتاور با بعد نامتناهی تبدیل می‌شوند. سپس، با یک روش تقریبی، مسئله گشتاور با بعد نامتناهی به مسئله گشتاور با بعد محدود تبدیل می شود به گونه ای که خطای محاسبات قابل چشم پوشی است. در ادامه، مسئله گشتاور با بعد محدود به یک مسئله برنامه ریزی خطی تبدیل می شود. پاسخ مسئله برنامه ریزی خطی را به سادگی می توان با استفاده از نرم افزارهای مختلفی از جمله متلب بدست آورد که با حل آن، پاسخ معادلات انتگرالی ولترا بدست می آید. با استفاده از دومثال، عملکرد الگوریتم پیشنهادی بررسی شده است. شبیه سازیها نشان می دهد که روش پیشنهادی عملکرد قابل قبولی دارد.
In recent years, integral equations have attracted the attention of many researchers. These equations are used in solving differential equations with partial derivatives and ordinary differential equations. A special type of integral equations are Volterra integral equations. Volterra integral equations are used in demograph-y as Lotka's integral equation, the study of viscoelastic materials, in actuarial science through the renewal equation, and in fluid mechanics to describe the flow behavior near finite-sized boundaries. In this paper, a new approach to numerical solution of Volterra integral equations is presented. In this paper, a new approach to numerical solution of Volterra integral equations is presented. In this method, The Volterra integral equations are first converted to an infinite dimension moment problem. Then, the infinite dimension moment problem is converted to a finite dimension moment problem in an approximate way, so that the resulting error can be ignored. The finite dimensional moment problem is transformed to a linear programming problem, and finally, by solving this problem, the solution of the integral equations is obtained. The solution of the linear programming problem can be easily obtained using various softwares such as MATLAB. Using two examples, the performance of the proposed algorithm has been analysed. The simulations show that the proposed method has an acceptable performance.
[1] Michael A. Golberg, Numerical solution of integral equations, Springer, (1990).
[2] M.A.Berger and V. J. Mizel. Volterra equations with Ito integrals I. J. Integral Equations, 187–245, (1980).
[3]- Hackbusch,W., Integral Equations Theory and Numerical Treatment, vol.120 ISNM, Birkhauser Verlag, Switzerland (1995).
[4]- Annamaria Palamara Orsi, Product integration for Volterra Integral Equations for the second kind with weakly singular kernelsm Mathematics of Computation,Volume 65, Number 215, 1201-1212 (1996).
[5] J. A. D. Appleby. Almost sure asymptotic stability of linear Ito-Volterra equations with damped stochastic perturbations. Electronic Communications in Probability, 7:213–224, (2008).
[6] Ji-Huan He, A simple approach to Volterra-Fredholm integral equations, Journal of applied and computational mechanics, 1184-1186, (2020).