نتایجی در مورد خاصیت آرتینی مدول های کوهمولوژی موضعی در نقطه ارتفاع یک ایده آل

محورهای موضوعی : جبر

میریوسف صادقی ¹ , خدیجه احمدی آملی ² , مریم چقامیرزا ³

1 - گروه ریاضی- دانشگاه پیام نور- تهران-ایران
2 - گروه ریاضی، دانشگاه پیام نور، تهران، ایران
3 - گروه ریاضی، دانشگاه پیام نور، تهران، ایران

تاریخ دریافت : 1402/03/29 تاریخ پذیرش : 1403/02/10 تاریخ انتشار : 1403/09/10

کلید واژه: مدول‌های کوهمولوژی موضعی, مدول‌های آرتینی, حلقه‌های موضعی, حلقه‌های کوهن- مکالی, حلقه‌های به‌ طور تحلیلی تحویل‌ناپذیر.,

چکیده مقاله :

فرض کنید R یک حلقه نوتری جابجایی، I یک ایده‌آل غیر صفر از R و M یک R -مدول تولید شدۀ متناهی باشند. ابتدا نشان می‌دهیم که اگر IM≠M و MinAss_R (M/IM)⊆Min(I)\Max(R) باشند، آن‌گاه Supp_R H_I^(ht_M I) (M)⊈Max(R)و بنابراین R -مدول H_I^(ht_M I) (M) آرتینی نیست. به عنوان یک نتیجه از آن و با انتخاب خود حلقه R به‌جای M ، این مطلب حاصل می‌شود که اگر Min(I)\Max(R)≠∅ ، آنگاه R -مدول H_I^(ht‌I) (R) آرتینی نیست. سپس در حالتی که Rیک حلقه موضعی باشد، شرایطی را ارائه داده ایم که تحت آن‌ها R -مدول H_I^(dim⁡R-1) (R) می‌تواند آرتینی باشد. در سرتاسر این مقاله، Rبیانگر یک حلقۀ جابجاییِ نوتری با عضو همانی غیر صفر، I بیانگر یک ایده‌آل غیر صفر از R و M یک R مدول تولید شدۀ متناهی می‌باشند. بطور معمول، از نمادهای N_° برای نمایش مجموعۀ اعداد صحیح نامنفی، از Min(I) برای نمایش مجموعۀ ایده‌آل‌های اول مینیمال Iو از Max(R) برای نمایش مجموعۀ تمام ایده‌آل‌‌‌های ماگزیمال حلقه R استفاده خواهیم کرد. برای R -مدول M، مقصود از Supp_R (M) ، تکیه‌گاه M نسبت به حلقۀ R می‌باشد که عبارت است از : Supp_R (M)={P∈Spec(R)├ ┤| 〖 M〗_P≠0} . i-اُمین مدول کوهمولوژی موضعی M نسبت به ایده‌آل I به‌صورت H_I^i (M):=lim┬□(→┬nϵN )⁡〖Ext_R^i (R⁄I^n 〗,M) , تعریف می‌شود.

چکیده انگلیسی:

Let R be a commutative Noetherian ring, a be a non-zero ideal of R, and M be a finitely generated R-module. We first show that, if IM≠M and MinAss_R (M/IM)⊆Min(I)\Max(R), then Supp_R H_I^(ht_M I) (M)⊈Max(R), and so the R-module H_I^(ht_M I) (M) is not Artinian. As a consequence, if Min(I)\Max(R)≠∅, then the R-module H_I^(ht‌I) (R) is not Artinian, considering M:=R. Later, we give some results on Artinianness of the R-module H_I^(dim⁡R-1) (R), when R is a local ring. Throughout this article‎, ‎$R$ denotes a commutative‎ Noetherian ring with non-zero identity‎, ‎$\fa$‎ denotes a proper non-zero ideal of $R$‎, ‎and $M$‎ ‎denotes a finitely generated $R$-module‎.‎‎‎ ‎‎ ‎By‎‎ ‎‎‎$\mathbb{N}_{0}$, ‎we‎ ‎mean‎ the set of‎ ‎non-negative integers. ‎‎‎ Moreover‎, ‎we use $\Min(\fa)$ (resp‎. ‎$\Max(R)$)‎ ‎to denote the set of minimal prime ideals of $\fa$‎ (resp‎.‎‎‎ ‎the set of maximal ideals of $R$‎). The $i$-th local cohomology module‎ ‎of $M$ is defined by‎ ‎$$H_{\mathfrak{a}}^{i}(M):= \displaystyle\lim_‎ ‎{\overrightarrow{n\in ‎\mathbb{N}}}\mathrm{Ext}‎‎_{R}^{i} ‎\left( {R}/{\mathfrak{a}^{n}},M\right).$$

منابع و مأخذ:

[1] M. P. Brodmann and R. Y. Sharp, Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications. 2nd ed. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press (2013).

[2] R. Y. Sharp, Steps in commutative Algebra. Second edition. London Mathematical Society Student Text 19, Cambridge University Press (2000).

[3] C. Huneke, Problems on local cohomology, Free Resolutions in commutative algebra and algebraic geometry (Sundance, Utah, 1990), Research Notes in Mathematics 2, Boston, Ma, Jones and Bartlett Publisher, (1992), 93-108.

[4] A. Ogus, Local cohomological dimension of algebraic varieties. Annals of Math., 98 (1973), 327-365.

[5] R. Hartshorne and R. Speiser, Local cohomological dimension in characteristic p. Ann. Math., 105 (1977), 45-79.

[6] T. Marley, The associated primes of local cohomology modules over rings of small dimension. manuscripta math., 104 (2001), 519-525.

[7] M. Aghapournahr and K. Bahmanpour, Cofiniteness of weakly Laskerian local cohomology modules. Bull. Math. Soc. Math. Romanie, 105 (2014), 347-365.

[8] D. Asadollahi and R. Naghipour, Faltings' Local-global Principle for the Finiteness of local cohomology modules. Commun. Algebra, 43 (2015), 953-958.

[9] L. Melkersson, Modules cofinite whit respect to an ideal. J. Algebra, 285 (2005), 649-668.

[10] R. Hartshorne, Affine duality and cofiniteness. Invent. Math., 9 (1970), 145-164.

[11] K. I. Yoshida, Cofiniteness of local cohomology modules for ideals of dimension one. Nagoya Math. J., 147 (1997), 179-191.