هر دنباله غیر صعودی از اعداد نا منفی می تواند منحنی همگرایی روش DGMRES باشد

محورهای موضوعی : آمار

ملیحه صفرزاده ¹ , حسین صادقی گوغری ²

1 - گروه ریاضی، واحد کرمان، دانشگاه آزاد اسلامی، کرمان، ایران
2 - گروه ریاضی، واحد کرمان، دانشگاه آزاد اسلامی، کرمان، ایران

تاریخ دریافت : 1398/11/17 تاریخ پذیرش : 1399/06/04 تاریخ انتشار : 1400/07/01

کلید واژه: Singular linear system, - index- Drazin, inverse-residual vector,

چکیده مقاله :

بررسی همگرایی روشهای زیر فضای کرایلف یکی از مو ضوعات مورد علاقه در زمینه جبر خطی عددی است. با توجه به اینکه روش DGMRES یک روش زیر فضای کرایلف بوده و در زمینه همگرایی آن کارهای زیادی انجام نشده است. در این مقاله به این موضوع پرداخته خواهد شد. ما نشان می دهیم که برای هر دنباله غیر صعودی از اعداد نا منفی f(0)≥f(1)≥⋯≥f(m-1)>f(m)=⋯=f(n)=0مجموعه {λ_1,…,λ_m,0,…,0}از اعداد مختلط و همین طور عدد دلخواه α≤n-m می توان دستگاه معادلات خطی منفرد n×n ، Ax=b با اندیس α و مجموعه {λ_1,…,λ_m,0,…,0} به عنوان طیف ماتریس A را طوری ساخت که اگر از روش DGMRES برای حل این دستگاه استفاده شود، با فرض ‖A^α r_0 ‖_2=f(0)، برای k=1,…,m-1 نرم بردار مانده مرحله k- ام، ‖A^α r_k ‖_2=f(k) شود، که در آن r_0=b-Ax_0 بردار مانده آغازین می باشد. سعی ما در این کار ساخت کامل ماتریس ضرایب دستگاه ( دستگاه های ) مورد نظر است.

چکیده انگلیسی:

Investigating the convergence of the Krylov subspace methods has been considered as one of the favorite subjects in the field of numerical linear algebra. Given that the DGMRES method is a Krylov subspace methods, there is not much work to be done on its convergence. In this article we will discuss parts of the convergence of this method. We show that for any non-decreasing sequence of negative numbers f(0)≥f(1)≥⋯≥f(m-1)>f(m)=⋯=f(n)=0, he set of {λ_1,…,λ_m,0,…,0} of the complex numbers and the arbitrary number α≤n-m can be a set of singular linear equations n×n, Ax=b with the index α and the set {λ_1,…,λ_m,0,…,0} as the spectrum of matrix A such that if the DGMRES method is used to solve this system, assuming ‖A^α r_0 ‖_2=f(0)‖_2 = f (0), for k=1,…,m-1, the k^th residual vector is ‖A^α 〖r 〗_k ‖_2=f(k), wherer_0=b-Ax_0 is the initial residual vector. We attempt to do this by constructing the complete coefficient matrix of the system (s).

منابع و مأخذ:

[1]	S. Campbell and C. J. Meyer, Generalized Inverses of Linear Transformations, Pitman, London, San Francisco, Melbourne, 1979.
[2]	Y. Saad, "Krylov subspace methods for solving large unsymmetric linear systems," Mathematics of Computation, vol. 37, pp. 105-126, 1981.
[3]	Y. Saad and M. H. Schultz, "GMRES: a generalized minimal residual algorithm for solving nonsymmetric linear systems," SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing, vol. 7, p. 856–869, 1986.
[4]	A. Sidi, "DGMRES: A GMRES-type algorithm for Drazin-inverse solution of singular nonsymmetric linear systems," Linear Algebra and its Applications, vol. 335, p. 189–204, 2001.
[5]	J. Liesen and Z. Strakos, "Convergence of GMRES for Tridiagonal Toeplitz Matrices," SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, vol. 26, no. 1, p. 233–251, 2004.
[6]	J. Liesen and P. Tichý, "The worst-case GMRES for normal matrices," BIT Numerical mathematics, vol. 44, no. 1, pp. 79-98, 2004.
[7]	J. Liesen and Z. Strakos, "GMRES Convergence Analysis for a Convection-Diffusion Model Problem," SIAM Journal on Scientific Computing, vol. 26, no. 6, pp. 1989-2009, 2005.
[8]	R. C. Li and W. Zhang, "The rate of convergence of GMRES on a tridiagonal toeplitz linear system. II," Linear Algebra and its Applications, vol. 431, no. 12, pp. 2425-2436, 2009.
[9]	A. Greenbaum, F. Kyanfar and A. Salemi, "On the convergence rate of DGMRES," Linear Algebra and its Applications, vol. 552, pp. 219-238, 2018.
[10]	M. Safarzadeh and A. Salemi, "DGMRES and index numerical range of matrices," Journal of Computational and Applied Mathematics, vol. 335, pp. 349-360, 2018.
[11]	A. Greenbaum, V. Pták and Z. Strakoš, "Any Nonincreasing Convergence Curve is Possible for GMRES," SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, vol. 17, no. 3, p. 465–469, 1996.
[12]	Y. Saad, Iterative Methods for Sparse Linear Systems, Philadelphia: SIAM, 2003.
[13]	J. J. Climent, M. Neumann and A. Sidi, "A semi-iterative method for singular linear systems with arbitrary index," Journal of Computational and Applied Mathematics, vol. 87, no. 1, pp. 21-38, 1997.